Из таких кубиков составлен куб сколько потребовалось кубиков

ГДЗ учебник по математике 3 класс Демидова. 1.16. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ над ЧИСЛАМИ. Номер №9

Фокусник сложил из кубиков куб. Сколько кубиков ему потребовалось?

Потом фокусник распилили куб на бруски, состоящие из трех кубиков.

Сколько у фокусника получилось брусков?
Из четырех таких брусков сложили параллелепипед.
Чему равен объем этого параллелепипеда, если ребро каждого кубика − 1 дм?

reshalka.com

ГДЗ учебник по математике 3 класс Демидова. 1.16. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ над ЧИСЛАМИ. Номер №9

Кубики для всех Никитина — объемные геометрические фигуры из дерева, лучшая игра для развития пространственного мышления.

Кубики для всех — одна из лучших игр для развития пространственного мышления. Игра будет интересна детям любого возраста, а также взрослым. Особенно папам, которые любят испытывать свои силы. Один папа, выполняя задания из Кубиков для всех, так и сказал: «Я чувствую, как мои мозги шевелятся!» И поверьте, в этот момент рядом с увлеченным папой тут же оказываются дети, не менее увлечённые каждый своим заданием…

Начинать играть в Кубики для всех можно с малышами 2-3 лет.

Игра Кубики для всех прекрасно развивает:

• пространственное мышление;
• наглядно-действенное мышление;
• аналитико-синтетическое мышление;
• творческие способности (умение решать нестандартные задачи);
• умение комбинировать;
• внимание и воображение;
• цветовое восприятие;
• умение работать со схемой;
• умение соотносить изображение с реальным объектом.

Игра состоит из 7 разных деревянных фигур (такой объёмный «тетрис»), каждая из которых окрашена в свой цвет, и 70 заданий, расположенных по принципу «от простого к сложному».

Основная задача в Кубиках для всех — складывать из фигур модели постепенно возрастающей сложности по рисункам-заданиям. Рисунки-задания специально сделаны бесцветными, чтобы ребенок сам подобрал необходимые фигуры и собрал модель.

Играя в эту игру, ребенку предстоит собрать более ста интересных моделей! Этот процесс может длиться несколько лет, поскольку последние задания не сразу поддадутся даже взрослому.

В игре Кубики для всех, как и в других Развивающих Играх Никитиных, сложность заданий увеличивается постепенно. Этот принцип «от простого к сложному» дает детям возможность находить решения самостоятельно, без подсказки взрослого, и самим проверять правильность решения.

Поэтому начинать надо обязательно с заведомо легких и посильных задач, чтобы вы и малыш могли порадоваться первой победе. Помните: от атмосферы и успешности первой встречи с игрой зависит дальнейшая увлеченность ребенка игрой Кубики для всех.

В комплект входит подробная авторская методика-инструкция для родителей и педагогов, которая поможет вам не просто добиться максимальных результатов, но и сделать игру увлекательной на много лет. Желаем успехов!

Для малышей от 2 до 8 лет мы рекомендуем дополнительно использовать альбомы к игре Кубики для всех. В альбоме рисунки крупнее, чем в инструкции, и каждое задание расположено на отдельной странице, что даёт малышу возможность хорошо сосредоточиться.

Из таких кубиков составлен куб сколько потребовалось кубиков

Современный спидкубинг

Спидкубинг (от англ. speedcubing) — новое увлечение, недавно пришедшее в Россию, заключающееся в сборке кубика на скорость.

Можно сказать, что к настоящему моменту мировой и, в частности, русский спидкубинг довольно-таки развиты: регулярно устраиваются открытые чемпионаты, в которых могут принять участие все желающие, количество куберов растет потрясающими темпами, разрабатываются все более совершенные алгоритмы сборки кубика, позволяя спидкуберам достигать немыслимых результатов, о которых еще пару лет назад никто даже и не мечтал.

Молодежное движение

Аудитория спидкуберов в большинстве своем состоит из молодежи в возрасте 15-20 лет, однако четких ограничений в данном увлечении нет: можно найти людей от мала до велика!

По этому поводу можно сказать, что спидкубинг является звеном, объединяющим людей из разных поколений. Этот фактор является ключевым во многих движениях, но для спидкубинга он особенно выражен.

Спидкубинг является довольно зрелищным видом спорта, приковывающим внимание людей в любом месте и в любое время. Любой кубер поймет о чем сейчас идет речь — сборка за считанные секунды «непокоримого» кубика Рубика (именно такое впечатление сложилось у людей за многие годы существования головоломки) буквально заставляет людей поверить в чудо.

Предлагаем вашему вниманию репортажи ведущих телеканалов: Первый канал, НТВ — о нашем увлечении. Эти видео посмотрели миллионы человек, и благодаря ним в кубинг пришло большое количество новых людей! А заинтересует ли это Вас?

Соревнования

В последние годы движение спидкуберов стало настолько масштабным, что при поддержке общественных организаций и различных дистрибьютеров головоломок (cccstore.ru, playlab.ru и т.д.) проводятся чемпионаты по спидкубингу, собираются сотни людей со всего мира!

На таких мероприятиях участники порой показывают просто феноменальные результаты (например, на чемпионате CCC Autumn Open 2014 Владислав Шавельский установил первый мировой рекорд русскоязычного сообщества в кубике 7х7х7, а россиянин Сергей Рябко дважды становился чемпионом Европы).

Все участники подтверждают, что главное на победа, а участие. Соревнования по спидкубингу — это прежде всего возможность встретиться со старыми друзьями, а так же завести новые знакомства.

Главное — атмосфера, которую, без преувеличения, можно назвать уникальной. Подробнее об этом вы можете узнать в разделе Соревнования.

Кубостроение

По сравнению с далекими восьмидесесятыми, когда кубик Рубика только появился на прилавках, сегодня ассортимент предоставленных на рынке моделей заметно расширился. Прежде всего это выражено тем, что сейчас производится в большинстве своем кубики, ориентированные на скоростную сборку: грани движутся очень легко, кубик не заедает при сборке, регулируется натяжение сторон и т.д. (подробнее об этом в разделе Что и где купить)

Все это помогает спидкуберам в достижении новых высот, установке ранее невообразимых рекордов в классической дисциплине — сборка кубика 3x3x3, 5.25 — единичная сборка, 6.54- среднее из пяти попыток.

История головоломки

История кубика Рубика началась 13 июля 1944 года в Будапеште. В этот день на свет появился Эрно Рубик. Его отец был авиаинженером на заводе в Эстергоме, мать — поэтесса.

В 1967 году Эрно закончил технический университет в Будапеште по специальности инженер-строитель, продолжил обучение в аспирантуре на скульптора и дизайнера. В 1971-1975 годах работал архитектором, затем снова вернулся в академию и получил звание профессора. Тогда-то и началось самое интересное.

Эрно никак не мог втолковать студентам математическую теорию групп. Она их не увлекала. Занимаясь группами, Рубик однажды сделал 27 деревянных кубиков, раскрасил каждый в шесть цветов. Неожиданно оказалось довольно трудно сложить из них один куб, чтобы каждая грань была окрашена в свой цвет. Сам Рубик бился над задачей целый месяц.

Но самым сложным оказалось придумать механизм — как заставить отдельные разноцветные кубики свободно вращаться на своих местах, не нарушая конструктивного единства всего приспособления?

Прежде чем заняться строительством большого куба 3х3х3, Рубик опробовал модели 2х2х2, элементы которых были скреплены упругими резиновыми стяжками. Впрочем, исследовались возможности применения магнитов, сложных выступов и углублений, но необходимой свободы перемещения каждого элемента получить не удавалось. Опыт показал, что подобные варианты неработоспособны.

Вдохновение снизошло ленивым летним днем, когда отчаявшийся Рубик сидел на берегу Дуная и всматривался в прохладные струи. История эта напоминает классические случаи научного озарения — ньютоново яблоко или архимедову ванну.

Взгляд творца привлекла обычная речная галька. Подумалось, что её острые грани со временем стачиваются течением, трущим камень о камень, пока он не обретёт простую и совершенную форму. И тут-то Рубик решил как следует «обточить» свои кубики.

Естественно, пришлось отбросить всё лишнее. Как легко подсчитать, 26 маленьких кубиков имеют в общей сложности 156 граней. Из них Рубик смело отсёк больше ста и оставил всего 54 внешние грани: одноцветные у шести центральных кубиков, двухцветные у двенадцати боковых, и трёхцветные у восьми угловых.

На вакантное место единственного «внутреннего» кубика был помещен цилиндрический скрепляющий механизм, который был прочно связан со всеми наружными кубиками, но позволял им свободно вращаться друг относительно друга.

При этом связующий механизм непосредственно соединён только с центральными кубиками, а угловые и боковые держатся за них и друг за друга при помощи выступов точно рассчитанной формы. Геометрия куба такова, что его элементы можно вращать лишь послойно, гранями, девять штук сразу, зато относительно любой из осей координат. Естественно, разработка совершенной системы крепления потребовала определённого времени, но это было уже делом техники.

Побочным результатом найденной золотой середины между плотностью скрепления и свободой перемещения явился тот непередаваемый хруст, под аккомпанемент которого происходят все манипуляции с кубиком Рубика. Заметим также, что новенький и вдоволь покрученный кубики хрустят немного по-разному.

Прежде чем остановиться на привычных шести цветах, Рубик опробовал «раскраску» при помощи чисел и картинок, но эти варианты оказались не слишком удачными. Когда же со всей конструкторской работой было наконец покончено (в 1974-м), мгновенно стала очевидной уникальная особенность занятного предмета.

Вначале, при наклейке на грани куба разноцветных ярлычков, они делались однотонными. Но стоило лишь немного покрутить свежеиспечённый куб, и добиться первоначального единообразия становилось крайне сложно. Для успешной сборки требовалось систематизировать кубоверчение. Рубик решил задачу за месяц. Как выяснилось позднее, при хаотичном перемещении граней ему не хватило бы и всей жизни: возможны 43 квинтильона различных расцветок граней и единственная – правильная. Если даже крутить кубик на нереальной скорости 1000 позиций в секунду, то чтобы перепробовать все позиции, потребуется около 1,3 миллиарда лет!

В качестве первоиспытателей головоломки выступали друзья Рубика и студенты подведомственной Академии.

Права и патенты, раскрутка кубика. 1975 — 1980 годы

В 1975 году Рубик получает венгерский патент на своё изобретение, но выпуск опытной промышленной партии кубиков тамошняя индустрия развлечений смогла осилить лишь к концу 77-го. Но до всемирного триумфа самой продаваемой в истории головоломки, которую держал в руках каждый восьмой житель планеты, кубику Рубика было ещё очень далеко.

История кубика Рубика наводит на мысль, что помимо целеустремлённости и упорства, изобретателю сопутствовали удача и небывалое везение. На самом деле, он был лишь одним и притом далеко не первым из пяти конструкторов, запатентовавших аналогичные разработки.

Первым, судя по всему, был Вильям Густафсон (William Gustafson), получивший американский патент № 3081089 ещё в 1958 году (по другим сведениям — в 1963-м). Из косвенных источников следует, что предложенная им модель существовала в двух вариантах: 2х2х2 и 3х3х3. В 1970 году британец Фрэнк Фокс (Frank Fox) изобретает модель 3х3х3 и подаёт патентную заявку. Правда, его «кубик» имел сферические обводы. Патент был получен только в 1974-м (UK № 1344259), но это событие всё равно предшествует официальной дате рождения рубиковских творений. У кубика Рубика имелись достаточно высокие шансы никогда не попасть в массовое производство. Наконец, в том же 1970-м американец Лари Николс (Larry Nichols) конструирует кубик 2х2х2. Правда, патент он получил раньше англичанина, в 1972 году (U.S. patent 3655201).

Что касается самого Рубика, то его заявка на венгерский патент № 170062 датируется 30 января 1975 года, но авторские права изобретателя были подтверждены только 31 декабря 1977-го, в том числе и на кубик 2х2х2. За время патентного разбирательства успел отличиться ещё и японец Тератоши Ишиге (Terutoshi Ishige). 10 октября 1976 года он также получает патент на кубик 3х3х3 (JP № 55-8192), а вскоре патентует и конфигурацию 2х2х2.

Что же позволило жителю не самой благополучной Венгерской Народной Республики обойти в итоге представителей крупнейших индустриальных держав? Так сложились обстоятельства. Вероятно, кубик Рубика оказался чуть более технологичным. Про детище Николса, например, известно, что поначалу в основе его конструкции лежали магниты — не лучший вариант. Механическое крепление элементов было разработано позже. Американец долго и безуспешно обивал пороги кабинетов многих игрушечных фабрикантов, в том числе той самой Ideal Toy Corporation, которая позже приобретёт права на продажу кубика Рубика на Западе. А вот конструкция Ишиге, похоже, сразу не слишком отличалась от предложенной Рубиком. Остаётся загадкой, почему мобильные и прозорливые японские предприниматели не успели завалить ею полмира, ведь в запасе у них было целых три года.

Дело в том, что выпускавшийся с конца 1977-го в Венгрии ограниченным тиражом кубик Рубика далеко не сразу завоевал Запад. Сейчас уже сложно сказать, когда начались его поставки в СССР, но, скорее всего, в этом отношении мы не слишком отстали от всего человечества.

В венгерских магазинах новинку несложно было найти уже в 1978-м, но на этом дело застопорилось. Головоломка продавалась под названием «Волшебный Кубик» (Buvuos Kocka). Кстати, далеко не на всех языках слова «кубик» и «Рубик» вместе звучат как поэма. Не исключено, что события и дальше развивались бы с черепашьей скоростью, если б игрушкой не заинтересовался немецкий компьютерный предприниматель венгерского происхождения Тибор Лакзи (Tibor Laczi). Тибор увидел кубик совершенно случайно во время деловой поездки в Венгрию: зашёл выпить кофе и заприметил вещицу в руках у официанта кафе. Увлекающийся математикой Лакзи пришёл в восхищение от игрушки и буквально на следующий день прибыл уже в государственную торговую фирму Konsumex и предложил продавать кубик на Западе. Тогда же он познакомился и с Рубиком. Лакзи вспоминает: «Когда Рубик впервые появился в комнате, я испытал желание дать ему немного денег. Он выглядел как нищий, был ужасно одет, а из угла его рта свисала дешёвая венгерская сигарета. Но я знал, что имею на руках гения. И сказал ему, что вместе мы сможем заработать миллионы».

В феврале 1979 года Лакзи привозит кубик на Нюрнбергскую ярмарку игрушек (Nuremberg Toy Fair). Правда, не в качестве официального экспоната. Памятуя о собственном опыте знакомства с предметом, Лакзи попросту бродил по выставке с кубиком и завлекательно им покручивал, да похрустывал. Как ни странно, манипуляции Лакзи не имели особого успеха и не оправдали его надежд найти немецкого дистрибьютора, но в итоге Тибор набрёл на англичанина Тома Кремера (Tom Kremer).

Здесь кубику и его создателю еще раз крупно повезло. Кремер сам был успешным изобретателем игр и игрушек, владел соответствующего профиля лондонской компанией Seven Towns Ltd. и был хорошо знаком со многими воротилами игрушечного бизнеса. Вдобавок, Кремер частенько представлял интересы сторонних изобретателей, и, что самое ценное, оказался венгром по материнской линии.

Два бизнесмена заключили пакт: Лакзи будет бороться с венгерской бюрократией, а Кремер отправится в кругосветный рекламный вояж для привлечения интереса к разноцветному чуду. Однако уже в который раз неофитов кубика ждало разочарование.

Вот лишь неполный перечень претензий, предъявлявшихся к потенциальному хиту игровой индустрии. Кубик мол слишком сложен и дорог в производстве. Не телегеничен: его привлекательность теряется в рекламных роликах. Кубик слишком абстрактен и умозрителен. Скорее, он представляет интерес для замкнутого академического научного сообщества, чем для широких масс молодёжи и прочих рядовых покупателей головоломок.

Кстати, учёные действительно проявили живейший интерес к новинке. Пионером стал англичанин Дэвид Сингмастер (David Singmaster), занявшийся разработкой математической теории кубика и попутно написавший газетную статью о нём, первую за пределами Венгрии (июнь 1979-го).

В сентябре 1979-го Кремеру удается заманить в Будапешт вице-президента службы маркетинга солидной американской компании Ideal Toy Corporation (позже куплена корпорацией CBS). Итогом изнурительных пятидневных переговоров между скептически настроенным капиталистом и упрямыми коммунистическими бюрократами, отчаянно удерживаемыми за одним столом Лакзи и Кремером, стал контракт на поставку в США одного миллиона кубиков.

В процессе переговоров всплыла ещё одна проблема. Кубик был запатентован лишь в Венгрии, и в течение года после этого на него не был получен международный патент. А американцы имели странную привычку торговать товарами, авторские права на которые официально зарегистрированы на территории США. Чтобы хоть как-то уладить это препятствие, в самом начале 1980-го «Магический куб» (Magic Cube) решено было переименовать в кубик Рубика (Rubik’s Cube). Опять изобретателю повезло — теперь его имя будет прочно ассоциироваться с обожаемым предметом. Стараниями Лакзи и Кремера в январе-феврале 1980 года состоялся международный дебют кубика. Кубик представили на игрушечных ярмарках Лондона, Парижа, Нью-Йорка и Нюрнберга, а демонстрировал его сам обаятельный Эрно Рубик. На этот раз всё прошло гладко, посыпались заказы, но проблемы на этом не закончились.

Американская премьера состоялась 5 мая в Голливуде, а представляла кубик венгерская кинозвезда Габор (Zsa Zsa Gabor). Следующие два года стали временем всемирного помешательства. Только до конца 1982-го было продано свыше 100 миллионов официальных кубиков и в полтора раза больше подделок. Никаких проблем со сбытом головоломки не было, были проблемы с производством. Венгрия физически не могла делать больше нескольких миллионов штук в год. Фабрики по изготовлению кубиков открываются в Гонконге, Тайване, Коста-Рике и Бразилии.

Пик популярности. 1980 — 1982 годы

Страсть к игрушке не имела языковых, социальных и возрастных границ. Почтенные матроны и менеджеры банков, игроки в бейсбол и пилоты, работники библиотек и дежурные на парковках вертели кубик круглые сутки.

Во многих ресторанах кубик входил в число обязательных предметов сервировки стола наряду с солонкой и перечницей. От непрерывной многочасовой игры у людей попросту сводило запястья.

Появилось и «Искусство кубика Рубика» (Rubik’s Cube Art). Художники собирали не только сами кубики, но и уже из кубиков собирали свои произведения.

В авангарде всемирного движения шла молодежь, школьники и студенты. Сложность сборки кубика вызвала к жизни поток специальных изданий по проблеме: было выпущено более 60 книг. Не отставал и советский журнал «Наука и жизнь», на протяжении нескольких лет в каждом номере уделявший место кубику Рубика.

Через Кубик в те годы прошел, наверное, каждый десятый житель цивилизованного мира. На западе Кубик Рубика появился в мае 1980, а в СССР Кубик пришел «в массы» в 1981 году. По некоторым данным, права на выпуск игрушки обошлись СССР в немыслимую тогда сумму 3 миллиона долларов. Первыми силу головоломки ощутили на себе учителя — целые классы целеустремленно, не выходя на перемены, ожесточенно вертели Кубик. Школьники собирали его во время уроков под партами. Учителя, отобрав его во время уроков, сами скрипели Кубиком на занятиях, отгородившись от подопечных классным журналом. А потом допоздна засиживались в учительской, пытаясь собрать Кубик. В школах проходили «закрытые» чемпионаты на скорость — находись легендарные личности, которые смогли в первые годы «кубизации» собрать его за одну минуту.

Как писал в своей статье журнал «Огонек», Кубик Рубика открыл советскому народу проход в виртуальную реальность, хотя такого словосочетания в лексиконе советских людей тогда еще не было. А виртуальная реальность, как выясняется, очень даже была. Кубик оказался высококалорийным продуктом, одна игрушка с успехом заменяла: два съезда руководящей и направляющей, один чемпионат мира по хоккею с шайбой, двести пятьдесят граммов водки без закуски, месячную норму обезжиренного кефира и половину новогоднего застолья. В рейтинге подарков кубик намного превосходил как книгу, традиционно и лучший подарок, и источник знаний, так и почти самый лучший дар тех времен, флакон 0,75 восхитительной водки по прозвищу «Сибирская», а некоторым гражданам даже заменил секс, так как предполагал аналогичную трудоемкость, игривость мысли и занятость рук. Кубик крутили самозабвенно, отрешенно, прямо в метро, в трамвае, в конструкторских бюро, в санаториях, домах отдыха, в постели. А сколько человек ушли в запой, так и не сумев справиться с изобретением коварного венгра? Кубики часто гибли — со злости отчаявшиеся сборщики швыряли их об стенку, давили ногами. В нормальной (в смысле интеллигентной) семье тогда полагалось иметь не меньше двух кубиков одновременно — чтобы никому не приходилось ждать, с завистью глядя на собирающего. Кубик стал лучшим подарком, который можно было дарить во всех случаях жизни: на день рождения, свадьбу, новоселье, Новый Год.

Курьёза ради английские психологи дали головоломку человекообразным обезьянам. Шимпанзе вначале с чрезвычайным интересом отнеслись к ней, но затем стали беспокоиться, беспокойство перешло в сильное волнение, сравнимое с отчаянием. Одна из обезьян выбросила кубик подальше от клетки, другая пыталась его съесть, третья в злобе разломала на мелкие кусочки. Если бы только обезьяны. По наблюдениям английских психиатров и невропатологов, некоторые люди, более часа безрезультатно вертевшие в руках игрушку, начинали нервничать, злиться, люди, излишне неуравновешенные, становились агрессивными, у них появлялось желание сломать кубик. К услугам таких экспансивных людей в продажу были выпущены небольшие пластмассовые топорики, предназначенные для «наказания» строптивой игрушки. К покупке прилагалась инструкция, в которой говорилось о том, что можно сделать из деталей разломанного кубика.

Уже в 1980-м кубик получает венгерский национальный приз за лучшее изобретение и выигрывает конкурсы на лучшую игрушку в США, Великобритании, Франции и Германии. В 1981 году кубик попадает в экспозицию Нью-Йоркского музея современного искусства (New York Museum of Modern Art). В том же году в Англии проходит церемония представления кубика принцу Чарльзу и леди Диане, а годом позже кубик Рубика попадает в престижнейший Оксфордский словарь (Oxford English Dictionary).

В 1982 году в Будапеште прошел чемпионат мира по сборке кубика Рубика. В нём приняли участие представители 19 стран — победители национальных чемпионатов. Для решения предлагались три задания. Засчитывалось лучшее время из трёх попыток. Каждый участник состязания получал новый кубик фирмы «Политойс». Все кубики были одинаково сложно запутаны 25-30 вращениями с помощью ЭВМ. Компьютер программировался как генератор случайных чисел и неизвестным заранее образом определял поворачиваемую грань кубика, направление и угол поворота.До начала отсчёта времени каждому участнику соревнования давалось 15 секунд для изучения исходной раскраски кубика и выбора пути решения. От участников соревнования требовалось собрать кубик не более чем за 60 секунд. Лучшее время сборки — 22,95 секунды — показал 16-летний студент из Лос-Анджелеса Минх Тай (Minh Thai), а один из претендентов на победу в спешке сломал подряд два кубика и был дисквалифицирован.

Затишье — 1982-1996 годы

Первый мировой чемпионат совпал с пиком популярности кубика. Вскоре волна всемирного ажиотажа начнёт спадать, а сотни миллионов кубиков попрячутся по пыльным углам. Но это не значит, что сообщество любителей головоломки разочаровалось в своём выборе. Конечно, сложность алгоритмов сборки всё-таки дала о себе знать. Значительная часть владельцев игрушки так никогда и не смогла самостоятельно сложить кубик. Видимо, эти люди находили в нём технологичную замену привычным чёткам.

Мизерная часть занялась исследованием оптимальных методов сборки. Самой интересной задачей, конечно же, было нахождение так называемого числа Бога — какое количество ходов требуется для решения кубика из любой позиции. Говоря математическим языком — диаметр графа. Поначалу это число оценивалось как 52.

Забегая вперед, сразу скажу, что в 2010 году кубик был окончательно просчитан. Группа математиков во главе с Томом Рокики с помощью теории и мощных компьютерных вычислений расколола загадку кубика. Число Бога окончательно доказано равным 20. То есть из любого положения к собранному кубику можно прийти не более, чем за 20 ходов. В среднем любая позиция оптимально решается за 17 вращений. Правда, хотя кубик в теории и можно всегда собрать за

Но вернемся к нашему рассказу. Также обнаружилось, что совсем необязательно складывать одноцветные грани, можно заниматься выстраиванием на них «крестов», «окошек» и прочих регулярных узоров. Кроме того, преуспевшие с кубиком 3х3х3 получили бонус в виде конфигураций 4х4х4 и даже 5х5х5 — вот где их ждал непочатый край работы.

Сам Эрно Рубик, в неполные сорок лет ставший миллионером, богатейшим частным лицом Венгрии и человеком-легендой, занялся изобретением других объёмных головоломок. Часть из них, например угловатая змейка Рубика (Rubik’s Snake ) — развитие древнекитайской планарной головоломки «танграм», имела определённый успех, но до былой популярности незабвенного кубика ей было более чем далеко.

И ещё, конечно, мешали конкуренты и эпигоны, дружно выпустившие на рынок мутный поток подражаний и перепевов игрового хита, подрывающих его монополию. Впрочем, и Рубик по-своему переделал кубики СОМА в «кирпичики Рубика» (Rubik’s Bricks), а также придумал вовсе уж настольную игру «Бесконечность» (Rubik’s Infinity).

И, что самое скверное, на повестку дня неожиданно встали компьютерные игры. Даже самые первые и несовершенные творения могли безболезненно дать кубику сто очков вперёд. У того остался единственный козырь — мобильность.

Между тем, падение интереса к разноцветному искусителю вовсе не было дружным и повсеместным. Так могло показаться лишь производителям игрушки, на волне игорного помешательства наштамповавшим десятки миллионов «лишних» кубиков и на год-другой забывшим, что рынок сбыта всё же ограничен. Результатом стал коллапс в сфере продаж, огромные складские запасы нереализованных кубиков на фабриках и в магазинах, а также отсутствие новых заказов на производство. Поэтому, начиная с 1983 года, кубик стало всё труднее, и затем и вовсе невозможно найти на прилавке. Ситуация осложнялась тем, что основной держатель прав, Ideal Toy Corporation, то ли почувствовав угрожающие тенденции, то ли по каким-то иным причинам продалась CBS, а та очень скоро, в 1985-м, вышла из бизнеса на ниве игрушек. Но человек, стоявший у истоков экономического чуда Рубика, Том Кремер (Tom Kremer), сохранил светлую веру в непреходящий потенциал кубика. Кремер считал его, подобно «Монополии» или Scrabble, игрой на все времена.

Воспользовавшись удобной ситуацией, в 1985 году кремеровская фирма Seven Towns перекупает права на кубик и к 1991 году очень осторожно и выборочно начинает вновь потихоньку выпускать его на рынок.

Возрождение — 1996 — наши дни

Косвенно возрождению престижа кубика способствовало, как это ни странно, появление Интернета. Появились многочисленные сайты, на которых отчаявшихся сборщиков научат правильно складывать кубик.

В 21 веке возобновились и соревнования по сборке кубика Рубика. Появилась Всемирная Ассоциация Кубика (WCA), которая проводит чемпионаты по официальным правилам и ведет официальный мировой рейтинг результатов. Люди улучшали рекорд за рекордом, стремительно приближаясь к фантастической отметке в 10 секунд. И вот это случилось: 5 мая 2007 года первым человеком, вышедшим на официальных соревнованиях из 10 секунд, стал Тибо Жаклино из Франции. Его результат был 9,86, и это был мировой рекорд. За 2007 год и 2008 этот рекорд был побит, причем не один раз, затем в кубинге произошла настоящая сенсация: 13 июля 2008 года Эрик Аккерсдайк улучшает мировой рекорд больше чем на секунду, устанавливая по тем временам казавшуюся непобиваемой планку 7,08 секунды. Этот рекорд держался ооочень долго, больше двух лет, но потом началась новая волна кубинга во главе с настоящей звездой Феликсом Земдегсом из Австралии. Феликс собирал настолько быстро, что все понимали: побить 7,08 это всего лишь дело времени. И вот 13 ноября 2010 Феликс бьет 7,08, устанавливая 6,77. Среднее время меньше 8 секунд! Но на этом Феликс не останавливается и в последующих соревнованиях устраивает целую серию из рекордов в единичной попытке и по среднему времени. В конце 2010 — начале 2011 года Феликсу в мире просто нет равных, он на секунду быстрее ближайших преследователей. И только в конце 2011-го лучшие куберы начинают постепенно приближаться к его временам. Чемпионом Мира в 2011 году Феликсу стать не удалось, хотя он был фаворитом. Психология и моральная подготовка играют в спидкубинге чуть ли не первую роль, когда дело доходит до времен меньше 10 секунд. Сейчас официальный мировой рекорд сборки кубика в единичной попытке составляет 5,25 секунды, установленный американцем Коллином Бёрнзем.

Нужно отметить, что сборка кубика Рубика не единственная номинация на такого рода чемпионатах.

Рекорды также фиксируются и в таких дисциплинах как:

• сборка одной рукой

• сборка с закрытыми глазами

• кубики 2х2, 4х4, 5х5, 6х6, 7х7

А сейчас в России и странах СНГ набирает обороты движение спидкуберов, развиваются интернет-ресурсы, регулярно проводятся встречи и организовываются соревнования. Число русскоязычных любителей головоломки только растет, и атмосфера этого увлечения становится все более интересной. В 2010 году Россиянин Сергей Рябко выигрывает чемпионат Европы в Будапеште в Венгрии, а в 2012 подтверждает свое звание на соревнованиях в Польше! И, как знать, быть может именно вам суждено добиться высот и оставить свой след в истории отечественного кубинга!

Слоеные кубики

Куб составлен из единичных кубиков, которые раскрашены в два цвета так, что в результате образуются трехмерные крестовины с общим центром (на рис. 1 показана раскраска для куба 9×9×9). Торцы крестовин — это квадраты 1×1, 3×3, 5×5, . составленные из квадратных рамок, чередующихся по цвету.
а) Сколько синих кубиков в таком кубе 9×9×9?
б) Сколько синих кубиков в таком кубе 25×25×25?

Подсказка

Ответить на вопрос задачи будет проще, если вы разберетесь с тем, как устроена внутренняя раскраска кубиков. Важно понять, как устроена каждая крестовина в отдельности. Это позволит разбить ее на составляющие части, в которых легко посчитать кубики.

Решение

Пункт a) задачи можно решать «в лоб», считая кубики при помощи рис. 1, на котором изображен процесс «построения» желто-синего кубика 9×9×9. На более детализированном рис. 2 показаны промежуточные стадии этого процесса. Теперь порядок подсчета синих кубиков почти очевиден:

Внутренняя крестовина a) содержит 6×4+1 = 25 синих кубиков. Кубики следующей желтой крестовины можно увидеть на изображениях б) и в). На б) надо увидеть каркас куба 3×3×3, в котором 20 кубиков и шесть «рамок» 3×3×3 (на в)), надетых на каждую из шести осей предыдущей крестовины. Всего вторая крестовина содержит 20+6×24 = 164 желтых кубика. Третья крестовина тоже состоит из каркаса куба 5×5×5 и шести «рамок» 5×5×2 (г) и д)), поэтому в ней (12×3+8) + 6×(16×2) = 236 синих кубиков. В четвертой крестовине (12×5+8) = 68 кубиков в каркасе куба 7×7×7 и 6×(24×1) = 144 кубика в шести «рамках» 7×7×1, то есть всего 212 желтых кубиков. Остается посчитать кубики синего каркаса куба 9×9×9, в нем 12×7+8 = 92 синих кубиков (з)).

Итак, в кубе 9×9×9 имеется 25+236+92 = 353 синих кубиков. Для проверки корректности подсчета можно сосчитать количество желтых кубиков: 164+212 = 376, а всего кубиков получается 353+376 = 729, а это как раз равно 9 3 .

б) В кубе 25×25×25 все обычные крестовины представляют собой пересечение трех параллелепипедов, высота которых равна 25, а в основании лежат квадраты m×m, где m = 1, 3, 5, . 25. Каждый параллелепипед содержит 25m 2 кубиков. Обычная крестовина содержит три таких параллелепипеда, на рис. 3 показана одна из крестовин куба 9×9×9. При этом эти три параллелепипеда имеют общий куб m×m×m (оранжевый), кубики которого считаются трижды, поэтому крестовина с номером m содержит a_m = 3×25m 2 −2m 3 = m 2 (75−2m) кубиков.

Поскольку в задаче крестовины составлены из кубиков чередующихся цветов, нам нужно считать кубики в пустотелых крестовинах, толщина стенок которых равна одному синему кубику. Поэтому количество синих кубиков в одной пустотелой крестовине равно разности числа кубиков в крестовине с номером m и числа кубиков во вложенной в нее крестовине с номером m−1. Значит, в кубе 25×25×25 количество синих кубиков равно:
S_син = a₁+(a₅−a₃)+(a₉−a₇)+(a₁₃−a₁₁)+(a₁₇−a₁₅)+(a₂₁−a₁₉)+(a₂₅−a₂₃).

Посчитаем отдельно все числа a_m, используя формулу, полученную выше:
a₁ = 1 2 (75−2×1 3 ) = 73; a₃ = 3 2 (75−2×3 3 ) = 621; a₅ = 5 2 (75−2×5 3 ) = 1625; a₇ = 7 2 (75−2×7 3 ) = 2989; a₉ = 9 2 (75−2×9 3 ) = 4617; a₁₁ = 11 2 (75−2×11 3 ) = 6413; a₁₃ = 13 2 (75−2×13 3 ) = 8281; a₁₅ = 15 2 (75−2×15 3 ) = 10125; a₁₇ = 17 2 (75−2×17 3 ) = 11849; a₁₉ = 19 2 (75−2×19 3 ) = 13357; a₂₁ = 21 2 (75−2×21 3 ) = 14553; a₂₃ = 23 2 (75−2×23 3 ) = 15341; a₂₅ = 25 2 (75−2×25 3 ) = 15625.

Суммируя отдельно числа a_m со знаком «+» и числа a_m со знаком «−», получим число синих кубиков в кубе 25×25×25: S_син = 56623−48846 = 7777.

Такой подсчет синих кубиков предложил математик-программист Анатолий Лецман.

Послесловие

Оба рассмотренных куба имеют ребра вида n = 4k+1. В этих случаях и внутренняя крестовина, и внешний каркас кубов — синего цвета. Сколько же синих кубиков в таком кубе n×n×n?

Прием подсчета синих кубиков, использованный в пункте б), можно обобщить и вывести формулу их числа:
S_син = a₁−a₃+a₅−a₇+a₉−. +a_n−4−a_n−2+a_n,
где крестовина с номером m = 1, 3, 5, 7, . n, содержит a_m = 3nm 2 −2m 3 кубиков.

Заменим каждое число a_m его значением в развернутом виде и не забудем, что a_n = n 3 , получим:
S_син = (3×n×1 2 −2×1 3 )−(3×n×3 2 −2×3 3 )+(3×n×5 2 −2×5 3 )−(3×n×7 2 −2×7 3 )+. +(3×n×(n−4) 2 −2(n−4) 3 )−(3×n×(n−2) 2 −2(n−2) 3 )+n 3 .

Можно раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые так:
S_син = 3n×(1 2 −3 2 +5 2 −7 2 +. +(n−4) 2 −(n−2) 2 +n 2 )−2×(1 3 −3 3 +5 3 −7 3 +. +(n−4) 3 −(n−2) 3 +n 3 ).

И скобка с квадратами, и скобка с кубами содержат нечетное число слагаемых, потому что n = 4k+1, значит, если сгруппировать числа внутри скобок парами, то последнее число останется без пары. В первой скобке получим разности квадратов и n 2 , оставшийся без пары. Во второй скобке получим разности кубов и n 3 без пары. Разложив на множители все разности, и вынеся получившийся общий множитель 2, получим:

S_син = 3n×(−2×4−2×12−2×12−2×20−. −2×(2n−6)+n 2 )−2×(−2(1 2 +1×3+3 2 )−2(5 2 +5×7+7 2 )−. −2((n−4) 2 +(n−4)×(n−2)+(n−2) 2 )+n 3 ),

или, после упрощения,
S_син = 3n×(−8×(1+3+5+. +(n−3)/2)+n 2 )−2×(−2×(1 2 +3 2 +5 2 +. +(n−4) 2 −(n−2) 2 )−2×(1×3+5×7+. +(n−4)×(n−2))+n 3 ).

Далее воспользуемся известными формулами, учитывая, что n = 4k+1:
1+3+5+. +(n−3)/2 = (n 2 +2n−1)/2;
1 2 +3 2 +5 2 +. +(n−4) 2 −(n−2) 2 = ((n−2)(n−1)n)/6;
1×3+5×7+. +(n−4)×(n−2) = ((n−1)(n 2 −2n−6))/12.

Подставим эти формулы и после упрощения получим формулу для вычисления числа синих кубиков в кубе с ребром n = 4k+1:

Это второй способ вывода формулы числа синих кубиков в кубе с ребром n = 4k+1.

Но когда я впервые искал эту формулу, то шел по другому пути, проделав много вычислительной работы. Считая «в лоб» отдельно желтые и синие кубики по рисункам для кубов с n = 5, 9, 13, 17, 21, 25, я находил разность между ними и в итоге заполнил такую таблицу:

И тут мне повезло: я заметил, что разность между числом желтых и числом синих кубиков имеет линейную зависимость от числа n — она равна 3n−4. Учитывая, что все синие и желтые кубики образуют куб n×n×n, то получится система уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим \(S_<\mathrm<син>>=\frac12n^3-\frac32n+2\).

Вот такой получился вывод — в целом не очень громоздкий, но с логическим пробелом: я так и не смог доказать формулы разности между желтыми и синими кубиками.

Имея последовательность кубов с ребром n = 4k+1 (рис. 4), можно рассмотреть последовательность количество синих кубиков в них: 1, 57, 353, 1081, 2433, 4601, 7777, 12153, 17921, 25273, 34401, 45497, 58753, 74361, 92513, .

Выведенная выше формула \(S_<\mathrm<син>>=\frac12n^3-\frac32n+2\) не является формулой общего члена этой последовательности, потому что она работает только при n, сравнимых с 1 по модулю 4. Подставим в эту формулу вместо n выражение n = 4k−3, получим формулу k-го члена этой последовательности: \(a_k=32k^3-72k^2+48k-7\). (Если подставлять 4k+1, то получим формулу вычисляющую члены последовательности, начиная со второго члена 57.)

Интересно рассмотреть все кубы с ребром n, не ограничиваясь только остатками 1 при делении на 4. Получим такой ряд, в котором выше рассмотренные кубы — это каждый четвертый, начиная с первого. Надо обратить внимание, что раскраска кубиков такова, что внутренняя крестовина всегда синяя, и при четных n она двойная, то есть ее торцы имеют сечение 2×2. При этом внешний каркас кубов не всегда синий, идет чередование — два синих, два желтых, и т. д.

Сколько же синих кубиков у таких кубов? Заметим, что число синих кубиков и соответствующая формула их подсчета по-прежнему зависит от остатка деления числа n на 4. Не утруждая читателей выводом формул в каждом из оставшихся трех случаев, сообщу результаты моих изысканий в готовом виде:

\[a_n=\left\\frac12n^3, & \mathrm\ r=0,\\ \frac12n^3-\frac32n+2, & \mathrm\ r=1,\\ \frac12n^3+4, & \mathrm\ r=2,\\ \frac12n^3-\frac32n-2, & \mathrm\ r=3.\end\right.\]

В этой формуле n — число кубиков на ребре, r — остаток от деления n на 4. Начало этой последовательности выглядит так: 1, 8, 7, 32, 57, 112, 159, 256, 353, 504, 647, 864, 1081, 1376, 1663, 2048, 2433, 2920, 3399, 4000, 4601, 5328, 6047, 6912, 7777, 8792, 9799, 10976, 12153, 13504, 14847, 16384, 17921, 19656, 21383, .

График последовательности для десяти первых членов — это синие точки, которые для наглядности соединены ломаной (рис. 6). Нетрудно понять, что график последовательности коррелирует с кубической параболой с коэффициентом 1/2, которая представлена на рисунке ступенчатой ломаной красного цвета. На рисунке видно, что при n = 4 и n = 8 графики совпадают.