Как найти радиус описанной сферы

Радиус описанной сферы тетраэдра

Зная радиус сферы, описанной около тетраэдра, нужно, во-первых, найти ребро тетраэдра, а также можно узнать сразу радиус сферы, вписанной в тетраэдр, так как он ровно в три раза меньше радиуса описанной окружности. a=(2√6 R_1)/3 r_1=R_1/3 Затем, зная ребро тетраэдра через радиус сферы, описанной около тетраэдра, можно найти его периметр, который представляет собой длину всех ребер тетраэдра, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра, состоящей из четырех граней. P=4√6 R_1 S_1=2√3 〖R_1〗^2 S_(п.п.)=4S_1=8√3 〖R_1〗^2 Помимо радиусов вписанной и описанной около тетраэдра сфер, тетраэдр также обладает радиусами вписанной и описанной окружностей около основания, являющимся одной из граней, которые можно вычислить через радиус описанной сферы. r=(√2 R_1)/3 R=(2√2 R_1)/3 Чтобы найти высоту тетраэдра, нужно умножить радиус описанной вокруг него сферы на четыре и разделить на три, а чтобы вычислить апофему тетраэдра через радиус описанной сферы, необходимо умножить его на корень из двух. h=(4R_1)/3 l=√2 R_1 Объем тетраэдра, зная радиус сферы, описанной около него, равен радиусу в кубе, умноженному на коэффициент восемь корней из трех, деленный на три.. V=(8√3 〖R_1〗^3)/3

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рисунке 2 изображена пирамида SA₁A₂ . A_n , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A₁A₂ . A_n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A₁A₂ . A_n пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A₁A₂ . A_n , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA_n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA₁A₂ . A_n . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A₁A₂ . A_n , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’A_n (рис. 5).

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OA_n получаем

из формулы (1) получаем соотношение

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

До ЕГЭ по математике осталось
дней	часов	минут	секунд

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Планиметрия
• Стереометрия
• Элементы математического анализа
• Теория вероятностей и статистика

• Задачи на проценты
• Квадратный трехчлен
• Уравнения и неравенства
  с модулями
• Арифметическая и геометрическая прогрессии
• Метод координат
  на плоскости
• Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами
• Решение алгебраических уравнений
• Решение рациональных неравенств
• Решение иррациональных неравенств
• Решение показательных уравнений
• Решение показательных неравенств
• Решение логарифмических уравнений
• Решение логарифмических неравенств
• Системы уравнений
• Решение тригонометрических уравнений
• Тригонометрия в ЕГЭ
  по математике
• Степень с рациональным показателем

• английский язык
• биология
• география
• информатика
• испанский язык
• история
• итоговое сочинение (изложение)
• литература
• математика
• немецкий язык
• обществознание
• русский язык
• физика
• французский язык
• химия

wiki.eduVdom.com

Записаться
на занятия (831) 247 47 55
eduVdom.com

Стереометрия:

Контакты

eduVdom.com
+7 910 874 73 73
+7 904 064 04 04
Больше контактов.
Оставить отзыв.
subjects:stereometry:описанные_шары

Описанные шары

Шар и пирамида

Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Чтобы построить центр O этого шара, нужно:

Найти центр О, окружности, описанной около основания.
Через точку О, провести прямую, перпендикулярную плоскости основания.
Через середину любого бокового ребра пирамиды провести плоскость, перпендикулярную этому ребру.
Найти точку О пересечения построенных прямой и плоскости.

Частный случай: боковые ребра пирамиды равны. Тогда:

шар описать можно;
центр О шара лежит на высоте пирамиды;

$R=\frac$ , где R — радиус описанного шара; b — боковое ребро; Н — высота пирамиды.

Шар и призма

Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры описанных около оснований окружностей.

$R=\sqrt>$ , где R — радиус описанного шара; г — радиус описанной около основания окружности; Н — высота призмы.

Шар и цилиндр

Около цилиндра шар можно описать всегда. Центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.

Шар и конус

Около конуса шар можно описать всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса.

$R=\frac$ , где R — радиус шара; l — образующая; Н — высота конуса.

Шар и усечённый конус

Около усеченного конуса шар можно описать всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Содержание скрыть

• Формулы расчета радиуса сферы (шара)
  • Правильная треугольная пирамида
  • Правильная четырехугольная пирамида
  • Правильная шестиугольная пирамида

  Формулы расчета радиуса сферы (шара)

  Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

  Правильная треугольная пирамида

  

  На этом рисунке и чертежах далее:

  Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

  Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

  Правильная четырехугольная пирамида

  

  Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

  Правильная шестиугольная пирамида

  

  Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

  Публикации по теме:

  • Нахождение площади ромба: формула и примеры
  • Нахождение площади трапеции: формула и примеры
  • Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
  • Нахождение площади эллипса: формула и пример
  • Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
  • Нахождение периметра ромба: формула и задачи
  • Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
  • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
  • Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
  • Нахождение объема куба: формула и задачи
  • Нахождение объема шара: формула и задачи
  • Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
  • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
  • Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
  • Нахождение радиуса шара: формула и примеры
  • Нахождение радиуса круга: формула и примеры
  • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
  • Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
  • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
  • Формула Герона для треугольника
  • Теорема Менелая: формулировка и пример с решением
  • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
  • Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
  • Геометрическая фигура: треугольник
  • Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
  • Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
  • Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
  • Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
  • Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
  • Формулы для нахождения высоты треугольника
  • Свойства высоты равнобедренного треугольника
  • Свойства высоты прямоугольного треугольника
  • Что такое ромб: определение, свойства, признаки
  • Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности
  • Что такое окружность: определение, свойства, формулы
  • Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки
  • Что такое трапеция: определение, виды, свойства
  • Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
  • Что такое средняя линия треугольника
  • Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы
  • Нахождение площади шарового сегмента
  • Что такое конус: определение, элементы, виды
  • Основные свойства конуса
  • Что такое усеченный конус: определение, основные элементы
  • Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства
  • Пирамида с перпендикулярным плоскости основания боковым ребром
  • Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
  • Нахождение радиуса/площади/объема вписанного в конус шара (сферы)
  • Нахождение радиуса/площади/объема описанной около конуса сферы (шара)
  Похожие публикации:

  1. Oc tuner asus что это
  2. Для чего нужны очки виртуальной реальности
  3. Как убрать выделенный текст в ворде
  4. Почему php не работает в html