Возведение числа в дробную степень
Возведение целого числа в дробную степень — это арифметический процесс, при котором находится значение степени числа, выраженной дробью.
Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней
Использовать дробную степень проще, чем записывать выражения с помощью корней. Это связано с тем, что вычислить значение числа в определенной степени легче, чем применять свойства корней. Если возведение в степень займет один шаг, то вычисление корня производится в несколько шагов.
Правило возведения
Возведение числа в дробную степень осуществляется согласно правилу: пусть \(\frac pq\) — обыкновенная дробь, причём \(p\) и \(q\) больше нуля и \(q≠1\) . Тогда для возведения числа a в дробную степень нужно извлечь из него корень q-ой степени и возвести в степень числителя, которая равна \(p\) .
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В математической форме это правило выглядит так:
Правило, когда показатель степени является дробью
Если показателем степени является десятичная дробь, то нужно перевести ее в обыкновенную:
В случае, если число смешанное, необходимо перевести его в неправильную дробь:
При возведении дроби в отрицательную степень следует использовать формулу:
\(\left(\frac ab\right)^\;=\;\left(\frac ba\right)^n\)
Решение в виде задачи, примеры
Пример 1
Решение
Пример 2
Решение
Пример 3
Решение
Возведение в дробную степень
Из статьи вы узнаете, как возвести число в дробную степень, что для этого нужно понимать и уметь. Приведены поучительные примеры с дробными степенями.
Как возводить в дробную степень
Как возвести число в натуральную степень, легко усваивают почти все учащиеся. Достаточно помножить его само на себя столько раз, сколько указано в показателе степени. Например, запись 2 3 означает, что число 2 нужно умножить само на себя три раза, а запись (1,4) 5 значит (1,4) 5 =1,4*1,4*1,4*1,4*1,4.
А вот запись типа 3 5/6 для многих совершенно не понятна. Возникает конфликт восприятия ранее усвоенного понимания возведения числа в степень со здравым смыслом, ведь написать число помноженным само на себя 5/6 раз, просто невозможно.
Подобный вопрос возникает у тех, кто не усвоил тему извлечения из чисел корня.
Напомним, что извлечение корня из числа, это математическая операция обратная операции возведения его в степень. Она подразумевает разложение его на одинаковые множители, число которых равно показателю корня. В частности, 3 √8 равно 2, ведь, как видно из приведённого ранее примера 2 3 = 2*2*2 = 8.
Некоторые, при изучении извлечения корня из числа упускают один факт. Корень записывается не только в виде q √a (где a некоторое число, а q – показатель корня) он может быть записан и в виде a 1/ q . Надеюсь, теперь смысл дробной степени вам становится ясен. q в знаменателе дроби, это и есть корень. В числителе стоит та степень, в которую указанное число нужно возвести. В данном случае она равна одному (p=1). Если бы она была равна двум (p=2), то следовало бы записать a 1/ q *a 1/ q . Эта запись равносильна a 2/ q . Если бы она равнялась трём (p=3), т. е. 3/ q √a, то вышло бы a 1/ q *a 1/ q *a 1/ q .
Теперь обобщим всё выше сказанное.
a p/q = q √a p . При этом a ≥ 0, p>0 и q>1.
Если в дробную степень требуется возвести неправильную либо десятичную дробь, сначала они приводятся к виду обычной дроби, чтобы ясно стали видны числитель и знаменатель, т. е. показатели корня и степени.
О свойствах дробных степеней
Приведём самые главные свойства дробных степеней, которые чаще всего приходится использовать в вычислениях.
- \[a^
* a^=a^\]
- \[a^
/ a^=a^\]
- \[\left(a^
\right)^=a^ q>\]
- \[\left(a^ b\right)^
=a^
b^
\]
- \[(a / b)^
=a^
/ b^
\]
Из свойства 3 следует, что \[\left(a^
\right)^=a^ <\left(p^<*>b\right) / q>\]
Нет времени решать самому?
Дробная степень числа
Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.
Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:
Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:
Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:
Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.
Действия над степенями с дробными показателями
Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.
При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: 
и 
, служащих показателями степеней, положительны.
В частном случае n или q могут равняться единице.
При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:
Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:
Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Возведение в степень: правила, примеры
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.
Возьмем пример посложнее.
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .
Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .
Пример: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.
У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .
Проиллюстрируем на примере.
Вычислите 8 — 2 3 .
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2
После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадратик: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.
Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107
Ответ: 13 501 , 25107 .
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.
Решение
Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .
Возведение степени в степень
Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.
Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: ( aᵑ ) ᵐ = aᵑ * ᵐ.
Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.
Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.