Как найти приближенное значение функции

Вычисление приближенно с помощью дифференциала

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x₀), а dy=f’(x₀)(x-x₀), получим

f(x) ≈ f(x₀) + f’(x₀)(x–x₀) , (1)

где x-x₀ = ∆x.
Пример№1 . Вычислить .
Решение. Взяв функцию , имеем: . Полагая x₀=16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим:

Пример №2 . Вычислить значение функции f(x) = e x в точке x=0.1.
Решение. В качестве x₀ возьмем число 0, то есть x₀=0, тогда ∆x=x-x₀ =0.1 и e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e 0.1 ≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t. Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t 2 , то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx.

Пример №3
Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции при x=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x=3600. Формула (1) при a=3600, h=54 дает . Здесь все знаки верны.

Пример №4 . Найти 10 2,1 .
Решение. Полагаем f(x)=10 x , так что . Формула (1) при a=2, h=0,1 дат:
.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой значащей цифры 10 2,1 =125,9).
Если таким же образом вычислить 10 2,01 (теперь h=0,01), получим 102,3. Здесь все знаки верны.

Пример №5 . Найти без таблиц tg 46 о .
Решение. Полагаем f(x)=tg x, a=45 о , h=1 о =0,0175 радиана; тогда имеем: . Значит, tg 45 о =1+2·0,0175=1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем tg 46 o =1, 0355.

Полезно заметить следующие приближенные формулы ( a -малая величина):
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
, ; (5)
, ; (6)
Формулы (2)-(6) являются частными случаями формулы (1+a) n ≈1+na; последняя получается из (1), если положить f(x)=x n , a=1,h=a.
ln(1+a)≈a, ln(1-a)≈-a; (7)
e a ≈1+a, ; (8)
sin a≈a, , tg a≈a; (9)

Приближенные вычисления с помощью рядов

После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:

– приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;

На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:

Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона. Тип первый:

Используя разложение функции в ряд, вычислить число , ограничившись 5 членами разложения. Результат округлить до 0,001. Провести вычисления на калькуляторе и найти абсолютную погрешность вычислений.

Решение: прежде всего, выбираем подходящее табличное разложение функции. Очевидно, что в нашем случае необходимо взять следующий ряд:
, который сходится при любом значении «икс».

Кратко повторим, что такое сходимость функционального ряда: чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию . Действительно, график параболы совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена совпадёт с графиком экспоненциальной функции .

Примечание: в теории даже есть такой подход и определение: функция – это сумма функционального ряда .

В условии прямо сказано, что нужно просуммировать 5 первых членов ряда, причём, результат следует округлить до 0,001. И поэтому проблем здесь никаких:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора:

Абсолютная погрешность вычислений:
– ну что же, вполне и вполне неплохо. Но бывает лучше.

Ответ:

Теперь рассмотрим нескольку другую разновидность задания:

Используя разложение функции в ряд, вычислить приближённо с точностью до 0,001.

! Примечание: иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы.

Давайте вспомним смысл выражения «с точностью до 0,001». Оно обозначает, что наш ответ должен отличаться от истины не более чем на 0,001.

Решение: используя табличное разложение , запишем несколько членов соответствующего ряда, при этом округление лучше проводить с «запасом» – до 5-6 знаков после запятой:

Сколько членов ряда следует просуммировать для достижения требуемой точности? Для сходящихся знакочередующихся рядов справедлив следующий критерий: члены следует суммировать до тех пор, пока они по модулю больше заданной точности. Первый же меньший вместе со всем «хвостом» подлежит утилизации. В данном примере таковым является 4-й член: , поэтому:

– с округлением финального результата до требуемой точности.

Ответ: с точностью до 0,001

Наверное, все понимают, почему она гарантирована: здесь к отрицательному 4-му члену прибавляется мЕньшее по модулю число , затем из результата вычитается ещё более малое число – и так далее до бесконечности. Образно говоря, конструкция напоминает маятник с затухающими колебаниями, где – самый большой размах в отрицательную сторону, «затмевающий» собой все остальные движения.

Очевидно, что для сходящихся положительных рядов (ближайший пример – Пример 1) рассмотренный критерий некорректен. Условно говоря, если 0,00034 < 0,001, то сумма «хвоста» может запросто превзойти 0,001 (т.к. ВСЕ члены ряда положительны). И к этому вопросу я ещё вернусь позже:

Вычислить с точностью до 0,001

Вычислить приближённо, используя первые два члена соответствующего разложения. Оценить абсолютную погрешность вычислений.

Это примеры для самостоятельного решения. Разумеется, выгодно сразу же найти чтобы эффективно контролировать ход решения.

И возникает вопрос: зачем заниматься такими нелепыми вещами, если есть калькуляторы, расчётные программы? Отчасти я дал ответ на уроке Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Не так уж и давно калькулятор был большой редкостью, не говоря о такой роскоши, как клавиши с надписями и т.д. В гостевой книге сайта одна из посетительниц поделилась воспоминаниями, как все расчёты своего диплома проводила с помощью математических таблиц и логарифмической линейки. А такой инструментарий наряду с механическими счётами сегодня займут место разве что в музее истории математики.

Резюме таково – мы решаем устаревшую задачу. Насущный же практический смысл состоит в том, что её нужно решить =) Ну, может ещё по информатике будет полезно кому – приближенная сумма с наперёд заданной точностью элементарно алгоритмизируется циклом. Правда, какой-нибудь Паскаль довольно быстро сломается, поскольку факториал растёт семимильными шагами.

Кроме того, есть ещё одно очень важное и актуальное приложение, имеющее прикладное значение, но этот секрет будет раскрыт по ходу урока 😉 Выдвигайте гипотезы, если догадаетесь – респект.

Также не следует упускать из внимания область сходимости предлагаемых рядов, разложения синуса, косинуса и экспоненты – да, сходятся при любом «икс», но разобранные примеры не должны усыплять бдительность! Простейшая иллюстрация – арктангенс и его разложение . Если попытаться вычислить, скажем, значение , то легко заметить неограниченный рост (по модулю) членов ряда, который не приведёт нас к какому бы то ни было конечному, и тем более приближённому значению. А всё потому, что не входит в область сходимости данного разложения.

Разберём более трудные задания:

Вычислить с точностью до 0,01

Решение: щёлкаем по клавишам калькулятора: . И думаем, как выполнить приближённые вычисления с помощью ряда. В ситуациях с корнем дело сводится к биномиальному разложению с гарантированным интервалом сходимости .

Пытаемся представить наш радикал в виде :

И всё бы было хорошо, но только значение не входит в область сходимости рассматриваемого биномиального ряда, то есть конструкция не годится для вычислений – произойдёт такой же несчастный случай, как с рассмотренным выше .

Как быть? Ещё раз смотрим на значение и замечаем, что оно близко к «тройке». В самом деле: . Используя замечательного соседа, проводим следующее типовое преобразование: под корнем выделяем число 27, искусственно выносим его за скобки и далее выносим из-под корня:

Вот теперь всё тип-топ: число принадлежит интервалу сходимости . Но в качестве «побочного эффекта» возникает необходимость поправить точность вычислений. Ведь когда мы подсчитаем члены разложения , то будем обязаны домножить каждое число на «тройку». И по этой причине изначально требуемую точность 0,01 нужно устрожить в три раза: .

Итак, используем ряд , в котором . Не забываем проверить по таблице разложений, не подпадает ли наш пример под какой-нибудь частный случай биномиального разложения. Нет. А, значит, придётся работать ручками:

Тут для достижения необходимой точности (заметьте, что члены начали знакочередоваться!) хватило трёх слагаемых, и четвёртого монстра считать не было смысла. Но «про запас» всегда стараемся расписать побольше членов ряда. Если поленитесь и не хватит слагаемых – будете заново переписывать всё задание.

Ответ: с точностью до 0,01

Да, вычисления, конечно, не подарочные, но что поделать….

Более простая вариация на ту же тему для самостоятельного решения:

Вычислить , ограничившись первыми тремя членами ряда. Результат округлить до 3 знаков после запятой.

Образец оформления задачи в конце урока. И не забываем вновь обратиться к вычислительной технике: .

Что студент с нетерпением ждёт изо дня в день? Логарифмы:

Вычислить с точностью до 0,001

Решение: сначала, как всегда, узнаем ответ: .

Очевидно, что здесь нужно использовать разложение

И это действительно возможно, т.к. значение входит в область сходимости данного ряда.

Стоп. Что-то здесь не так. Сойтись-то ряд сойдётся, но такими темпами вычисления могут затянуться до скончания века. И научный тык в неравенство подсказал, что этот конец наступит после счастливого номера .

Таким образом, ряд сходится довольно медленно и пригоден для вычислений разве что и других логарифмов, аргумент которых достаточно близок к единице.

В целях значительного ускорения процесса несложно вывести следующее разложение:
с областью сходимости

Приятная вещь состоит в том, что всякое положительное число (кроме единицы) можно представить в виде . Преобразуем аргумент логарифма в обыкновенную дробь: и решим следующее уравнение:

И теперь у нас обнаружилась другая проблемка – ряд-то, оказывается, положительный, и поэтому здесь нельзя указать и отбросить весь «хвост». Вдруг он в своей сумме окажется больше, чем 0,001? В этой связи используем более хитрый метод оценки. Сохранив «на всякий случай» подозрительно большой 3-й член, рассмотрим остаток ряда:

Числа 9, 11, 13, … в знаменателях меняем на 7 – тем самым только увеличивая члены, а значит, и всю сумму остатка:

Далее выполняем обычные алгебраические преобразования и находим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле :

По-научному, это называется подбором мажорантного сходящегося ряда (в данном случае – геом. прогрессии), сумму которого легко отыскать (или которая известна). И план оказался не только выполнен, но и перевыполнен! Отбрасывая все члены ряда, начиная с 4-го, будет гарантирована точность 0,00002! Впрочем, по условию результат всё равно нужно округлить до трёх знаков после запятой:

Ответ: с точностью до 0,001

Ну и осталось с чувством голубого морального удовлетворения свериться с более точным значением .

…А может быть, было проще вычислить сумму 12 членов медленно сходящегося ряда? =) Впрочем, в следующем задании такой возможности уже не будет в принципе:

Вычислить с точностью до 0,001

– по той причине, что значение не входит в область сходимости ряда .

Статья начиналась с приближённого вычисления числа «е», и закончим мы её другой знаменитой константой:

Приближённое вычисление числа с помощью ряда

О «пи» исписаны километры бумаги и сказаны миллионы слов, поэтому я не буду загружать вас историей, теорией и гипотезами, если интересно (а это и на самом деле интересно), обратитесь, например, к Википедии. Данное число обладает бесконечным количеством знаков после запятой: , и теория рядов предоставляет один из эффективных способов нахождения этих цифр:

Используя значение и разложение арктангенса в ряд Маклорена вычислить приближённо число , используя первые пять членов ряда. Оценить количество верных знаков.

Решение: запишем первые пять членов разложения в ряд арктангенса:

В данном случае :

В результате , откуда легко выразить приближённое значение:

Ответ: , данный способ даёт два верных знака после запятой.

Очевидно, что чем больше членов ряда рассмотреть, тем точнее будет найдено число «пи». Кроме того, существуют значительно более быстро сходящиеся ряды, позволяющие малым количеством слагаемых получить очень высокую точность.

На сегодня найдены многие миллиарды верных цифр после запятой, в последовательности которых не обнаружено каких-либо закономерностей. Доходит до того, что всевозможные экстрасенсы и философы считают, что в данном числе зашифровано всё-всё-всё на белом свете.

А если откинуть мистику, то вычисление чисел «е», «пи» и других констант имеет важное прикладное значение, так, например, в астрономических расчётах с гигантскими числами верный 20-й знак после запятой может играть существенную и даже принципиальную роль.

Да будут потёрты клавиши вашего калькулятора =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: используем разложение .
В данном случае :

Ответ: с точностью до 0,001

Пример 4: Решение: используем разложение . Вычислим сумму двух первых членов ряда: . Так как ряд является знакочередующимся, то абсолютная погрешность не превзойдёт по модулю третьего члена:
Ответ: , абсолютная погрешность вычислений – не более чем

Пример 6: Решение: преобразуем радикал:

Используем частный случай биномиального разложения:
, в данном случае – принадлежит области сходимости ряда.

Ответ:

Пример 8: Решение: для самопроверки вычислим данное значение на калькуляторе: .
Используем разложение: .
Представим аргумент в виде обыкновенной дроби и найдём :

Таким образом:

Предполагая, для достижения требуемой точности будет достаточно 3 членов, оценим остаток ряда:

Числа 9, 11, 13… заменим на 7, тем самым только увеличив члены ряда. Выполним преобразования и найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии :

Таким образом, первые три члена ряда гарантируют требуемую точность:

Ответ: с точностью до 0,001

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Функции / Дифференциалы / Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение функции Δу при приращении аргумента на Δх отличается от дифференциала функции dy на бесконечно малую величину. Бесконечно малой величиной можно пренебречь и записать:

Можно утверждать, что при малых приращениях аргумента приращение функции равно:

или значение функции в точке х+Δх можно определить по формуле:

Чем меньше Δх тем точнее оказывается результат вычисления значения функции в точке х₀ + Δх. Формула (3.28) находит широкое применение на практике при приближенных вычислениях значений функций.

Формулы приближенного вычисления значений

элементарных функций

Элементарная функция

Формула приближенного вычисления

Пример 1. Вычислить приближенно значения

Решение. Представим число 83 в виде х₀ + Δх, где х₀ ближайшее к 83 число, для которого известен . Таким числом является х₀ = 81 (х₀ + Δх = 81 + 2). Воспользуемся формулой приближенного вычисления степенной функции при :

Пример 2. Вычислить приближенное значение функции

Решение. Обозначим х₀ = е; Δх = 0,272. В соответствии с формулой для дифференциала логарифмической функции получим:

3. Найти приближенное значение приращения дифференциала функции y = sin 2 x при и .

Решение. Для вычисления приращения дифференциала функции Δ(dy) найдем сначала дифференциал функции:

Приращение дифференциала будет равно:

Пример 3. Вычислить приближенно значения lg 9,8.

Решение. Для нахождения приближенного значения lg 9,8 представим число 9,8 в виде х₀ + Δх = 10 – 0,2. Используя формулу для приближенного вычисления значений логарифмической функции (табл. 3.2) получим:

При заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента х с помощью дифференциала может быть найдена абсолютная и относительная погрешность нахождения значения функции у = f(x).

Предположим, что значение аргумента х измерено с некоторой погрешностью

x₀ – Δx < x < x₀ + Δx, где Δx = |x – x₀|. Необходимо по данному значению аргумента вычислить значение функции у = f(x) и определить погрешность вычисленного значения функции. если вместо истинного значения аргумента х₀ мы возьмем значение х, то при вычислении значения функции погрешность вычисления составит:

Относительная погрешность вычисления функции при достаточно малых Δх может быть вычислена по формуле:

В правой части равенства первый сомножитель является эластичностью функции E_x(y), а второй сомножитель равен относительной погрешности измерения аргумента :

Таким образом, относительная погрешность вычисления значения функции равна произведению эластичности функции на относительную погрешность измерения аргумента.

Пример 4. Определить на сколько процентов изменится значение степени 2 3,1 при изменении основания степени на 5%.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой для относительного приращения функции, определяющейся эластичностью функции. В условии задачи задано относительное приращение аргумента , являющегося основанием степени. Таким образом, исходной функцией является степенная функция у = х 3,1 при х₀ = 2 и δ_х = 0,05.

Определяем эластичность Е_х(у):

Определяем относительное приращение аргумента:

В процентах значение степени 2 3,1 при изменении основания на 5% изменится на 15,5%.

9.2. Приближенное вычисление приращения функции

Приращение функции отличается от дифференциала функциина величину бесконечно малую высшего порядка относительно. Поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством, или в развернутом виде

.

Из последнего равенства получим формулу

.

Пример 10. Дана функция . Найти приближенное значение приращения прии.

Данная операция сопряжена с вычислительными трудностями, особенно при достаточно сложном выражении функции. Поэтому часто используют вместо вычисления приращения функции вычисление ее дифференциала. Дифференциал функции равен.

Отметим, что точное значение приращения функции равно

Значения иотличаются друг от друга на бесконечно малую величину. Это еще раз подтверждает целесообразность заменыпри малых приращенияна дифференциал.

10. Дифференциалы высших порядков

• Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функцииназывается дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается .

Дифференциал второго порядка равен произведению производной второго порядка на квадрат дифференциала: .

• Дифференциал -го порядка определяется как дифференциал от дифференциала ()-го порядкаи равен_.

Число называется порядком дифференциала. Пример 11. Для функции найтии. ; .

11. Монотонность функции

С помощью производной можно изучать различные свойства функции. Возрастающие или убывающие функции на называются монотонными на этом интервале.ТЕОРЕМА (условия монотонности функции на интервале) Пусть функция непрерывна и дифференцируема на интервале . Тогда 1) если производная для любого, то функциястрого возрастает на ; 2) если производная для любого, то функциястрого убывает на . Таким образом, знак производной позволяет судить о характере изменения функции.Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

1. Область определения ;
2. производная положительна при(так какдля всех). Значит, на производная положительна и возрастает, а вне этого интервал функция убывает.

12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Выбор наилучшего варианта из множества возможных называется оптимизацией, которая сводится к отысканию максимумов и минимумов функции.

• Значение функцииназываетсямаксимумом функции, если для любой точкииз окрестности точкивыполняется. Соответствующее значение аргументаназываетсяточкой максимума.
• Значение функцииназываетсяминимумом функции, если для любой точкииз окрестности точкивыполняется. Соответствующее значение аргументаназываетсяточкой минимума.
• Максимумы и минимумыфункции называютсяэкстремумами функции, а точки максимума и минимума — точками экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая то, что понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью точки . Очевидно, прежде чем строить график функции, необходимо выяснить, имеет ли функция экстремумы, и найти их. Как это сделать?

• Точка называетсякритической точкой функции, если имеет место одно из условий:

1) ; 2)не существует. Геометрически это означает, что в критической точке касательная к графику функции: 1) параллельна оси ОХ; 2) либо параллельна оси ОУ, либо касательная вовсе не существует. Сформулируем необходимое условие экстремума функции. ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума функции) Если — точка экстремума функции, тоилине существует (то есть— критическая точка). Отсюда следует, что точками экстремума непрерывной функции могут быть лишь критические точки. Однако это условие не является достаточным. Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума функции, нужно проверить выполнение достаточных условий. Теорема (Первый достаточный признак экстремума). Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки(в самой точке производная может не существовать). Если при переходе через точкуслева направо производная

1. меняет знак с плюса на минус, то являетсяточкой максимума;
2. меняет знак с минуса на плюс, то являетсяточкой минимума;
3. не меняет знак, то не являетсяточкой экстремума.

Схема исследования функциина экстремум

1. Найти область определения функции .
2. Найти производную .
3. Найти критические точки , в которых производная равна нулю или не существует (точки возможного экстремума).
4. Разбить область определения функции критическими точками на интервалы.
5. Определить знакпроизводной на каждом интервале. На тех интервалах, где , функция возрастает, а там, где— функция убывает.
6. Если при переходе через критическую точку слева направо:

меняет знак с «+» на «-», то точка являетсяточкой максимума; меняет знак с «-» на «+», то точка являетсяточкой минимума; не меняет знак, то точка не являетсяточкой экстремума. 7. Вычислить значения функции ив точках экстремума. Теорема (Второй достаточный признак экстремума). Пусть функция и ее производныеинепрерывны в некоторой окрестности точкии. Тогда если значение второй производной в точке:

1. , то – точкамаксимума функции;
2. , то – точкаминимума функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью второго достаточного признака в схеме пункты 1, 2, 3 останутся без изменения, а пункт 4 формулируется так: 4. Найти вторую производную , определить еезнак в каждой критической точке и сделать вывод о наличии экстремумов в этой точке (с помощью второго достаточного признака экстремума). Пример 2. Найти точки экстремума функции . Функция определена при всех действительных значениях . Производная равна нулю при . На знак производной влияет только числитель , так как знаменательпри любом. При (слева от критической точки) производная отрицательна: например,. А при(справа от критической точки) производная положительна: например,. Значит, по первому достаточному признаку экстремума точка есть точка минимума функции. Минимум функции равен . Ответ.