Найдите вероятность того что в помещении

ЕГЭ. Задача 4. Теория вероятностей

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.

Полезные материалы

Видеоразборы задач

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Подборка задач

1. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
8. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй — решка.
10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
12. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
13. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
14. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
15. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
16. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
17. Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
18. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
19. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
20. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
21. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
22. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
23. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
24. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
26. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
27. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
28. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
29. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
30. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
31. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
32. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
33. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
34. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
35. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
36. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Найдите вероятность того что в помещении

Задание 10. Гигрометр измеряет влажность в помещении картинной галереи. Вероятность того, что влажность окажется выше 40%, равна 0,82. Вероятность того, что влажность окажется ниже 56 %, равна 0,74. Найдите вероятность того, что влажность находится в пределах от 40 % до 56 %.

Введем два события:

А: «влажность окажется не выше 40%»

В: «влажность окажется в пределах от 40% до 56 %»

Тогда, сумма этих двух событий C=A+B будет означать «влажность окажется ниже 56 %». Вероятность события A, равна P(A)=1-0,82 = 0,18, а вероятность события P(C)=0,74. Учитывая несовместность событий A и B, имеем:

Ответ: 0,56.

Найдите вероятность того что в помещении

Задание 4. Гигрометр измеряет влажность в помещении картинной галереи. Вероятность того, что влажность окажется выше 40%, равна 0,78. Вероятность того, что влажность окажется ниже 55 %, равна 0,68. Найдите вероятность того, что влажность находится в пределах от 40 % до 55 %.

Подобные задания по теории вероятностей решаются следующим образом. Введем два события:

А: «влажность окажется выше 40%»;

B: «влажность окажется выше 55 %».

Вероятности этих событий даны: P(A)=0,78; P(B) = 1-0,68 = 0,32. Тогда искомая вероятность того, что влажность находится в пределах от 40 % до 55 % может быть вычислена по формуле:

P(C) = P(A) – P(B) = 0,78 – 0,32 = 0,46

(Попробуйте самостоятельно показать, что эта формула верна).

Ответ: 0,46

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про бросание игральных костей и задачи о подбрасывании монет.

Перейдем еще к одному типу задач: про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач — использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. А перед примерами вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик! Удобно решать самому? Посмотрите видеоурок и скачайте бесплатный шаблон Excel для решения задач о выстрелах.

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

• Онлайн решение задачи о вероятностях попадания (калькулятор)
• Видеоурок и шаблон Excel
• Два стрелка
• Три стрелка
• Схема Бернулли
• Другие виды задач про выстрелы с решением
• Полезная информация

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Онлайн решение задачи про попадание в цель

Выберите количество стрелков и затем введите в поля вероятности $p_i$ их попаданий в цель (десятичный разделитель — точка):

2 стрелка 3 стрелка

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач с выстрелами: как использовать Excel для решения типовых задач с 2, 3 и 4 стрелками (выстрелами). Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать.

Два стрелка

Начнем традиционно с более простых задач, а именно, с двух стрелков. Пусть первый стрелок попадает в цель с вероятностью $p_1$, а второй — с вероятностью $p_2$ (конкретные числа см. в примерах ниже). Соответственно, сразу можно сделать вывод, что промахиваются они с вероятностями $q_1=1-p_1$ и $q_2=1-p_2$. Чтобы иметь возможность оперировать с событиями, нужно сначала их (события) ввести. Кстати, сразу заметим, что события эти независимые (то есть вероятность попадания первого стрелка не зависит от того, как стреляет второй и наоборот). Итак, пусть:
Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),
Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель).
Соответственно, события $\overline$, $\overline$ обозначают промах первого и второго стрелка (не попал в цель).
Сразу можно выписать все, что нам стало известно к этому времени о данных событиях, в терминах теории вероятности (так сказать, формализуем задачу, чтобы легче было ее решать дальше): $$ P(A_1)=p_1, \quad P(A_2)=p_2, \quad P\left(\overline\right)=1-p_1=q_1, \quad P\left(\overline\right)=1-p_2=q_2. $$ Теперь можно переходить к подсчету вероятностей попаданий. Например, пусть событие $X$ =(При двух выстрелах не было ни одного поражения цели). Вопрос, когда такое случится? Ясно, что когда ни первый стрелок, ни второй не попадут в цель, то есть одновременно произойдут события $\overline$ и $\overline$, что можно записать как произведение событий: $X=\overline \cdot \overline$. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей, или: $$ P(X)=P\left(\overline \cdot \overline\right)= P\left(\overline\right) \cdot P\left(\overline\right) = q_1 \cdot q_2. \qquad (1) $$ Рассмотрим еще одно событие $Y$ =(При двух выстрела ровно один стрелок попадет в цель). Как можно записать это событие через уже известные нам $A_1$ и $A_2$? Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$) и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $\overline$), то есть получили произведение событий $A_1 \cdot \overline$.
2. Когда второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$) и одновременно с этим первый стрелок промахнется (событие $\overline$), то есть получили произведение событий $\overline \cdot A_2$.
Так как других вариантов для получения одного попадания нет, а эти два варианта — несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий: $$ P(Y) = P\left(A_1 \cdot \overline + \overline \cdot A_2\right)= P\left(A_1 \cdot \overline \right)+ P\left( \overline \cdot A_2\right) = $$ дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки: $$ = P(A_1) \cdot \left(\overline \right) + P\left( \overline \right) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2. $$ Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного попадания в цель: $$ P(Y) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2. \qquad (2) $$ Если вы одолели последние пару абзацев, дальше все будет проще, поверьте:). Просто нужно привыкнуть к формулам, а потом они сами будут подсказывать вам верный ход решения. Ну и наконец, найдем вероятность события $Z$ = (Оба стрелка попадут в цель), которое, как вы наверное и сами уже поняли, можно выразить так: $Z = A_1 \cdot A_2$. Итоговая формула: $$ P(Z) = P(A_1 \cdot A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)= p_1 \cdot p_2. \qquad (3) $$ Большая теоретическая часть окончена, теперь можно решать примеры как орешки. Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго — 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина? Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию $p_1=0,6$, $p_2=0,7$, значит $q_1=1-p_1=0,4$, $q_2=1-p_2=0,3$. Получаем: $$ P = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2 = 0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 = 0,46.$$ Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды. Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи $p_1=0,7$, $p_2=0,8$ и сразу получим ответ: $$ P = p_1 \cdot p_2=0,7 \cdot 0,8 = 0,56. $$ Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель. На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу «хотя бы один. « мы помимо основного события: $Q$ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие $\overline$ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше: $$ P(\overline) = q_1 \cdot q_2= (1-0,3) \cdot (1-0,4) =0,7 \cdot 0,6 = 0,42. $$ Вероятность нужного нам события тогда равна: $$ P(Q) = 1- P(\overline) = 1 — 0,42 = 0,58. $$

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача — вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания. Начало одинаковое — формализуем задачу и вводим независимые события:
Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),
Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель),
Событие $A_3$ = (Третий стрелок попал в цель).
Известно, что: $$ P(A_1)=p_1, \quad P(A_2)=p_2, \quad P(A_3)=p_3, \\ P\left(\overline\right)=1-p_1=q_1, \quad P\left(\overline\right)=1-p_2=q_2, \quad P\left(\overline\right)=1-p_3=q_3. $$ Вероятность того, что не будет ни одного попадания, вычисляется абсолютно аналогично случаю для двух стрелков, только добавляется третий сомножитель (см. формулу (1)), так как все трое должны промахнуться: $$ P_0=P\left(\overline \cdot \overline \cdot \overline\right)= P\left(\overline\right) \cdot P\left(\overline\right) \cdot P\left(\overline\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3. \qquad (4) $$ Найдем вероятность события $X_1$ = (Из трех стрелков в цель попал только один). Опять таки, когда может произойти это событие? Опишем словами возможные ситуации:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$), и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $\overline$) и третий стрелок промахнется (событие $\overline$), то есть получили произведение событий $A_1 \cdot \overline \cdot \overline$.
2. Второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$), а первый и третий промахнутся, то есть $\overline \cdot A_2 \cdot \overline$
3. Третий стрелок попадет в цель (событие $A_3$), а первый и второй промахнутся, то есть $\overline \cdot \overline \cdot A_3$

Итого событие можно представить как сумму этих трех несовместных сложных событий: $$ X_1= A_1 \cdot \overline \cdot \overline + \overline \cdot A_2 \cdot \overline + \overline \cdot \overline \cdot A_3. $$ Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, придем к итоговой формуле: $$ P_1 = P(X_1)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3. \qquad (5) $$ Желающие потренироваться в выводе формул могут на этом этапе самостоятельно попытаться выписать вероятности для 2 и 3 попаданий (соответственно, $P_2$ и $P_3$), и сравнить с теми формулами, что я приведу ниже: $$ P_2 = P(X_2)= \\ = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline \right) + P(A_1)\cdot P\left(\overline \right) \cdot P(A_3) + P\left(\overline \right) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (6) $$ $$ P_3 = P(X_3)= P(A_3) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (7) $$ Теперь, вооружившись формулами до зубов, снова возвращаемся к задачнику и решаем примеры буквально в одну строчку (конечно, если вы оформляете эти работы для сдачи преподавателю, используйте в решении и вывод формул, приведенный выше). Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания? Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи: $$ p_1=0,2, \quad p_2=0,3, \quad p_3=0,4, \quad q_1=0,8, \quad q_2=0,7, \quad q_3=0,6 $$ Получаем: $$ P_1 = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3=\\ = 0,2 \cdot 0,7\cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,452. $$ Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины. Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи: $$ p_1=0,8, \quad p_2=0,7, \quad p_3=0,5, \quad q_1=0,2, \quad q_2=0,3, \quad q_3=0,5 $$ Получаем: $$ P_2 = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = \\ = 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,5 = 0,47. $$ Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий. Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними. Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события $A$ = (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие $\overline$ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения: $$ p_1=0,8, \quad p_2=0,7, \quad p_3=0,9, \quad q_1=0,2, \quad q_2=0,3, \quad q_3=0,1 $$ Получаем: $$ P\left(\overline \right) = P_0 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,1 = 0,006. $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = 1 — P\left(\overline \right) = 1 — 0,006 = 0,994. $$

Задачи на формулу Бернулли

• нужно запомнить всего одну формулу вместо нескольких (см. выше)
• теперь количество стрелков может быть не только 2, 3 или 4 (что уже громоздко), а практически любое — 5, 10, 12.

Пора приступать. Сначала сама формула, а потом разберем несколько примеров для закрепления пройденного:).

Пусть производится $n$ выстрелов, вероятность попадания в цель каждом из которых равна $p$. Вероятность, что окажется в точности $k$ попаданий, можно вычислить по формуле Бернулли: $$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot p^k \cdot q^. $$

Пример 7. Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна $p=0,8$. Найти вероятность того, что:
1) Стрелок попадёт 3 раза
2) Стрелок попадёт не менее 3-ёх раз.

Вот она, типовая задача на формулу Бернулли. Наши параметры: $n=4$ (число выстрелов), $p=0,8$ (вероятность попадания при одном выстреле), $q=1-p=0,2$ (вероятность промаха).

1) Вероятность того, что стрелок попадёт 3 раза:

$$ P_4(3)=C_4^3 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^ = 4 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2 =0,41. $$

2) Вероятность того, что стрелок попадёт не менее 3-ёх раз из 4 (то есть или 3, или 4 раза — складываем вероятности соответствующих событий):

$$ P_4(k \ge 3) =P_4(3) + P_4(4)=0,41+ C_4^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^ = 0,41+0,8^4 =0,819. $$

И это все! Проще некуда, но не забывайте, что задачи разные, где-то формула Бернулли подходит (повторяем: вероятности одинаковые, события независимые и повторные), а где-то — нет (как в разобранных в начале этой статьи задачах).

Пример 8. Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность выбивания не менее 20 очков при десяти выстрелах.

И опять проверяем выполнение условий схемы Бернулли: вероятности одинаковые (да, $p=0,2$), выстрелы независимые, число выстрелов задано ($n=10$).

Сформулируем вопрос задачи математически: что значит выбито не менее 20 очков? Это значит, что в 10 выстрелах было не менее 2 попаданий в цель (то есть 2, 3, 4. 10). Что-то многовато.

В таком случае проще подсчитать сначала вероятность противоположного события: «В 10 выстрелах было менее 2 попаданий в цель» (то есть 0 или 1). Вот тут полегче, давайте посчитаем:

$$ P_(k \lt 2) =P_(0) + P_(1)=C_^ \cdot 0,2^ \cdot 0,8^+ C_^ \cdot 0,2^ \cdot 0,8^ =\\ =0,8^+ 10 \cdot 0,2 \cdot 0,8^ =0,376. $$

Тогда искомая вероятность выбить не менее 20 очков будет:

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением. Задачи из существенно других разделов (например, на формулу Байеса или построение ряда распределения случайной величины) будут разобраны в других статьях.

Пример 9. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как $p_1$ и $p_2$, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений: $$ P_2 = p_1 \cdot p_2 = 0,42;\\ P_0 = (1-p_1) \cdot (1-p_2) = 0,12.\\ $$ Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: $p_1 = 0,6$ и $p_2 = 0,7$ (или наоборот, $p_1 = 0,7$ и $p_2 = 0,6$).

Пример 11. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как $p$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p$, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна $q^4$, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах — $1-q^4$. Получаем уравнение: $$ 1-q^4=0,9984;\\ q^4=0,0016;\\ q=0,2;\\ p=1-q=0,8. $$ Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 12. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_1=0,8$), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_2=0,7$). По правилу умножения вероятностей $$ P = p_1 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,7 = 0,3136. $$

Полезная информация

Решебник по вероятности

В решебнике вы найдете более 1000 задач о выстрелах и попаданиях с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):