Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.
Калькулятор для вычисления угла между векторами
Размерность векторов:
Форма представления первого вектора:
Форма представления второго вектора:
Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами
- выберите из выпадающегося списка необходимую вам размерность и форму представления вектора;
- введите значение вектора;
- Нажмите кнопку «Найти угол между векторамии» и вы получите детальное решение задачи.
Ввод данных в калькулятор для вычисления угла между векторами
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Теория. Вычисление угла между векторами
Определение Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:
cos α = a · b | a || b |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Как найти синус угла между векторами
Вектор в многомерном евклидовом пространстве определяется своей начальной точкой и точкой, задающей его величину и направление. Различие между направлениями двух векторов определяется углом между ними. В различных задачах из физики и математики часто требуется найти не сам угол, а значение производной тригонометрической функции — синуса.
Определение синуса угла
Для определения синуса угла между двумя векторами можно использовать известные формулы скалярного умножения векторов. Существует, по меньшей мере, две формулы, в которых задействован косинус угла. Путем вычисления косинуса можно получить значение синуса.
Составление равенства и вычисление косинуса
Равенство формулы скалярного произведения векторов с двух сторон позволяет выразить косинус угла. По одной из формул скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла, а по другой формуле — сумме произведений координат вдоль каждой из осей. Равняя эти два выражения, можно получить, что косинус угла равен отношению суммы произведений координат к произведению длин векторов.
Запись полученного равенства
Для записи равенства необходимо обозначить координаты обоих векторов. Предположим, что векторы заданы в трехмерной декартовой системе координат, и их начальные точки перенесены в начало координат. Первый вектор задан точкой (X₁,Y₁,Z₁), а второй вектор задан точкой (X₂,Y₂,Z₂). Обозначим угол между ними как γ. Длины векторов можно вычислить, используя теорему Пифагора для треугольников, образованных проекциями векторов на каждую из координатных осей. Длины векторов будут равны √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Подставив эти выражения в формулу, получаем равенство: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²)).
Использование факта о сумме квадратов синуса и косинуса
Сумма квадратов синуса и косинуса угла всегда равна единице. Используя этот факт, можно выразить синус угла. Возведя выражение для косинуса угла, полученное на предыдущем шаге, в квадрат и отняв его от единицы, а затем извлекая квадратный корень, можно найти значение синуса. Формула для синуса угла имеет вид: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 — ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 — ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * ( X₂² + Y₂² + Z₂²))).
Теперь вы знаете, как найти синус угла между двумя векторами в многомерном евклидовом пространстве, используя формулы скалярного умножения векторов. Этот метод может быть полезен в различных задачах, требующих вычисления синуса.
1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos a → b → ˆ .
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0 ° , а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180 ° . Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю , так как косинус прямого угла равен \(0\).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю , то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a → 2 .
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1. a → 2 ≥ 0 , к тому же a → 2 > 0 , если a → ≠ 0 → .
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения: a → ⋅ b → = b → ⋅ a → .
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения: a → + b → ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → .
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения: k ⋅ a → ⋅ b → = k ⋅ a → ⋅ b → .
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой , если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если a → x 1 ; y 1 ; z 1 , b → x 2 ; y 2 ; z 2 , то a → ⋅ b → = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 .
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → , то
cos α = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ⋅ x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 .
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n → данной плоскости и неким вектором b → равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90 ° .
При нахождении косинуса угла между n → и b → можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b → , и плоскостью.
Найти синус угла между векторами.
Найти синус угла между векторами.
. А = , B = 4; 6; -7.2; -9> Найти синус угла между векторами. для вычисления.
найти угол между векторами
Объясните как написать программу. Задача Заданы два вектора с координатами a(х1,y1,z1) и.
Найти угол между векторами
Даны координаты двух n-мерных векторов. A(a; a; . ; a), B(b; b; . ; b). Найти угол между.
Определить угол a между векторами x и y по формуле
Заданы два вектора х = (x1, x2, x3, x4), y = (y1, y2, y3, y4). Определить угол a между векторами x.
9802 / 5152 / 3295
Регистрация: 17.08.2012
Сообщений: 15,748
Сообщение от ботакоз 
синус угла
Стало быть, не косинус.
Рассмотрим два решения: через теорему синусов и через скалярное произведение векторов.
Внимание! Как выяснилось позже, эти два решения некорректны, смотрите третье решение.
Через теорему синусов:
Переносим начала векторов в начало координат, и из этих двух векторов (как и прежде, a и b) и отрезка, соединяющего концы векторов (назовём его c, как принято), получаем треугольник. Исходя из расширенной теоремы синусов, противолежащая какому-либо углу сторона треугольника, делённая на синус этого угла, равна удвоенному радиусу описанной окружности:
В свою очередь, радиус описанной окружности, исходя из длин сторон треугольника, есть
подставляем R в формулу для синуса:
где p — полупериметр треугольника. Длина стороны с есть длина вектора, равного разности векторов a и b. Длины векторов находятся, исходя из их координат, по теореме Пифагора, естественно. Надеюсь, пояснил более-менее понятно. Теперь пишем программу.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
procedure read_vec(s: string; var x, y: double); procedure in_p(s: string; var x, y: double); procedure in_one(s: string; var t: double); begin write(s, ' = '); readln(t) end; begin writeln('Координаты ', s); in_one('x', x); in_one('y', y) end; var x0, y0: double; begin writeln('Введите координаты вектора ', s); in_p('начала вектора:', x0, y0); in_p('конца вектора:', x, y); x := x - x0; y := y - y0 end; function d(x, y: double): double; begin d := sqrt(x * x + y * y) end; var ax, ay, bx, by, a, b, c, p, s: double; begin read_vec('A', ax, ay); read_vec('B', bx, by); a := d(ax, ay); b := d(bx, by); if (a = 0) or (b = 0) then s := 0 else begin c := d(bx - ax, by - ay); p := (a + b + c) / 2; s := 2 * sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / a / b end; writeln('Синус угла между векторами = ', s:0:15); write('Нажмите для выхода из программы'); readln end.
Через скалярное произведение векторов получается несколько проще:
Скалярное произведение векторов:
тогда косинус угла между векторами:
ну, а синус, естественно
И тело основной программы будет тоже попроще:
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
var ax, ay, bx, by, s: double; begin read_vec('A', ax, ay); read_vec('B', bx, by); if (d(ax, ay) = 0) or (d(bx, by) = 0) then s := 0 else s := sqrt(1 - sqr((ax * bx + ay * by) / d(ax, ay) / d(bx, by))); writeln('Синус угла между векторами = ', s:0:15); write('Нажмите для выхода из программы'); readln end.
Примечание: это только тело программы, подпрограммы из предыдущей программы превознесите.
Какой из вариантов программы выбрать? Считаю, что второй вариант лучше, по крайней мере, лаконичнее.
Может быть, не нравятся дополнительные подпрограммы, да ещё и локальные, да ещё и вложенные? Хорошо, под спойлером — индусский код. Желаете быть индусом — будьте им.
Индусский вариант
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
function d(x, y: double): double; begin d := sqrt(x * x + y * y) end; var tx, ty, ax, ay, bx, by, a, b, c, p, s: double; begin writeln('Введите координаты вектора A:'); writeln('Координаты начала вектора:'); write('x = '); readln(tx); write('y = '); readln(ty); writeln('Координаты конца вектора:'); write('x = '); readln(ax); write('y = '); readln(ay); ax := ax - tx; ay := ay - ty; writeln('Введите координаты вектора B:'); writeln('Координаты начала вектора:'); write('x = '); readln(tx); write('y = '); readln(ty); writeln('Координаты конца вектора:'); write('x = '); readln(bx); write('y = '); readln(by); bx := bx - tx; by := by - ty; a := d(ax, ay); b := d(bx, by); if (a = 0) or (b = 0) then s := 0 else begin c := d(bx - ax, by - ay); p := (a + b + c) / 2; s := 2 * sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / a / b end; writeln('Синус угла между векторами = ', s:0:15); write('Нажмите для выхода из программы'); readln end.
Если не нужен ввод входных данных, а нужно задание их в программе в виде констант, и/или желаете индусский код с вычислениями через скалярное произведение векторов — эти деяния оставляю на Ваше усмотрение и самостоятельное выполнение.
Добавлено через 58 минут
Охты, батюшки светы.
Только сейчас сообразил. Все вышеприведённые программы имеют недостаток: если угол между векторами отрицательный, обе программы выдают неверный результат, а именно: вместо синуса модуль этого самого синуса. Это оттого, что корень квадратный имеет два значения: положительное и отрицательное, и какое из них выбрать, для первых двух вариантов программы будет целая история с географией. Короче, вышеприведённые программы править бесполезно. К тому же, упустил ещё один момент: если оба вектора нулевой длины, угол не определён. Придётся записать это дело в тренаж. Тогда
Третий, окончательный, и, главное, правильный вариант, через модуль векторного произведения векторов:
Модуль векторного произведения векторов:
И тело основной программы будет выглядеть так:
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
var ax, ay, bx, by, s: double; begin read_vec('A', ax, ay); read_vec('B', bx, by); if (ax = 0) and (ay = 0) and (bx = 0) and (by = 0) then writeln('Оба вектора нулевой длины, угол между векторами не определён.') else begin if (ax = 0) and (ay = 0) or (bx = 0) and (by = 0) then s := 0 else s := (ax * by - ay * bx) / d(ax, ay) / d(bx, by); writeln('Синус угла между векторами = ', s:0:15) end; write('Нажмите для выхода из программы'); readln end.