Равнодействующая сила
Все тела взаимодействуют между собой. Мерой взаимодействия тел или частиц служит такая векторная физическая величина как сила ($\overline$). Результатом действия силы на тело является его деформация или изменение скорости перемещения, возможно и то и другое одновременно.
Одним из основных законов классической динамики является второй закон Ньютона, который связывает силы, действующие на тело и его ускорение:
Сложение сил, равнодействующая сила
Если к материальной точке приложено несколько сил, то их можно заменить равнодействующей силой. Равнодействующая получается в результате векторного суммирования сил, воздействующих на тело.
Определение
Векторная сумма всех сил, действующих на тело одновременно, называется равнодействующей силой ($\overline$):
Иногда равнодействующую силу обозначают $\overline$, чтобы выделить, но это не обязательно.
Равнодействующую можно найти по правилу многоугольника (рис.1).
Если при сложении сил многоугольник получится замкнутым, следовательно, равнодействующая сил равна нулю (рис.2). Такую систему сил называют уравновешенной.
Если несколько сил приложены к одной точке, то эти силы можно уравновесить, если приложить еще уравновешивающую силу. Уравновешивающая сила равна равнодействующей, но противоположно направлена.
Если на тело действуют несколько сил, то второй закон Ньютона записывается как:
Равнодействующая всех сил, действующих на тело, может быть равна нулю, в том случае, если происходит взаимная компенсация сил, приложенных к телу. В таком случае тело движется с постоянной скоростью или находится в покое.
При решении задач и изображении сил, действующих на тело, на рисунке, если тело движется с постоянным ускорением, равнодействующую силу направляют по ускорению и изображают длиннее, чем противоположно ей направленную силу (сумму сил). При равномерном движении (или если тело находится в состоянии покоя) длина векторов сил, имеющих противоположные направления одинакова.
Изучая условия задачи, следует выяснить, какие силы действуют на тело, и войдут в равнодействующую, какие силы не оказывают существенного влияние на движение тела и их можно не учитывать. Значимые силы изображают на чертеже. Складывают силы по правилам сложения векторов.
Примеры задач с равнодействующей силой
Задание. Чему равна равнодействующая двух сил, действующих на материальную точку, если они заданы уравнениями:
где $\overline$ — единичный вектор оси X декартовой системы координат; $\overline$ — единичный вектор оси Y декартовой системы координат; $A$- постоянная величина.
Решение. Исследование системы (1.1) позволяет сделать вывод о том, что векторы $<\overline
Модуль равнодействующей найдем по теореме Пифагора:
Ответ. Модуль равнодействующей равен $R$=А
Задание. Материальная точка массой $m\ (кг)$ совершает прямолинейное перемещение по закону $x=3-2t+6t^2(м).$ Чему равна величина равнодействующей силы, заставляющей точку двигаться в конце третьей секунды движения?
Решение. По второму закону Ньютона равнодействующая сил, приложенных к телу равна:
Так как тело движется прямолинейно по оси X (это следует из закона движения), то:
Найдем первую, а за тем вторую производные от $x$ по времени:
В результате имеем:
Ответ. Равнодействующая сил, заставляющая материальную точку двигаться по заданному закону постоянна и не зависит от времени. Ее величина равна $F=12\ m\ Н.$
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Формула модуля равнодействующей силы
На тело могут оказывать действие не одна, а некоторая совокупность сил. Суммарное действие этих сил характеризуют, используя понятие равнодействующей силы.
Формула равнодействующей всех сил
Пусть на тело воздействуют в один и тот же момент времени N сил. Ускорение тела при этом равно сумме векторов ускорений, которые возникли бы при наличии каждой силы отдельно. Сила является векторной величиной. Следовательно, силы, действующие на тело, нужно складывать в соответствии с правилом сложения векторов. Равнодействующей силой ($\overline$) называют векторную сумму всех сил, которые оказывают действие на тело в рассматриваемый момент времени:
Формула (1) — это формула равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Равнодействующая сила является искусственной величиной, которую вводят для удобства проведения вычислений. Равнодействующая сила направлена также как вектор ускорения тела.
Складывают векторы, используя правило треугольника (рис.1)
правило параллелограмма (рис.2).
или многоугольника (рис.3):
Второй закон Ньютона и формула модуля равнодействующей
Основной закон динамики поступательного движения в механике можно считать формулой для нахождения модуля равнодействующей силы, приложенной к телу и вызывающей ускорение этого тела:
$\overline=0$, если силы, приложенные к телу, взаимно компенсируют друг друга. Тогда в инерциальной системе отсчета тело скорость движения тела.
При изображении сил, действующих на тело, на рисунке, в случае равноускоренного движения, равнодействующую силу, изображают длиннее, чем сумму сил, которые противоположно ей направлены. Если тело перемещается с постоянной скоростью или покоится, длины векторов сил (равнодействующей и сумме остальных сил), одинаковы и направлены они в противоположные стороны.
Когда находят равнодействующую сил, на рисунке изображают все учитываемые в задаче силы. Суммируют эти силы в соответствии с правилами сложения векторов.
Примеры задач с решением
Задание. К материальной точке приложены силы, направленные под углом $\alpha =60<>^\circ $ друг к другу (рис.4). Чему равен модуль равнодействующей этих сил, если $F_1=40\ $Н; $F_2=20\ $Н?
Решение. Силы на рис. 1 сложим, используя правило параллелограмма. Длину равнодействующей силы $\overline$ найдем, применяя теорему косинусов:
Вычислим модуль равнодействующей силы:
\[F=\sqrt^2+^2+2\cdot 40\cdot 20^\circ )\ >>\approx 52,92\ \left(Н\right).\]
Ответ. $F=52,92$ Н
Задание. Как изменяется модуль равнодействующей силы со временем, если материальная точка массы $m$ перемещается в соответствии с законом: $s=A$, где $s$ — путь пройденный точкой; $A=const;;\ \omega =const?$ Чему равна максимальная величина этой силы?
Решение. По второму закону Ньютона равнодействующая сил, действующих на материальную точку равна:
Следовательно, модуль силы можно найти как:
Ускорение точки будем искать, используя связь между ним и перемещением точки:
Первая производная от $s$ по времени равна:
Подставим полученный в (2.5) результат, в формулу модуля для равнодействующей силы (2.2) запишем как:
Так как косинус может быть меньше или равен единицы, то максимальное значение модуля силы, действующей на точку, составит:
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Модуль равнодействующей силы
В данной статье рассказано о том, как найти модуль равнодействующей сил, действующих на тело. Репетитор по математике и физике объяснит вам, как найти суммарный вектор равнодействующей сил по правилу параллелограмма, треугольника и многоугольника. Материал разобран на примере решения задачи из ЕГЭ по физике.
Как найти модуль равнодействующей силы
| Сила, которая оказывает на материальную точку такое же действие, как и несколько других сил, называется равнодействующей этих сил. Для нахождения вектора равнодействующей силы необходимо геометрически (векторно) сложить все силы, которые действуют на материальную точку. |
Напомним, что сложить векторы геометрически можно с помощью одного из трех правил: правила параллелограмма, правила треугольника или правила многоугольника. Разберём каждое из этих правил в отдельности.
1. Правило параллелограмма. На рисунке по правилу параллелограмма складываются векторы и . Суммарный вектор есть вектор :
Если векторы и не отложены от одной точки, нужно заменить один из векторов равным и отложить его от начала второго вектора, после чего воспользоваться правилом параллелограмма. Например, на рисунке вектор заменен на равный ему вектор , и :
2. Правило треугольника. На рисунке по правилу треугольника складываются векторы и . В сумме получается вектор :
Если вектор отложен не от конца вектора , нужно заменить его равным и отложенным от конца вектора , после чего воспользоваться правилом треугольника. Например, на рисунке вектор заменен равным ему вектором , и :
3. Правило многоугольника. Для того, чтобы сложить несколько векторов по правилу параллелограмма, необходимо от произвольной точки отложить вектор, равный первому складываемому вектору, от его конца отложить вектор, равный второму складываемому вектору, и так далее. Суммарным будет вектор, проведенный из точки в конец последнего отложенного вектора. На рисунке :
Задача на нахождение модуля равнодействующей силы
Разберем задачу на нахождение равнодействующей сил на конкретном примере из демонстрационного варианта ЕГЭ по физике 2016 года.
Для нахождения вектора равнодействующей сил найдём геометрическую (векторную) сумму всех изображенных сил, используя правило многоугольника. Упрощенно говоря (не вполне корректно с математической точки зрения), каждый последующий вектор нужно отложить от конца предыдущего. Тогда суммарный вектор будет исходить из точки, из который отложен первоначальный вектор, и приходить в точку, где заканчивается последний вектор:
Требуется найти модуль равнодействующей сил, то есть длину получившегося вектора. Для этого рассмотрим вспомогательный прямоугольный треугольник :
Требуется найти гипотенузу этого треугольника. «По клеточкам» находим длину катетов: Н, Н. Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника получаем: Н. То есть искомый модуль равнодействующей сил равен Н.
Итак, сегодня мы разобрали, как находить модуль равнодействующей силы. Задачи на нахождение модуля равнодействующей силы встречаются в вариантах ЕГЭ по физике. Для решения этих задач необходимо знать определение равнодействующей сил, а также уметь складывать векторы по правилу параллелограмма, треугольника или многоугольника. Стоит немного потренироваться, и вы научитесь решать эти задачи легко и быстро. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ по физике!
Равнодействующая сила
Законы Ньютона – математическая абстракция. В реальности причиной движения или покоя тел, а также их деформации, выступают сразу несколько сил. Поэтому важным дополнениям к законам механики будет введение понятия равнодействующей силы и его применение.
О причинах изменений
Классическая механика разделена на два раздела – кинематику, при помощи уравнений описывающую траекторию движения тел, и динамику, которая разбирается с причинами изменения положения объектов или самих объектов.
Причиной изменений выступает некоторая сила, которая есть мера действия на тело других тел или силовых полей (например, электромагнитное поле или гравитация). К примеру, сила упругости вызывает деформацию тела, сила тяжести – падение тел на Землю.
Сила – это векторная величина, то есть, ее действие – направленное. Модуль силы в общем случае пропорционален некоему коэффициенту (для деформации пружины – это ее жесткость), а также параметрам действия (масса, заряд).
Например, в случае кулоновской силы – это величина обоих зарядов, взятых по модулю, квадрат расстояние между зарядами и коэффициент k, в системе СИ определяемый выражением: $k = <1 \over 4 \pi \epsilon>$, где $\epsilon$ – диэлектрическая постоянная.
Сложение сил
В случае, когда на тело действует n сил, говорят о равнодействующей силе, а формула второго закона Ньютона принимает вид:
$m\vec a = \sum\limits_^n \vec F_i$
Поскольку F – векторная величина, сумма сил называется геометрической (или векторной). Такое сложение выполняется по правилу треугольника или параллелограмма, либо по компонентам. Поясним каждый метод на примере. Для этого запишем формулу равнодействующей силы в общем виде:
$F = \sum\limits_^n \vec F_i$
А силу $F_i$ представим в виде:
Тогда суммой двух сил будет новый вектор $F_ = (F_ + F_, F_ + F_, F_ + F_)$.
Абсолютное значение равнодействующей можно рассчитать так:
Теперь дадим строгое определение: равнодействующая сила есть векторная сумма всех сил, оказывающих влияние на тело.
Разберем правила треугольника и параллелограмма. Графически это выглядит так:
Внешне они кажутся различными, но когда доходит до вычислений, сводятся к нахождению третьей стороны треугольника (или, что тоже самое, диагонали параллелограмма) по теореме косинусов.
Если сил больше двух, иногда удобней пользоваться правилом многоугольника. По своей сути – это всё тот же треугольник, только повторенный на одном рисунке некоторое количество раз. В случае, если по итогу контур получился замкнутым, общее действие сил равно нулю и тело покоится.
Задачи
- На ящик, размещенный в центре декартовой прямоугольной системы координат, действуют две силы: $F_1 = (5, 0)$ и $F_2 = (3, 3)$. Рассчитать равнодействующую двумя методами: по правилу треугольника и при помощи покомпонентного сложения векторов.
Решение
Равнодействующей силой будет векторная сумма $F_1$ и $F_2$.
$\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 = (5+3, 0+3) = (8, 3)$
Абсолютное значение равнодействующей силы:
Теперь получим тоже значение при помощи правила треугольника. Для этого сначала найдем абсолютные значения $F_1$ и $F_2$, а также угол между ними.
Угол между ними – 45˚, так как первая сила параллельна оси Оx, а вторая делит первую координатную плоскость пополам, то есть является биссектрисой прямоугольного угла.
Теперь, разместив вектора по правилу треугольника, рассчитаем по теореме косинусов равнодействующую:
- На машину действуют три силы: $F_1 = (-5, 0)$, $F_2 = (-2, 0)$, $F_1 = (7,0)$. Какова их равнодействующая?
Решение
Достаточно сложить иксовые компоненты векторов:
Что мы узнали?
В ходе урока было введено понятие равнодействующей сил и рассмотрены различные методы ее расчета, а также введена запись второго закона Ньютона для общего случая, когда количество сил неограниченно.