Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Остановимся на еще одном подходе к задаче о площади криволинейной трапеции, который приводит к несколько иной, более общей трактовке определенного интеграла. Простоты ради по-прежнему будем считать заданную на отрезке [а; Ь] непрерывную функцию у = f(x) неотрицательной, но не обязательно возрастающей — ее график изображен на рис. 8.7.

На чертеже кроме криволинейной трапеции ААВВ изображена ступенчатая фигура, образованная прямоугольни-

л л л ь ~ а

ками с основаниями Дг, = Дг₂ =. = Ах„ =-, так что правая

верхняя вершина каждого из них лежит на графике данной функции. Площадь S„ этой фигуры выражается в виде суммы площадей всех составляющих ее прямоугольников следующим образом:

Написанное выражение называется интегральной суммой; S„ дает приближенное значение площади S криволинейной трапеции, причем погрешность будет уменьшаться с ростом п, т.е. с увеличением числа прямоугольников. Точное равенство получится, если в интегральной сумме устремить п к бесконечности.

Определение 8.3. Предел последовательности интегральных сумм S_n называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]:

Символ J есть стилизованная буква S — от латинского слова «Summa», тот же смысл имеет и греческая буква I (читается: «сигма») используемая для обозначения суммирования.

Таким образом, определенный интеграл есть число, геометрически выражающее площадь криволинейной трапеции.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере, в котором несложность выкладок облегчит понимание дела.

Будем рассматривать линейную функцию: у = he, заданную на отрезке [0; й], — в этом случае криволинейная трапеция превращается в треугольник ОВВ (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Запишем интегральную сумму S,_v выражающую в этом примере площадь составленной из прямоугольников ступенчатой фигуры, «описывающей» треугольник ОВВ:

Несложными тождественными преобразованиями оно приводится к виду:

Перейдем к предел)’ при п—

Замечание. Разумеется, проще найти площадь треугольника ОВВ по формуле Ньютона — Лейбница:

или вообще пе применяя интегралов, а иростр по элементарной формуле, перемножая длины катетов ОВ и ВВ:

Но нашей целью было проследовать в этом примере тем маршрутом, который приводит к определенному интегралу в новом, более общем понимании, которое как раз и отражено в приведенном выше рассуждении Льва Толстого об интегрировании как о суммировании бесконечного числа бесконечно малых элементов: при п —»°° каждое слагаемое в интегральной сумме является бесконечно малым, а число слагаемых стремится к бесконечности.

§3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Криволинейной трапецией называется область на плоскости ограниченная осью, прямыми,гдеи графиком непрерывной на отрезкефункции(см. рис.1).

азбиением отрезка наn частей называется набор чисел из этого отрезка, гдеи. В каждом отрезке (элементарном участке)разбиения выберем некоторую точку. Такое разбиение обозначим буквой, а длину элементарного участка — через. Пусть на отрезкеопределена некоторая функция.

Определение. Интегральной суммой для функции , построенной по разбиениюотрезка, называется сумма произведений значений функции в выбранных точкахна длины элементарных участков.

Обозначение: . Еслив , то приближенно равнаплощади соответствующей криволинейной трапеции.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм этой функции по разбиениям отрезка, у которых максимальныйстремится к нулю, т.е.

Если в, то этот интеграл выражаетточную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезкеили имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода, то эта функция интегрируема на, т.е.существует.

§4. Свойства определенного интеграла

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции – интегрируемы в соответствующих отрезках.

1) ,— постоянная.

2) Если на, то.

3) Оценка определенного интеграла снизу и сверху. Если на отрезке функцияограничена снизу и сверху числамиm и , т.е. если на ,то .

4) Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке, тогда на этом отрезке найдется такая точкаc, что

Это значение называетсясредним значением функции на .

5) Оценка модуля определенного интеграла. .

6) Свойство линейности.

6) Свойство аддитивности. Если выполняется неравенство , то

Если , то интеграломназывается число. Интегралсчитается равным нулю. Свойство аддитивности справедливо (при условии существования интегралов) для чиселрасположенных в любом порядке, т.е. требованиездесь не обязательно.

Теорема 1. (Ньютона — Лейбница) Пусть функция непрерывна на отрезкеи функцияесть ее первообразная на этом отрезке, тогда

Теорема 2. (Замена переменной в определенном интеграле) Пусть функция непрерывна в отрезке, а функциямонотонная и непрерывно дифференцируема в отрезке, где,, тогда

Теорема 3. (Нахождение определенного интеграла по частям) Пусть функции инепрерывно дифференцируемы в отрезке, тогда верно равенство

Сокращенная запись: .

§5. Несобственные интегралы

5.1. Пусть функция непрерывна в промежутке .Несобственным интегралом от a до от этой функции называется предел:

Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл называется сходящимся; если он не существует, то интеграл называется расходящимся. В случае, если в промежутке, такой интеграл выражает площадь неограниченной фигуры с границами:,и графиком функции. Для сходящегося интеграла эта площадь конечна, для расходящегося – бесконечна. Формула Ньютона-Лейбница для таких несобственных интегралов имеет вид:

5.2. Пусть теперь функция непрерывна в промежутке. Тогданесобственным интегралом от доb называется предел

Такой интеграл (при ) выражает площадь фигуры с границами:

, и.

Формула Ньютона-Лейбница: .

5.3. Если функция непрерывна на всей числовой оси, то несобственным интегралом от до называется следующая сумма двух интегралов

(здесь — некоторое число). Это определение не зависит от выбора. Такой интеграл называетсясходящимся, если сходятся оба интеграла:

и .

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то интеграл называетсярасходящимся. При интегралвыражает площадь области с границамии.

Формула Ньютона-Лейбница: .

§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2. n выберем произвольную точку с_i є [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с_i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с_i) на длину ∆x_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с_i) • ∆х_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆x_i(i = 1,2. n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ → 0.

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Т аким образом,

Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью ( отрезком) интегрирования.

Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интегралназывается интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа с.

2. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.

Пусть на отрезке , где b>a, задана функция. Выполним следующие четыре операции:

разобьем отрезок на части точкамиПоложим. Набор точек деленияназовем разбиением отрезка, а величину d –диаметром разбиения;
на каждом отрезке выберем какую-нибудь точку, вычислим значениев этой точке. Точкиназовем отмеченными точками;
умножим значение на длину соответствующего отрезкаи сложим все найденные произведения. Суммы вида

, где (4) назовем (одномерными) интегральными суммами Римана для функции f по заданному разбиению отрезка;

измельчим разбиение , т.е. добавим новые точки деления и найдем предел интегральных сумм (4) при(если он существует).

Введем понятие предела интегральных сумм при. Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм Римана при, если для любогосуществуеттакое, чтопри любом разбиенииотрезкас диаметром разбиениянезависимо от выбора отмеченных точек. Принята следующая запись этого определения: . Замечание. Очевидно, что число I не зависит от разбиенияотрезкаи от выбора отмеченных точек. Определение 2. Если интегральные суммы Римана (4) имеют предел при , то этот предел называется определенным (однократным) интегралом от функции f по отрезкуи обозначается.

Итак, по определению имеем

(5) В этом случае функцию f называют интегрируемой по Риману на отрезке . Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию f – подынтегральной функцией, а выражение— подынтегральным выражением. Замечания:

Определение 2 можно кратко сформулировать так: определенным интегралом от заданной функции по заданному отрезку называется предел интегральных сумм Римана для заданной функции при стремлении к нулю диаметров разбиений отрезков, порождающих интегральные суммы.
Так как другие интегралы мы не рассматриваем, то вместо термина “интеграл Римана” будем просто употреблять интеграл.

В приведенных выше определениях существенно предполагалось, что . Обобщим понятие определенного интеграла на случай и.

3. Основные свойства определенного интеграла.

При по определения полагаем (6) Равенство (6) означает, что при перемене пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный. При по определению полагаем (7) Равенство (7) означает, что определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю. Так как интегральная сумма (4) не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции, то и ее предел, т.е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: . Приведем условия, при которых функция является интегрируемой. Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости). Если функция f интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Допустим, что интегрируемая на функция не ограничена на нем. Тогда при любом разбиенииона окажется неограниченной по крайней мере на одном из отрезковразбиения. В этом случае, выбирая различными способами точку, можно сделать произведениесколь угодно большим. Значит интегральные суммы становятся сколь угодно большими за счет только выбора точеки не могут стремиться ни к какому пределу при. Следовательно, f не ин6тегрируема на. Из полученного противоречия и вытекает доказательство теоремы. Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости). Непрерывная на отрезке функция f интегрируема на этом отрезке. Замечание. Свойство непрерывности функции является лишь достаточным условием ее интегрируемости. Иными словами могут существовать разрывные на, но интегрируемые на этом отрезке функции. Пример. Вычислить интеграл . Решение. Так как функция непрерывна на, то в силу теоремы 2 искомый интеграл существует. Вычислим его по формуле (5). Разобьем отрезок интегрированияна n равных частей и построим n полос одинаковой ширины. Абсциссы точек разбиения таковы:В качестве отмеченной точкивыберем левый конецоснования k- ой полосы. Составим интегральную сумму Римана: так как выражение в скобках есть сумма n членов геометрической прогрессии со знаменателем которая равна. Используя формулу (5), находим . Поскольку имеем . На основании правила Лопиталя получим Следовательно, . Этот пример показывает, что вычисление интеграла по формуле (5) громоздко и вызывает значительные трудности. Поэтому нам необходимо получить эффективный метод вычисления определенного интеграла. Такой метод будет изложен позже; он является следствием связи между определенными и неопределенными интегралами, открытой Ньютоном и Лейбницем. Вернемся к задаче о площади криволинейной трапеции. Так как правая часть равенства (2) есть интегральная сумма Римана, то учитывая формулу (5), получаем: если f(x) интегрируема и неотрицательна на , то определенный интеграл f(x) по отрезкуравен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями(геометрический смысл определенного интеграла в случае неотрицательности подынтегральной функции). Если подынтегральная функция отрицательная или меняет знак на, то в интегральной сумме (2) некоторые члены будут иметь знак минус. Тогда предел интегральной суммы, то есть определенный интеграл, будет равен алгебраической сумме площадей частей криволинейной трапеции, причем площади частей, лежащих выше оси Ox, берутся со знаком плюс, а площади частей, лежащих ниже оси Ox, — со знаком минус. Перейдем теперь к задаче о пройденном пути. Так как правая часть формулы (3) есть интегральная сумма, то в силу формулы (5), получаем: если скорость v(t) непрерывна и положительна на , то определенный интеграл от скорости v(t) по отрезку времениравен пути, пройденному точкой от момента t=a до момента t=b (механический смысл определенного интеграла). Пример. Вычислить , где Решение. Построим график подынтегральной функции. В силу геометрического определенного интеграла имеем , где S – площадь прямоугольного треугольника ABC. Так както Перечислим свойства, выраженные равенствами и неравенствами. 1) Если подынтегральная функция равна единице, то (8) Доказательство. Составим интегральную сумму; имеем . Переходя к пределу при, получаем равенство (8). 2) Если A – некоторое число и функция f(x) интегрируема на , то (9) Доказательство. Составим интегральную сумму для функции Af(x); имеем . Переходя к пределу при, получаем равенство (9). 3) Если и— две интегрируемые функции, определенные на отрезке, то (10) т.е. интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций. (Свойство 3) очевидным образом распространяется на сумму любого числа интегрируемых функций) Доказательство. Составим интегральную сумму (11) 4) Аддитивность интеграла как функции отрезка интегрирования. Если интегрируема на отрезке, то (12) т.е. если отрезок разделен на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точкуc в число точек деления. Если , то Каждая из написанных выше сумм является интегральной соответственно для отрезков ,и. Переходя к пределу при, получаем равенство (12). 5) Если интегрируема на отрезкеи еслиa, b, c – точки этого отрезка, то (13) Доказательство. Если из точек a, b и c то крайней мере две совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть все эти точки различны. Если a, откуда. Домножая на (-1) и меняя пределы интегрирования в третьем интеграле, получаем формулу (13). Другие случаи взаимного расположения точек можно свести к свойству 4). 6) Монотонность. Если функции иинтегрируемы и удовлетворяют условиюи нижний предел интеграла не больше верхнего, то (14) Доказательство. При a=bравенство (14) очевидно. Если жеa. Переходя к пределу при, получим требуемое неравенство. 7) Оценка определенного интеграла. Если интегрируема на отрезкеи нижний предел интеграла не больше верхнего иf(x) удовлетворяет условию, то (15) В частности, если , то Свойство 7) имеет простой геометрический смысл: в случае, если подынтегральная функция неотрицательна на , то площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с высотойm, но меньше площади прямоугольника с высотойM. 8) Теорема о среднем значении. Если интегрируема на отрезкеиf(x) удовлетворяет условию, тогда существует такое число, что (16) Доказательство. Если a=bтогда равенство (16) очевидно. Если, то положим (17) Тогда из неравенств (15) вытекает, что , еслиaсредним значениемфункцииfна отрезке. Из свойства 8) вытекает следующее свойство. 9) Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то найдется значениетакое, что (18) Для доказательства достаточно взять . Контрольные вопросы по теме занятия: