Как сложить числа с разными степенями

Сложение переменных со степенями

• Показатель степени определяет, сколько раз следует умножить основание степени само на себя (например, x 3 = x × x × x =x\times x\times x> ). [3] X Источник информации
• В случае переменных перед ними могут стоять коэффициенты, на которые их следует умножить. [4] X Источник информации
• Если перед какой-либо переменной нет коэффициента, это значит, что она умножается на 1 . Например, x 4 = 1 x 4 =1x^>

• Например, если дано выражение x 4 + 3 x 6 + 4 x 4 + 2 y 4 +3x^+4x^+2y^> , то нетрудно заметить, что слагаемые x 4 > и 4 x 4 <\displaystyle 4x^> имеют одинаковые основания ( x ) и показатели степени ( 4 ). Таким образом, эти два члена можно сложить. В слагаемом 3 x 6 <\displaystyle 3x^> другой показатель степени, а член 2 y 4 <\displaystyle 2y^> имеет другое основание, поэтому их нельзя складывать.

• Например, если дано выражение x 4 + 4 x 4 +4x^> , следует сложить коэффициенты перед x 4 > , а основание и показатель степени оставить теми же:
  x 4 + 4 x 4 +4x^>
  = ( 1 ) x 4 + ( 4 ) x 4 <\displaystyle =(1)x^+(4)x^>
  = 5 x 4 <\displaystyle =5x^>

• В нашем примере выражение x 4 + 3 x 6 + 4 x 4 + 2 y 4 +3x^+4x^+2y^> упрощается до 5 x 4 + 3 x 6 + 2 y 4 <\displaystyle 5x^+3x^+2y^> .

Что вам понадобится

Похожие статьи

• Как упрощать алгебраические выражения
• Как решать задачи со степенями
• Как найти квадратный корень числа вручную
• Как использовать логарифмические таблицы
• Как вычислить кубический корень вручную
• Как возводить в квадрат дроби
• Как упростить квадратный корень
• Как извлечь квадратный корень без калькулятора
• Как найти значение числа 10, возведенного в любую целую степень

Дополнительные статьи

найти квадратный корень числа вручную

найти среднее значение, моду и медиану

извлечь квадратный корень без калькулятора

вычесть дробь из целого числа

решать кубические уравнения

умножить в столбик

рассчитать относительную частоту

найти множество значений функции

вычислить общее сопротивление цепи

проводить действия с дробями

переводить из двоичной системы в десятичную

вычислить вероятность

измерить рост без мерной ленты

переводить из десятичной системы счисления в двоичную

1. ↑http://www.mathsisfun.com/definitions/exponent.html
2. ↑http://www.mathsisfun.com/definitions/exponent.html
3. ↑http://www.mathsisfun.com/definitions/exponent.html
4. ↑http://www.mathsisfun.com/definitions/coefficient.html
5. ↑http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm

Об этой статье

Репетитор по математике

Соавтор(ы): David Jia. Дэвид Джиа — репетитор и основатель частной репетиторской компании LA Math Tutoring в Лос-Анджелесе, Калифорния. Имеет более 10 лет преподавательского опыта, работает с учащимися всех возрастов и классов над разными предметами, а также занимается конультированием по поступлению в колледж и подготовкой к SAT, ACT, ISEE и другим тестам. Набрав максимальные 800 баллов за SAT по математике и 690 — по английскому языку, получил стипендию Дикинсона в Университете Майами, который окончил со степенью бакалавра делового администрирования. Кроме того, был инструктором в обучающих онлайн-видео компаний, выпускающих учебники, таких как Larson Texts, Big Ideas Learning и Big Ideas Math. Количество просмотров этой статьи: 232 425.

Свойства степеней с одинаковыми основаниями

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

• a m × a n = a m+n
• a m ÷ a n = a m–n
• (a m ) n = a mn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

5 2 × 5 3 = 5 5 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ÷ a n = a m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:
(2 2 ) 4 = 2 2×4 = 2 8

Запишем в развернутом виде:
(2 2 ) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

Сложение степеней, сложение с разными степенями, сложение степеней с одинаковыми показателями

Сложение степеней — одна из основных операций при решении математических задач. Это первый шаг к овладению математическим аппаратом для решения более сложных задач в области высшей математики.

Для начала давайте разберемся, что такое степень числа. Степень — это произведение числа самого на себя указанное количество раз. Например:

• 2 3 = 2 * 2 * 2 = 8 (число 2 умножено на себя 3 раза)
• 5 2 = 5 * 5 = 25 (число 5 умножено на себя 2 раза)

Теперь перейдем непосредственно к сложению степеней. Здесь есть два основных случая.

Сложение степеней с одинаковыми показателями

Если показатели степени (то есть степени) одинаковые, то при сложении просто складываются основания степеней:

• 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13
• x 5 + y 5 = x 5 + y 5

Сложение степеней с разными показателями

Если показатели степени разные, то сложить такие степени нельзя:

• 2 2 + 2 3 — некорректное выражение
• x 2 + x 3 — некорректное выражение

Чтобы сложить степени с разными показателями, нужно предварительно привести выражения к одинаковым степеням. Это делается с помощью замены:

• 2 2 + 2 3 = 2 2 + 2 2 *2 = 4 + 8 = 12
• x 2 + x 3 = x 2 + x 2 *x = x 2 + x 3

Как видно из примеров, чтобы привести степени к одинаковым, мы умножаем число с меньшей степенью на основание степени с большим показателем нужное число раз. Таким образом, получаем одинаковые степени и можем их сложить.

Сложение степеней в многочленах

Рассмотренные выше правила сложения степеней работают и при сложении многочленов — выражений, содержащих несколько слагаемых со степенями:

• 3x 2 + 2x + 5 = 3x 2 + 2*x 1 + 5*x 0
• (2x 2 + 3x + 1) + (x 2 — 2x + 7) = 3x 2 + x + 8

Здесь тоже сначала нужно привести слагаемые к одинаковым степеням x, а затем уже складывать.

Сложение степеней в решении уравнений

Умение складывать степени необходимо при решении различных уравнений, содержащих степени. Например:

• x 2 + 3x = 12
• 2x 4 — x 3 = 7

Здесь сначала также нужно привести степени к одинаковым, а затем решить уравнение обычными методами.

Таким образом, умение складывать степени — это основа для решения более сложных математических задач, включающих работу с многочленами, уравнениями, неравенствами и другими объектами высшей математики. Поэтому владение правилами сложения степеней является важным навыком для каждого, кто хочет развивать свои математические способности.

Использование сложения степеней в дифференциальном и интегральном исчислении

Дифференциальное и интегральное исчисление — разделы математического анализа, которые также активно используют операции со степенями. Рассмотрим пример дифференцирования функции y = x^n. Производная этой функции вычисляется по формуле: dy/dx = n*x^(n-1) Здесь мы видим, что для нахождения производной нужно вычислить степень x с показателем на 1 меньше, чем в исходной функции. Это и есть пример применения правил работы со степенями. В интегральном исчислении для нахождения неопределенного интеграла от степенной функции также используются степени: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C Здесь опять для вычисления интеграла нужно найти степень x с показателем на 1 больше, чем в подынтегральной функции. Таким образом, в дифференциальном и интегральном исчислении умение выполнять действия со степенями (в том числе находить степени с измененными показателями) является неотъемлемой частью работы с основными объектами этих разделов математического анализа.

Применение сложения степеней в теории чисел

Теория чисел изучает свойства целых чисел. Здесь также встречаются выражения со степенями. Например, при доказательстве теорем о свойствах и признаках делимости чисел используют вычисления по модулю степени простого числа. Также в криптографии, которая базируется на теории чисел, широко применяется возведение в степень по модулю больших простых чисел. Все эти примеры демонстрируют важность умения выполнять действия со степенями в теории чисел.

Применение сложения степеней в физике

В физике также встречается множество формул, содержащих степени. Например, в молекулярной физике используется уравнение Клапейрона-Менделеева, связывающее давление, объем, температуру и количество вещества идеального газа: pV = nRT Здесь показатели степени при переменных также могут меняться в зависимости от процесса, описываемого этим уравнением. В электродинамике используется закон Кулона, описывающий силу взаимодействия точечных зарядов, который содержит степени: F = kq1q2/r^2 И во многих других разделах физики мы встречаем формулы со степенями. Это еще раз подчеркивает важность умения выполнять операции со степенями в физических вычислениях.