Как найти основание прямоугольного треугольника

1. Прямоугольные треугольники

Сумма углов треугольника равна 180 ° , а прямой угол равен 90 ° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∠ $1$ $+$ ∠ $2 =$ 90 ° .

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в  30 ° ).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором ∠ $A$ — прямой, ∠ $B =$ 30 ° , и значит, что ∠ $C =$ 60 ° .

Докажем, что $BC = 2 AC$.
Приложим к треугольнику $ABC$ равный ему треугольник $ABD$, как показано на рисунке.

Получим треугольник $BCD$, в котором ∠ $B =$ ∠ $D =$ 60 ° , поэтому $DC = BC$. Но $DC = 2 AC$. Следовательно, $BC = 2 AC$.

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30 ° .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам

Решение прямоугольного треугольника

Если известны катет a и гипотенуза c

Второй катет b определится по теореме Пифагора:

Угол A определится по формуле синуса:

\[ \sin(A) = \frac \]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 ° то второй острый угол определится так:

\[ B = 180° — 90° — A \]

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и гипотенуза)

Если известны катеты a и b

Гипотенуза с определится по теореме Пифагора:

Угол A определится по формуле тангенса:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 ° то второй острый угол определится так:

\[ B = 180° — 90° — A \]

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и катет)

Решение прямоугольного треугольника по стороне и острому углу

Если дан острый угол A, то B найдется по формуле:

Стороны можно найти по следующим формулам:

$ a = c \sin(A) $	$ b = c \cos(A) $	$ a = b \tg(A) $
$ b = c \sin(B) $	$ a = c \cos(B) $	$ b = a \tg(B) $
$ c = \Large\frac\normalsize $	$ c = \Large\frac\normalsize $	$ b = \Large\frac\normalsize $

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника если известны катет a и противолежащий угол A

Здесь все углы мы найдем по формуле (7). Гипотенузу по формуле (14) и второй катет по формуле (16).

Сторона прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике стороны связаны между собой наиболее тесным образом. Помимо теоремы Пифагора, которая позволяет найти катет или найти гипотенузу, зная две другие стороны, в прямоугольном треугольнике можно использовать также функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, если известна только одна сторона и любой угол, кроме прямого. По теореме Пифагора, для того чтобы вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. Катетами считаются стороны a и b , образующие друг с другом прямой угол, а гипотенузой – сторона, лежащая напротив него. Гипотенуза всегда будет длиннее суммы катетов, поэтому в формуле для ее вычисления также будет сумма, а в формуле для нахождения катетов будет разность.