Где применяются элементы линейной алгебры в векторах

Линейная алгебра: пробный заезд

Аналит, линейка, линал — эти слова ассоциируются скорее с фразой «сдать и забыть», а не с тем, для чего на самом деле нужен замечательный раздел математики под названием линейная алгебра. Давайте попробуем посмотреть на него с разных сторон и разберемся, что же в нем хорошего и почему он так полезен в приложениях.

Часто первое знакомство с линейной алгеброй выглядит как-то так:

Не очень вдохновляет, правда? Сразу возникает два вопроса: откуда это все взялось и зачем оно нужно.

Начнем с практики

Когда я занимался вычислительной гидродинамикой (CFD), один из коллег говорил: «Мы не решаем уравнения Навье-Стокса. Мы обращаем матрицы.» И действительно, линейная алгебра — «рабочая лошадка» вычислительной математики:

Попробую проиллюстрировать эту связь на более простом примере, чем гидродинамика.

Пусть у нас есть тонкий металлический стержень с закрепленными концами, температура которых поддерживается равной нулю. Начнем греть стержень с помощью распределенного источника тепла, выделяющего q(x) Джоулей в секунду на единицу длины стержня в окрестности точки x. Какая температура t=t(x) установится? Сделаем очень грубый набросок модели. Когда установится равновесие, для каждого отрезка [x-h, x+h] нашего стержня приток тепла от источника должен быть равен сумме потоков тепла через границы отрезка. Если h достаточно мало, то с точностью до констант (в которые войдет h, да простят мне это читатели) это равенство можно записать так:

где Q_x-h — поток тепла через левую границу, а Q_x+h — через правую. Согласно закону Фурье тепловой поток пропорционален разности температур (ведь если нырнуть в бассейн, то в первые секунды будет холоднее всего). Поэтому (с точностью до констант, содержащих h)

Пусть h=1/N. Рассмотрим точки вида x_i = i · h, где i=0, 1, 2, . N. Они называются сеткой. Тогда переменные t_i=t(x_i) будут удовлетворять уравнениям

где мы уже учли граничные условия, а q_i=q(x_i). Ну вот мы и получили систему линейных уравнений:

• записать систему в короткой форме A · y = b (вот откуда взялось умножение матриц!);
• понять, имеет ли она решение и единственно ли оно;
• (в данном примере) найти его с помощью простой формулы y = A -1 b, как будто A — число;
• (перетекая в вычислительную математику) построить эффективные численные методы решения систем линейных уравнений.

В качестве еще одного примера приведу известную задачу о ссылочном ранжировании страниц одного сайта (или интернета в целом).
Есть N страниц, каждая из которых может содержать ссылки на другие страницы. Требуется определить, какие страницы являются наиболее важными. Как именно измерять «важность» — часть задачи. Мы будем представлять ее количественно в виде неотрицательного числа (веса). Начнем с естественного предположения: чем больше ссылок на данную страницу, тем больше ее вес. В этом подходе есть следующий недостаток: мы не учитываем вес ссылающихся страниц. Логично, что ссылка со страницы, имеющий больший вес, должна иметь большее значение. Эти рассуждения приводят нас к такой модели:

где a_ij — количество ссылок на i-ую страницу с j-ой, разделенное на общее количество ссылок с j-й страницы. Эту формулу можно читать так: вес i-й страницы равен сумме произведений веса j-й страницы на долю ссылок с j-й страницы на i-ую. Таким образом, мы свели нашу задачу к системе линейных уравнений. Более того, вектор весов p оказывается собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному значению 1:

Существование этого вектора (строго говоря, для немного модифицированной матрицы A) гарантируется теоремой Фробениуса-Перрона. А найти его можно методом простых итераций.

Итак, линейная алгебра — это очень универсальный набор идей и инструментов, которые можно применять в самых разных областях. Но бесплатен только сыр в мышеловке, и за универсальность приходится платить: некоторые определения и теоремы могут показаться излишне абстрактными и запутанными. Но это не так: на самом деле, многие абстракции призваны упрощать жизнь, а не усложнять ее. «Если это выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то, вероятно, это утка» — по сути абстракция, причем весьма удобная, если к ней привыкнуть. То же самое с линейной алгеброй. Чтобы проиллюстрировать этот момент немного конкретнее, давайте дополним наш «внешний осмотр» кратким обсуждением того, что внутри.

Теперь немного теории

Линейная алгебра изучает векторные пространства и функции, которые отображают одно векторное пространство в другое. В основном рассматриваются линейные функции (удовлетворяющие соотношению f(α · x + β · y) = α · f(x) + β · f(y) для любых чисел α и β и любых векторов x и y). Бывают и нелинейные (например, квадратичные формы). Но прежде всего нужно понимать что такое вектор (и векторное пространство). И это не так тривиально, как могло бы показаться.

В учебниках и курсах обычно приводится абстрактное определение из 8 пунктов. Еще иногда говорят, что векторное пространство — это аддитивно записанная абелева группа в которой определено умножение на скаляры, удовлетворяющее 4 аксиомам. Но тем, кто впервые изучает линейную алгебру, это вряд ли поможет разобраться. Гораздо проще рассмотреть несколько конкретных примеров, и увидеть в них аналогию. А определение из 8 пунктов — всего лишь формализация этой аналогии. Поэтому перейдем сразу к примерам.

Знакомые всем со школы направленные отрезки конечно же являются векторами. Множество направленных отрезков — пример векторного пространства. Теперь рассмотрим многочлены. Их можно складывать друг с другом и умножать на числа. Обратите внимание: с точки зрения алгебры эти операции сложения многочленов и умножения многочлена на число работают точно по тем же правилам, что и для направленных отрезков. Например, равенство x+y = y+x (коммутативность) выполняется как для направленных отрезков, так и для многочленов. Поэтому множество многочленов является векторным пространством, а многочлены — векторами.

Раз многочлены похожи на направленные отрезки, то у них тоже должны быть координаты. Но как их искать и сколько координат у многочлена? Всем хорошо известно что на плоскости каждый вектор имеет ровно две координаты, а в пространстве — три. Почему это так? И что такое размерность вообще? Линейная алгебра дает ответ на данный вопрос: размерность — это максимальное число линейно независимых векторов. Что значит линейно независимых? Векторы x₁, x₂, . x_n называются линейно зависимыми если найдутся числа α₁, α₂, . α_n, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что

Если векторы не являются линейно зависимыми, то они называются линейно независимыми. (Понятие линейной зависимости обобщает понятия параллельных и компланарных векторов: два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они параллельны. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.)

Размерность пространства может быть как конечной (пространство многочленов степени не выше N), так и бесконечной (пространство всех многочленов). Оба случая встречаются на практике, но давайте ограничимся конечномерными. Пусть векторы x₁, x₂, . x_n линейно независимы и n — размерность пространства. Тогда любой другой вектор x можно записать в виде линейной комбинации x₁, x₂, . x_n, причем единственным образом. Коэффициенты соответствующей линейной комбинации и называются координатами.

Теперь у нас есть строгое определение координат. Но смысл не только в этом: по пути мы столкнулись с более фундаментальными (и менее заметными) понятиями линейной комбинации и линейной зависимости. А еще мы узнали что в n-мерном линейном пространстве не может быть больше, чем n линейно независимых векторов. Этот факт — один из краеугольных камней линейной алгебры.

Казалось бы, мы все еще знаем слишком мало, чтобы извлечь из этого хоть какую-то пользу. Однако уже сейчас мы можем решать задачи, на первый взгляд не имеющие отношения к линейной алгебре. Например, такую: даны многочлены p и q; существует ли многочлен от двух переменных R=R(x,y) такой, что R(p(t), q(t))=0 при всех t?

Тем временем наш «пробный заезд» подходит к концу. Но остается еще коротко обсудить различные способы изучения линейной алгебры. Ограничусь здесь небольшим обзором своего собственного опыта и попробую дать на основе него пару советов.

Википедия Книга — лучший источник знаний

Мое знакомство с линейной алгеброй началось с самостоятельного изучения книги О.В. Мантурова и Н.М. Матвеева «Курс высшей математики», когда я учился в школе. Эта книга — далеко не лучший (но и не худший) источник знаний в данной области. Просто она стала первым учебником по высшей математике, попавшим в мои руки, и ее содержание показалась мне более интересным, чем школьная программа. Хотя сейчас можно с уверенностью сказать: есть куча других книг, которые школьникам стоит (и будет не менее интересно) изучить в первую очередь. Например, «Как решают нестандартные задачи» (Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К.) или «Ленинградские математические кружки» (Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.). Если же Вы возьметесь изучать линейную алгебру по книгам, то стоит запастись терпением: для достижения желаемого результата может потребоваться больше времени, чем кажется.

Своими основными знаниями линейной алгебры (и многих других разделов математики) я все же обязан Л.И. Коваленко — легендарному преподавателю МФТИ, семинары и консультации которой всегда собирали аншлаг. Сложно переоценить то внимание, которое она оказывала каждому студенту, до позднего вечера принимая задания и так называемые «карточки» — индивидуальные задачи. А еще во время этих сдач мы активно общались друг с другом. Все это позволяло не только быстрее освоить то, что написано в учебниках, но и то, чего там нет — интуицию, хитрые приемы и прочее.

Живое общение студентов с преподавателями (и друг с другом) ничто не заменит, и в этом преимущество традиционных курсов. Но когда я сам работал ассистентом и вел семинары, часто возникало желание некоторые вещи автоматизировать, чтобы на содержательное общение оставалось больше времени. Нужно ли студенту ждать встречи с преподавателем, чтобы получить стандартный ответ на стандартный вопрос? Или узнать правильно ли решена такая-то стандартная задача? Впрочем, не нужно недооценивать студентов: по большей части, они сами хорошо чувствуют когда делают «почти бессмысленную работу», и их это тоже демотивирует. Проверка доказательства или метода решения — это одно, но вот, скажем, проверку решения системы линейных уравнений можно практически полностью доверить компьютеру. Более того, во многих случаях можно автоматизировать не только проверку ответа, но и часть самого решения — например, элементарные преобразования матриц.

1. идеи и методы линейной алгебры проще всего понять решая интересные задачи (в том числе из других областей: это позволит лучше разобраться в абстрактных понятиях);
2. лучше всего делать это не в одиночку, а вместе с друзьями и хорошим преподавателем (еще очень полезны различные форумы);
3. если вас демотивируют рутинные действия — пользуйтесь онлайн-курсами и другими способами автоматизации (здесь нужно иметь чувство меры. Например, перед тем как обращать матрицы в Wolfram Alpha, стоит научиться это делать с помощью ручки и бумаги);
4. книги позволяют двигаться вглубь, но не забывайте следить за временем;
5. основные понятия и теоремы линейной алгебры не появились на пустом месте. Полезно стремиться понять мотивировки, внутреннюю логику и развивать свое интуитивное видение предмета. Ведь наверняка Крамеру, Гауссу, Пеано и многим другим было интересно открывать (прежде всего для себя) эти основы; почему же тем, кто изучает линейную алгебру сейчас, должно быть скучно это делать?

• математика
• линейная алгебра
• введение
• онлайн-курсы

Где применяются элементы линейной алгебры в векторах

3. Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Долгих Е.В. Экономико-математические методы: теория и практика. – Ставрополь: СтГАУ «АГРУС», 2006.

В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Применение линейной алгебры значительно упростило решение многих экономических задач. В данной работе рассматриваются основные способы решения задач с помощью элементов линейной алгебры.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, дана следующая таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы (условных единиц).

Продолжительность службы (годы)

Предложенную таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом:

где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в матрице. К примеру, число 1825 во второй строке третьего столбца представляет собой цену прослужившего 2 года автомобиля в 2007 году. Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце – цены автомобилей различного срока службы в данном году.

Таким образом, место, занимаемое числом в матрице, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится цена.

Применение матриц при решении экономических задач рассмотрим на следующем примере. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1, S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

где каждый элемент aij (i = 1, 2, 3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130).Стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей-столбцом . Необходимо найти общую стоимость сырья.

Решение: Затраты первого сырья составляют S1 = 2∙100 + 5∙80 + 1∙130 = 730единиц, а второго S2 = 3∙100 + 2∙80 + 4∙130 = 980 единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки (730 980) и произведения:

Общая стоимость сырья

Q = 730∙30 + 980∙50 = 70900 (денежных единиц)

может быть записана в следующем виде:

Q = S∙B = (CA)B = (70900).

Вывод: общая стоимость сырья составляет 70900.

Также экономические задачи можно решать с помощью систем линейных уравнений.

Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу:

Из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Где применяются элементы линейной алгебры в векторах

1. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции, 2014. – С. 329-332.

2. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8-2. – С. 178-179.

3. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам //Аграрная наука, творчество, рост. – 2013. – С. 268-371.

4. Шмалько С.П. Сгущение учебной профессионально ориентированной информации по математике при обучении студентов-экономистов. // Теория и практика общественного развития. – 2011. – №6. – С. 150-155.

5. Шмалько С.П. Формирование профессионально ориентированного мышления у студентов экономических направлений // Культурная жизнь Юга России. – 2010. – № 1. – С. 99-101.

Ни для кого не секрет, что математика – фундаментальная, очень обширная наука, включающая в себя множество разделов. Так же нельзя не отметить её огромное значение в жизни каждого человека и человечества в целом. Практически все экономические и политические процессы тем или иным образом связаны с математическими расчётами, а все остальные науки хотя и в разной степени, но связаны с математикой. Одним из разделов математики является линейная алгебра, с помощью которой происходит изучение объектов линейной природы, векторных (линейных) пространств и т.д.

Первыми исследованиями в области линейной алгебры были решения системы линейных уравнений. Первым, кто уделил наибольшее внимание этой науке, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, который в 1693 г. стал активно применять линейную алгебру на практике. В начале XX века линейная алгебра стала обязательным предметом для изучения в средних и высших образовательных учреждениях.

Что же используется в линейной алгебре? В первую очередь это решение систем линейных уравнений, составление матриц, нахождение детерминантов и изучение векторов и векторных пространств. Чтобы хоть немного вникнуть в сущность линейной алгебры, нужно знать значение основных понятий этого раздела.

Матрица – математический объект, который записывают в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают её размер.

Система линейных уравнений – это объединение m линейных уравнений, каждое из которых содержит n переменных. Записывается в виде:

,

Вектор – направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве параллельно самому себе, так же вектор – это элемент некоторого непустого множества, на котором определены две операции: сложение и умножение векторов на вещественные числа.

Векторное пространство – это математическая структура, которая представляет собой множество векторов, для которых определены операции сложения векторов между собой и умножение на число. Если под множеством векторов понимать элементы любой природы, то множество называется линейным пространством.

Нельзя не отметить, что все эти понятия используются не только в линейной алгебре, но и в других сферах, например, в экономике. Так как экономический анализ практически всегда сопровождается математическими подсчётами количественных изменений, линейная алгебра неразрывно связана с ней, хотя это и две разные области знаний, которые имеют разные предметы изучений. Наиболее распространённый метод решения экономических задач – составление матриц, которые имеют широкое применение в экономических исследованиях, так как большинство реальных экономических ситуаций удобно описывать простой и компактной матричной форме.

Например: дана таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы и года выпуска.

Продолжительность службы (годы)

Годы выпуска автомобилей

Рубрика: Линейная алгебра

Линейная алгебра – это раздел математики, в рамках которого изучаются самые разнообразные объекты линейной природы. В числу таких объектов относят линейные уравнения и пространства, отображения и т.д.

Основным объектом линейной алгебры является линейное пространство — понятие, обобщающее:

• множество V₃ векторов в пространстве и
• множество M_mn(R) матриц одного типа с линейными операциями, заданными на этих множествах.

Элементы линейного пространства называют векторами, обобщая термин из векторной алгебры. Само линейное пространство часто называют векторным.

Линейные пространства — один из самых распространенных математических объектов, и применение линейной алгебры далеко не исчерпывает векторной и матричной алгебрами.

В линейном пространстве действуют две операции:

• сложение векторов и
• умножение вектора на число, которые подчиняются аксиомам линейного пространства.

Однако могут вводиться и другие операции и соответственно дополнительные аксиомы. Эти операции задают дополнительные отношения в линейном пространстве, которые тоже изучаются в линейной алгебре и часто используются в различных приложениях.

Среди базовых инструментов линейной алгебры можно назвать матрицы и определители, а также сопряжение. В разделе «Линейная алгебра» на нашем сайте можно найти основные определения, кроме того, примеры с подробным решением, а также видеоуроки. Если не нашли нужную тему, или есть трудности с решением каких-то типовых задач — пишите об этом в комментариях.

Перечень тем курса линейной алгебры

Ранг матрицы

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Обозначается ранг матрицы: r(A) или rang(A). Методы нахождения ранга матрицы Суще.

Правило треугольника

Общая формула вычисления определителя матрицы 3 на 3 довольно громоздка. Поэтому для вычисления определителя 3 порядка существует метод под названием — пр.

Метод Жордана — Гаусса

Этот метод заключается в следующем: расширенную матрицу системы путем элементарных преобразований нужно привести к ступенчатому виду. К элементарным преобразова.