Как возвести матрицу в степень?
Иногда может возникнуть необходимость выполнить возведение матрицы в степень. В этой статье мы рассмотрим, каким образом и в каком порядке выполняется данная операция.
Если говорить простыми словами, то вся суть возведения матрицы в степень n заключается в том, чтобы умножить матрицу на саму себя, сделав это n-е число раз. Однако существует ряд условий:
— правило справедливо лишь для квадратных матриц, которые имеют одинаковое (равное) число строк и столбцов;
— показатель степени должен быть натуральным (2, 3, 4, 5, 6, 7…).
Квадрат матрицы
Для примера давайте возведем матрицу в квадрат (то есть во вторую степень). Представим, что у нас есть квадратная матрица А 2 . Как уже было сказано выше, для получения нужного результата ее нужно умножить на саму себя:
В каком порядке и как нужно выполнять расчет, чтобы возвести А в квадрат?
Представьте, что строки 1-й матрицы представляют собой столики в кафетерии. Тогда столбцы 2-й матрицы (ниже обозначены разными цветами) — это официанты. Поначалу «столики обслуживают» официанты из красного столбца, потом зеленого, потом синего. Таким образом происходит последовательный перебор столбцов слева направо. Вот такой вот мысленный прием.
Решение:
Напоследок скажем, что сегодня существует множество онлайн-калькуляторов, позволяющих выполнять широкий спектр математических матричных операций:
— возведение матриц в степень;
— умножение на число;
— сложение и вычитание;
— нахождение обратной матрицы;
— нахождение ранга и определителя.
На этом все, очень надеемся, что у вас больше не будет возникать вопросов о том, как и в каком порядке возводить матрицу в степень.
- https://studwork.org/spravochnik/matematika/matricy/vozvedenie-matricy-v-stepen;
- http://www.mathprofi.ru/svoistva_operacij_nad_matricami_matrichnye_vyrazheniya.html.
Возведение в большие степени матрицу по модулю
Стоит задача возвести матрицу в большую степень по модулю. Примерно как возводить матрицу в степень я понимаю, но если степень большая, то это будет очень долго. Подскажите, пожалуйста как можно это реализовать
Отслеживать
задан 27 мар 2018 в 16:26
635 1 1 золотой знак 10 10 серебряных знаков 28 28 бронзовых знаков
Воспользуйтесь быстрым возведением в степень
27 мар 2018 в 17:00
Для обычного числа понятно как, но как для матрицы, особо непонятно
27 мар 2018 в 17:18
Чтобы возвести матрицу в степень, нужно её саму на себя переносить нужное количество раз, т.е. там будет суммирование элементов. Как тут воспользоваться этим быстрым возведением в степень, пока не представляю как
27 мар 2018 в 17:39
Ну вы же знаете, как множить матрицы? Вот точно так же — просто вместо числа получается матрица.
Возведение треугольной матрицы в большую степень
Очень прошу подсказать или посоветовать источник, где можно почитать про возведение треугольных матриц в большую степень. Например, как быстро вычислить $%\begin 2 & 1 \\ 0 & 2 \end^$%.
задан 4 Май ’17 6:43
dolnikov
570 ● 4 ● 28
96% принятых
2 ответа
Рассмотрим несколько способов. Матрица A из условия имеет след, равный 4, и определитель, равный 4. Её характеристический многочлен равен $%p(t)=t^2-4t+4$%. По теореме Гамильтона — Кэли, матрица удовлетворяет уравнению $%p(A)=A^2-4A+4E=0$%. Для нахождения $%A^$% достаточно знать остаток от деления многочлена $%t^$% на $%p(t)$%. Это будет многочлен вида $%ct+d$% для некоторых констант $%c$%, $%d$%, и тогда ответом будет матрица $%cA+dE$%. Это один из возможных способов, но в данном случае всё проще. Здесь $%A=2E+B$%, где $%B^2=0$%. Поэтому для возведения в $%n$%-ю степень можно применить биномиальную формулу (слагаемые коммутируют). Получится $%A^n=(2E+B)^n=2^nE+n2^B$%, и все остальные слагаемые равны нулю. То есть получится матрица $%A^n=\begin 2^n & n2^ \\ 0 & 2^n \end$%.
Этот же вид матрицы можно угадать, рассматривая небольшие значения $%n$%, и далее доказать методом математической индукции. В тех случаях, когда матрица диагонализируема, её сначала приводят к виду $%T^DT$%, где $%D$% диагональна, и затем возводят в степень, получая $%T^D^nT$%, где для диагональной матрицы всё возводится просто.
отвечен 4 Май ’17 13:12
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Онлайн калькулятор. Возведение матрицы в степень
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто возвести матрицу в степень.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для возведения матрицы в степень, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения таких задач, а также закрепить пройденный материал.
Возвести матрицу в степень
| Очистить | Размер: × |
| Транспонировать | Умножить на |
| Найти определитель | Возвести в степень |
| Найти ранг | Обратная матрица: A -1 |
Ввод данных в калькулятор для возведения матрицы в степень
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для возведения матрицы в степень
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.
Теория. Возведение матрицы в степень
Результатом возведения матрицы в степень , будет матрица равная произведению самой на себя соответствующее количество раз.
Возводить в степень можно только квадратные матрицы (матрицы у которых количество строк равно количеству столбцев).
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com