Функции и графики
Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления. в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций». и/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.
Внимание: в течение этого учебного полугодия доступ к интерактивному контенту (по кнопке «К движению» ) ограничен. Чтобы получить пароль для работы с «живыми» графиками, нужно быть моим учеником (подробности по e-mail) или присоединиться к спонсорам сайта. Перед экзаменом кнопка будет открыта для общего пользования без регистрации.
В качестве альтернативы самостоятельной работе, вы можете найти видео с некоторыми из этих графиков на youtube-канале Mathematichka.
Как определить какая функция к какому графику
Г: ≈ Я хочу понять: что такое ФУНКЦИЯ? Почему ваши коллеги возятся с этой вещью, как с писаной торбой ≈ но никому не дают заглянуть в нее? Зачем эти функции нужны? Какие они бывают ≈ а каких не бывает? Что можно сделать с любой функцией; что ≈ не с любой, а только с очень хорошей; чего нельзя делать ни под каким видом? Дайте простому гуманитарию разобраться в вашей математической кухне!
М: ≈ Извольте: у нас на кухне секретов нет. Но сперва позвольте познакомить вас с более простой вещью: с ГРАФИКОМ функции!
Г: ≈ Давайте его сюда! О нем тоже много сказок рассказывают ≈ но строгого определения я ни от кого не слыхал. Начните же с определения графика!
М: ≈ Хорошо. Вообразите, что мы с вами находимся на плоскости, где введена система декартовых координат. То есть, каждой точке плоскости мы сопоставили пару чисел (х,у). Это вам знакомо?
Г: ≈ Да, это вещь привычная.
М: ≈ Итак, ГРАФИКОМ функции называется любая фигура F на плоскости, обладающая таким свойством: каждая прямая, параллельная оси (Y), пересекает фигуру F не более чем в одной точке.
Вот вам определение. Теперь займемся примерами. Всякая ли прямая на плоскости является графиком некой функции?
Г: ≈ Ну конечно! Эти функции так и называют: ЛИНЕЙНЫЕ. Хотя вернее было бы сказать: ПРЯМОлинейные!
М: ≈ Да, так было бы точнее. Но уж так повелось ≈ и не будем вводить новые слова! Раз вы знакомы с линейной функцией, то назовите ДВЕ такие функции с разными графиками!
Г: ≈ Пожалуйста! Одна функция: (у = х); другая: (у = -х).
М: ≈ Что вы скажете об их графиках?
Г: ≈ Очень просто: графики этих двух функций суть биссектрисы углов между осями координат. График (у = х) делит пополам первый и третий координатные углы, а график (у = -х) ≈ второй и четвертый углы. Оттого угол между этими двумя графиками ≈ прямой.
М: ≈ Воистину так! А прямая, параллельная одной из координатных осей: она является графиком какой-либо функции?
Г: ≈ Это зависит от оси! Если прямая вертикальна ≈ то есть, параллельна оси (Y) ≈ то она, конечно, ничьим графиком быть не может. Если же она параллельна оси (X), то она ≈ график ПОСТОЯННОЙ функции. Например: (у = 5).
М: ≈ Ну, с прямыми мы разобрались. А как насчет ОКРУЖНОСТИ? Является ли она графиком какой-то функции?
Г: ≈ Это надо проверить. Нет, не получится: ведь окружность пересекает прямую в двух точках!
М: ≈ Ну, не любую прямую: есть же касательные! Но для ПОЧТИ ЛЮБОЙ прямой вы правы: так что окружность не задает никакую функцию. А как насчет ПОЛУокружности?
Г: ≈ Это ≈ другое дело! Если взять ту полуокружность радиуса R с центром в начале координат, которая лежит в верхней полуплоскости, то она пересекает любую вертикальную прямую в ОДНОЙ точке ≈ так что, по вашему определению, она ≈ график функции! Только непонятно: КАКОЙ функции?
М: ≈ А вот это ≈ вопрос НЕКОРРЕКТНЫЙ! Раз вы задали функцию ее ГРАФИКОМ ≈ значит, вы ее УЖЕ определили! Теперь можно исследовать ее свойства: например, искать область определения, или область значений ≈ или выяснять НЕПРЕРЫВНОСТЬ графика.
Г: ≈ Но где же ФОРМУЛА, выражающая нашу функцию?
М: ≈ Пока ≈ нигде! Такой формулы может и не быть! ГРАФИК есть у каждой функции ≈ хотя порою нелегко разобраться в свойствах функции по виду ее графика. А формулы есть лишь у самых удачных функций. Но та, что задана полуокружностью ≈ удачная. Вспомните теорему Пифагора, и найдите формулу этой функции!
Г: ≈ Это несложно: у = R..-х. где R ≈ радиус окружности, а (х) ≈ любое число из отрезка (-R, R), который есть область определения нашей функции.
М: ≈ Да, тут нам повезло: мы выбрали в качестве графика столь удобную кривую, что ее удалось задать и формулой. А что, если выбрать в качестве графика ПАРАБОЛУ ≈ или ГИПЕРБОЛУ?
Г: ≈ Если график ≈ парабола, то функция известна: (у = х..). Если гипербола ≈ тоже известна: (у = 1/х).
М: ≈ Да, такие функции есть. Но только ли они? Ведь параболу и гиперболу можно СДВИГАТЬ по плоскости!
Г: ≈ Конечно, можно! Это соответствует ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ аргумента (х) или функции (у). Общие формулы, наверное, таковы: (у = ах.. + вх +с) для параболы, (у = а + 1/(вх+с)) для гиперболы.
М: ≈ Неплохо вас учили преобразованию графиков функций! Но кроме сдвигов и растяжений, в плоскости есть ПОВОРОТЫ. Например, параболу можно повернуть на 90 градусов, гиперболу ≈ на 45 градусов. Задают ли эти кривые какие-нибудь функции?
Г: ≈ После поворота парабола ляжет на бок ≈ и будет пересекать любую вертикальную прямую в ДВУХ точках. Впрочем, можно разрезать параболу пополам ≈ как мы сделали с окружностью! Тогда половинка параболы в верхней полуплоскости задаст функцию: у = ..х.
М: ≈ Верно! А какую функцию задаст половинка гиперболы, повернутая на 45 градусов?
Г: ≈ Затрудняюсь сказать. Видно только, что это будет ЧЕТНАЯ функция: ведь ее график симметричен относительно оси (Y).
М: ≈ Правильно! Но я вам подскажу, как можно вывести ФОРМУЛУ такой функции. Вспомним уравнение обычной гиперболы: (х*у = 1) ≈ и заметим, что число /х/ равно РАССТОЯНИЮ от точки (х,у) до оси (Y), а число /х/ ≈ расстоянию от этой точки до оси (Х). При повороте чертежа на 45 градусов ось (Х) переходит в прямую (у = х), а ось (Y) ≈ в прямую (у = -х). Расстояние между точками при повороте сохраняется ≈ а расстояние от точки (х,у) до любой прямой равно модулю результата ПОДСТАНОВКИ чисел (х) и (у) в УРАВНЕНИЕ этой прямой. (NB: Это ≈ известный факт аналитической геометрии: вы можете проверить его сами!)
Итак, уравнение (х*у = 1) перейдет при повороте на 45 градусов в уравнение (х+у)*(х-у)=1, или (х..-у.. = 1). Эту формулу называют КАНОНИЧЕСКИМ уравнением гиперболы ≈ хотя она ничем не лучше и не хуже формулы (х*у = 1). Ее легко разрешить относительно (у).
Г: ≈ Действительно: (у = ..1+х..) ≈ очень похоже на уравнение полуокружности. Но какая разница в графиках!
М: ≈ Вот поэтому я начал объяснять вам функцию через ее ГРАФИК: он полнее отражает существо дела. А теперь я могу дать общее ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ: это ≈ любая тройка (X,Y,F), состоящая из двух МНОЖЕСТВ (X) и (Y) и одного ЗАКОНА (F), который сопоставляет каждому элементу (х) их (Х) единственный элемент (у = F(х) из (Y).
ГРАФИК функции (F), о котором мы говорили, представляет собою один вариант такого закона: каждой точке (а) из множества (Х), лежащего на прямой (R), мы сопоставляем ту единственную точку графика (F), которая над нею висит ≈ а потом проектируем эту точку графика на ось (Y). В нашем случае эта проекция есть действительное число F(у).
Г: ≈ Значит, алгебраическая формула ≈ это ДРУГОЙ вариант закона, сопоставляющего любому числу из (Х) единственное число из (Y)! И, наверное, есть еще ИНЫЕ формулировки таких законов ≈ не сводимые ни к графикам, ни к формулам?
М: ≈ Именно так! Вот пример: возьмем в качестве (Х) числовую прямую, а в качестве (Y) множество из двух чисел: 0 и 1. Закон (F) определим так: F(a) = 0, если (а) ≈ РАЦИОНАЛЬНОЕ число, и F(a) = 1, если (а) ≈ ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число. Как вы думаете: можно этот закон (F) задать ФОРМУЛОЙ, или ГРАФИКОМ?
Г: ≈ Формулой ≈ вряд ли! Например, F(1) = 0 ≈ это очевидно. Но что F(..2) = 1 ≈ это нужно доказывать! Впрочем, мы это доказывали: что корень из двух иррационален. А вот чему равно F(П) ≈ я вовсе не знаю. Говорят, что Пи ≈ иррациональное число; но доказано ли это?
М: ≈ К счастью, уже доказано ≈ хотя не так давно, 240 лет назад. Но есть числа (хотя бы (е+П), о которых пока не известно: рациональные они, или иррациональные? Поэтому значения функции (F) известны НЕ ВО ВСЕХ точках числовой прямой! А что вы скажете о ГРАФИКЕ функции (F)?
Г: ≈ Это что-то очень странное! Ясно, что все точки графика лежат на двух параллельных прямых: (у=0) и (у=1). Первую из них они заполняют густо ≈ так же, как РАЦИОНАЛЬНЫЕ числа заполняют числовую ось. Но и на другой прямой точки графика лежат густо! Например, F(a..2/в) = 1, для любых целых чисел (а) и (в) ≈ а ведь ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел, пропорциональных корню из двух, тоже очень много!
Однако точки графика F(х) НЕ ЗАПОЛНЯЮТ целиком ни ту, ни другую прямую! Я не могу вообразить наглядно такую фигуру!
М: ≈ Я ≈ тоже! Но я привык к таким функциям, умею ими пользоваться ≈ и, значит, ПОНИМАЮ их, хотя не умею ни записать их формулой, ни ни нарисовать их графики. Чего и вам желаю!
Г: ≈ Пожелать-то легко. Вы лучше объясните: чем они так хороши, эти функции? За что вы их цените выше чисел ≈ хотя числа всем понятны, а функции понимают одни математики?
М: ≈ Спасибо за комплимент: я рад, что ЧИСЛА нынче стали понятны ВСЕМ! Я в них еще многого не понимаю. Но если сравнить число с функцией, то сразу заметно одно различие: число описывает некий ПОСТОЯННЫЙ объект, а функция ≈ ПЕРЕМЕННЫЙ объект. Например, кирпич можно задать ТРЕМЯ ЧИСЛАМИ: его длиной, шириной и высотой. Но если нас интересует ТРАЕКТОРИЯ брошенного кирпича, то ее приходится описывать не числом, а ФУНКЦИЕЙ!
Г: ≈ Ну да: кирпич летит по параболе!
М: ≈ Не совсем так! ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ брошенного кирпича описывает параболу ≈ если можно пренебречь сопротивлением воздуха. Но кирпич еще и вращается вокруг своего центра тяжести! Если это вращение равномерно ≈ тогда у него есть ОСЬ, которая сохраняет свое направление в пространстве, смещаясь параллельно самой себе ≈ так же, как ось Земли при ее движении вокруг Солнца. Оттого полет кирпича приходится описывать небольшим НАБОРОМ числовых функций, заданных на всей числовой прямой. К счастью, эти функции оказываются решениями несложных уравнений: это заметил Ньютон, с этого началась современная физика. Вот для нее и нужны функции!
Г: ≈ Ага! Значит, функции вы придумали не произвольно, а по заказу физиков!
М: ≈ Мы вообще ничего не придумываем произвольно: все ≈ под диктовку Природы! Когда нужно было считать овец или зерно ≈ тогда пришлось придумать целые и рациональные числа. Когда люди начали делить пашню и строить каменные стены ≈ тогда понадобилось исчисление многоугольников и многогранников, сиречь геометрия. Когда астрономы захотели понять движение планет ≈ тогда появилось исчисление функций, названное МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗОМ.
Каждый раз практика подсказывала нам основные ОБЪЕКТЫ и их необходимые ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Потом обнаруживались природные ЗАКОНОМЕРНОСТИ среди этих объектов и преобразований.
Г: ≈ Вы имеете в виду правила арифметики и аксиомы геометрии?
М: ≈ Да, конечно! В первую очередь ≈ законы арифметических действий над числами. Например, обнаружили мы, что (а*в = в*а) для любых натуральных чисел. Сразу встает вопрос: верно ли это для рациональных чисел? Или для действительных чисел? И так далее.
Или наоборот: оказалось, что 2.. = 3. то есть возведение в степень (а..) НЕ коммутативно. Значит, решение похожих уравнений (х.. = в) и (а.. = в) требует двух РАЗНЫХ действий! Одно из них (извлечение корня) сводится к возведению числа в РАЦИОНАЛЬНУЮ степень, а другое (ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ) ≈ НЕ сводится к извесным операциям. Оттого функции «корень» и «логарифм» имеют совсем разные свойства.
Г: ≈ Вот и поговорим о самых важных свойствах функций!
М: ≈ Да, пора заняться этим всерьез. Итак, мы будем говорить о функциях, которые определены на всей действительной прямой (R) и принимают действительные значения. Первый вопрос: обладают ли такие ФУНКЦИИ свойствами, похожими на свойства ЧИСЕЛ? Можно ли их складывать, умножать и делить друг на друга?
Г: ≈ Конечно, можно ≈ если делать это ОТДЕЛЬНО в каждой точке, где определены наши функции! Тогда не придется делать ничего нового, кроме привычных действий над числами.
М: ≈ Именно так мы работаем с функциями в рамках арифметики. Только ДЕЛЕНИЕ функций может вызвать затруднения: что делать в тех точках, где функция, стоящая в знаменателе дроби, обращается в нуль?
Г: ≈ Давайте считать, что 1/0 = .
М: ≈ Так и делается ≈ хотя это опасный прием. Но для ХОРОШИХ функций (например, для дробей, числители и знаменатели которых ≈ многочлены) ≈ для них «деление на нуль» с введением символа БЕСКОНЕЧНОСТИ (. ) осложнений не вызывает. Как будто мы пополнили области определения и изменения функций еще одной, очень далекой точкой: (. ).
Но все это ≈ в рамках АРИФМЕТИКИ числовых функций. А еще у них есть ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ свойства ≈ благо, их графики суть ФИГУРЫ на плоскости.
Г: ≈ Причем эти фигуры ≈ особые, мало похожие на привычные геометрам многоугольники или окружности!
М: ≈ Да ≈ и потому для изучения геометрических свойств графиков функций пришлось изобрести особое «исчисление»: так называемый МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Г: ≈ А что в нем особого ≈ по сравнению с арифметикой чисел или геометрией многоугольников?
М: ≈ Если говорить формально, то новинка лишь одна: понятие ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ в точке, которое позволяет определить НЕПРЕРЫВНУЮ функцию. Но дальше букет новых понятий разрастается ≈ и конца ему не видно. Например, появляется ПРОИЗВОДНАЯ функции, которая измеряет КРУТИЗНУ ее графика и позволяет строить КАСАТЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ к графику в любой его точке. Затем возникают ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: их решениями являются ФУНКЦИИ, а не числа. Потом ИНТЕГРАЛ от функции дает возможность вычислить ПЛОЩАДЬ под ее графиком; вдобавок, интеграл позволяет узнать УГОЛ между двумя функциями ≈ как будто они ВЕКТОРЫ в некотором многомерном пространстве.
Г: ≈ Ну, раз так ≈ предъявляйте определения новых понятий!
М: ≈ Я начну с определения НЕПЕРЕРЫВНОЙ функции, и сначала объясню это свойство на ГРАФИКЕ функции. Рассмотрим график (у=f(х)) вблизи точки (а;f(а)). Мы называем функцию f(х) НЕПРЕРЫВНОЙ в точке (а), если малый кусочек ее графика вокруг точки (а;f(а)) можно зажать внутрь сколь угодно узкой ПОЛОСКИ, параллельной оси (Х).
На языке алгебры это определение звучит так: для любого положительного числа (е>0) найдется положительное число (d>0) такое, что из (/х-а/ Проверьте сами, поглядев на любой график, что эти два определения имеют одинаковый смысл! Г: ≈ Похоже на то. Вы сначала произвольно выбираете ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ полосу ширины (2е) вокруг прямой (у=f(а)), а потом стараетесь выбрать столь узкую ВЕРТИКАЛЬНУЮ полосу ширины (2d) вокруг прямой (х=а), чтобы весь кусок графика, висящий внутри вертикальной полосы, попал внутрь горизонтальной полосы. Верно ли я вас понял? М: ≈ Совершенно верно! И теперь давайте проверим: какие функции ОБЛАДАЮТ свойством непрерывности, а какие НЕ ОБЛАДАЮТ им? Для начала ≈ ЛИНЕЙНАЯ функция: например, (у = 2х+3) возле точки (х=0). Я вам заявляю, что она НЕПРЕРЫВНА: значит, нужно научиться ВЫБИРАТЬ число (d>0) по заданному числу (е>0). Подсчитайте сами: можно ли выразить зависимость (d) от (е) какой-то простой формулой? Г: ≈ Пожалуй, можно: надо взять (d=e/2). М: ≈ Верно! Вот как удобна линейная функция: для нее выбор числа (d) по числу (е) можно произвести ОДИНАКОВО ≈ независимо от того, возле какой точки графика мы ведем рассуждения. Есть и другие функции с этим свойством: например, СИНУС или КОСИНУС. Проверьте сами, что для них достаточно выбрать (d=e): такой выбор позволяет доказать непрерывность функции сразу во всех точках. Иное дело ≈ функция (у=х..). Она тоже непрерывна во всех точках, и это нетрудно доказать. Но СПОСОБ ВЫБОРА числа (d) по числу (е) ЗАВИСИТ от той точки (х=а, у=а..), около которой мы «укрощаем» наш график. Например, около нуля достаточно взять (d=е): проверьте это сами! Но около точки (х=2; у=4) выбор (d=е) нам не поможет ≈ зато выбор (d=е/5) дает нужную нам оценку. Проверьте это! Дело в том, что функция (у=х..) с ростом аргумента (х) возрастает все быстрее: ее график становится все круче, то есть (на языке Математического Анализа) ее ПРОИЗВОДНАЯ неограниченно растет. Впрочем, о производных речь впереди; сейчас нам пора разобраться с РАЗРЫВНЫМИ функциями. Г: ≈ А нужно ли с ними разбираться? Ведь самые важные функции (по вашим словам) ≈ непрерывные! М: ≈ Действительно, так. Но, к сожалению, даже очень удобные функции ≈ например, (у=1/х) ≈ имеют отдельные точки разрыва. Докажите-ка, что (у=1/х) разрывна в точке (0)! Г: ≈ А что тут доказывать? Она даже не определена в нуле! М: ≈ Но, может быть, это ≈ наше упущение? Нельзя ли ПРОДОЛЖИТЬ эту функцию в точке (х=0) таким значением (f(0)=а), что в итоге она станет всюду непрерывной? Г: ≈ Конечно, нельзя! Ведь график (у=1/х) СЛЕВА от нуля стремится к (-. ), а справа к (+. ) ≈ так что около нуля этот график НЕЛЬЗЯ зажать в горизонтальную полосу НИКАКОЙ ширины! Уж тем более ≈ в узкую полоску ширины (2е)! М: ≈ Верно! Кстати, во всех прочих точках функция (у=1/х) НЕПРЕРЫВНА ≈ хотя выбор (d) по (е) для нее (как и для функции у=х..) ЗАВИСИТ от той точки (х=а), в которой мы доказываем непрерывность. А теперь мы перейдем к гораздо худшей функции Дирихле (у=D(х): той, которая НЕ ИМЕЕТ наглядного графика, поскольку она равна (0) в рациональных точках, и (1) в иррациональных точках. Что вы думаете о ее непрерывности? Г: ≈ Ясное дело! Она разрывна во ВСЕХ точках! М: ≈ Верно! А как это можно доказать? Г: ≈ Так видно же, что НИКАКОЙ «кусок графика» этой функции не умещается ни в какой полосе шириною меньше единицы! М: ≈ «Видно» ≈ это удачное слово в процессе ДОГАДКИ ≈ но вы же сами сказали, что у этой функции НЕТ явного графика! Оттого ваше утверждение о «невместимости» куска графика в узкую полоску нужно перевести на язык неравенств между числами. Вот если вы докажете, что в ЛЮБОЙ окрестности РАЦИОНАЛЬНОГО числа найдется ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число, и наоборот ≈ в любой окрестности иррационального числа найдется рациональное число ≈ тогда ваше рассуждение о повсеместной разрывности функции Дирихле станет строгим! Г: ≈ Над этим нужно подумать. Но, пожалуй, я смогу это доказать: я достаточно знаю о числах ≈ рациональных и иррациональных! М: ≈ Тогда ≈ в добрый час! Это вы сделаете сами. А нам вместе полезно разобрать еще один пример. Можете ли вы придумать функцию, которая разрывна во всех точках, КРОМЕ ОДНОЙ? Г: ≈ То есть, она непрерывна только в одной точке? Г: ≈ Интересно. Пожалуй, можно взять что-нибудь вроде функции Дирихле ≈ то есть, разбросать значения будущей функции по графикам двух разных «хороших» функций, в зависимомти от того, рационально ли значение аргумента (х). М: ≈ Идея хороша! Но какие функции подойдут для вашего замысла? — Г: ≈ Ясно, какие! Любые две непрерывные функции, графики которых пересекаются только в ОДНОЙ точке! Например: (f(х)=х) и (g(х)=(-х)). Итоговая функция будет равна (х) во всех рациональных точках и (-х) во всех иррациональных точках. Тогда в нуле она непрерывна, а в любой другой точке ≈ разрывна! М: ≈ Это верно! Надеюсь, что вы сами доведете доказательство вашего утверждения до победного конца на строгом (е-d)-языке. М: ≈ А теперь нам пора переходить в МИР ПРОИЗВОДНЫХ. И опять я начну с геометрических вещей: я определю, что такое ПРЯМАЯ, КАСАТЕЛЬНАЯ к графику функции (у=f(х)) в точке (а;f(а)). Это похоже на определение НЕПРЕРЫВНОЙ функции. Но там мы втискивали кусочек графика в узкую горизонтальную ПОЛОСКУ (прямоугольник), а здесь будем втискивать тот же кусочек в УЗКИЙ УГОЛ, биссектрису которого назовем КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ к графику функции. Формальное определение таково: прямая (у=кх+в) КАСАЕТСЯ графика функции (у=f(х)) в точке (а;f(а)), если для каждого числа (е>0) найдется число (d>0) такое, что из неравенства /х-а/ Если это свойство выполнено для некоторого числа (к), то (к) называется ПРОИЗВОДНОЙ функции (у=f(х)) в точке (х=а). Г: ≈ Лихо закручено! Но геометрический смысл тут несложный, так что я готов поверить: ваша алгебра выражает то же самое, что ваша геометрия. Кстати: следует ли из СУЩЕСТВОВАНИЯ производной ее единственность? М: ≈ Да, следует! Это нетрудно доказать расчетом ≈ но я не буду тратить время на это. Кто захочет, тот сам проверит. Г: ≈ Тогда другой вопрос: следует ли из НЕПРЕРЫВНОСТИ функции, что ее график имеет КАСАТЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ? Или верно обратное заключение? М: ≈ ОБРАТНОЕ заключение ВЕРНО, а прямое ≈ НЕТ. Вот простейший контрпример: (у=/х/). Легко доказать, что эта функция везде непрерывна. Но ее график около точки (0) имеет ИЗЛОМ ≈ и загнать этот излом внутрь узкого угла с ЛЮБОЙ биссектрисой невозможно. Если удается загнать туда ПРАВУЮ половину графика (у = х), то не вмещается ЛЕВАЯ половина (у = -х), и наоборот. Г: ≈ Ага! Значит, ИМЕТЬ ПРОИЗВОДНУЮ ≈ более сильное свойство функции, чем БЫТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ. А какое из этих свойств легче ЛОКАЗАТЬ для конкретной функции? М: ≈ Гораздо легче проверить наличие ПРОИЗВОДНОЙ. Оттого понятия «производная» и «касательная прямая к графику» утвердились в математике гораздо раньше, чем понятие «непрерывная функция». Например, я утверждаю, что функция (у = х..) в ЛЮБОЙ точке графика имеет производную, равную (n*x. ). Давайте докажем это! Запишем число, близкое к (а), в виде (а+t), и составим разность значений двух функций: исходной (у = х..) и линейной (у = а.. +n*a. *t) в точке (х=a+t). Эта разность равна ((a+t).. -a.. -n*a. *t) = Эту длинную сумму ≈ многочлен от (t) ≈ мы должны за счет выбора (t>0) сделать по модулю меньшей, чем произведение (е*t), для заданного (е>0). К счастью, все слагаемые в нашем многочлене от (t) имеют степени БОЛЬШЕ 1. Оттого наша задача разрешима: достаточно сделать КАЖДОЕ из слагаемых n(n-1)/2*t; n(n-1)(n-2)*t..; и так далее ≈ до t. ≈ меньшим, чем (е/n) ≈ где натуральное (n) фиксировано, (е>0) задано. Эта арифметическая задача вам, наверное, под силу. Г: ≈ Да, пожалуй: нужно решить каждое из (n-1) неравенств относительно (t), а потом выбрать НАИМЕНЬШЕЕ значение (t) из (n-1) полученных решений. Это легко! Что же мы доказали в итоге? М: ≈ Мы доказали, что каждая СТЕПЕННАЯ функция (у = х..) имеет производную в любой точке ≈ то есть, что график степенной функции имеет касательную прямую в каждой точке. Мы нашли явную ФОРМУЛУ этой производной ≈ и, между прочим, доказали, что все степенные функции непрерывны во всех точках! Г: ≈ А как непрерывность следует из существования производной? М: ≈ Очень просто! Помните, как я вам обещал, что функция (у = х..) непрерывна в точке (х=2) ≈ и посоветовал для доказательства этого факта взять (d=е/5)? Я тогда уже знал, что производная этой функции в этой точке равна 4 ≈ и предложил взять в качестве (d) число (е/к), где модуль /к/ больше модуля производной от нашей функции в интересующей нас точке. Это правило годится для доказательства непрерывности ЛЮБОЙ функции в ЛЮБОЙ точке, где она имеет производную. Г: ≈ При условии, что мы умеем вычислить эту производную. Для каких функций это удается сделать ≈ кроме степенной, которую мы уже одолели? М: ≈ Во-первых, легко доказать, что СУММА или ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух функций, имеющих производные, также имеет производную. Для ЧАСТНОГО двух функций это тоже верно ≈ в любой точке, где знаменатель не равен нулю. Далее: СЛОЖНАЯ функция, вроде sin(x..), имеет произодную, поскольку ее имеют промежуточные функции (у=sin(х)) и (у=х..). Наконец, легко вычислить производные от всех тригонометрических функций, а также от показательной функции ≈ и от ОБРАТНЫХ к ним функций. Так что любая ЭЛЕМЕНТАРНАЯ функция имеет производную везде ≈ кроме очевидных «экзотических» точек. Г: ≈ А как насчет «экзотических ФУНКЦИЙ» ≈ вроде той, которая непрерывна лишь в одной точке? М: ≈ Такие примеры вы теперь можете строить сами ≈ сколько вашей душе угодно будет! Нетрудно смастерить функцию, которая имеет производную только в ОДНОЙ точке ≈ а во всех остальных точках она разрывна. А еще можно придумать функцию, которая ВСЮДУ НЕПРЕРЫВНА, но НИГДЕ не имеет производной! Но этот пример ≈ очень трудный; Карл Вейерштрасс его осилил, а сумеете ли вы ≈ не знаю. Г: ≈ Я тоже не уверен в своих силах ≈ и зачем подражать лягушке, которая состязалась с волом? Вы лучше скажите: какие ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ по геометрии графиков функций становятся доступны человеку, усвоившему понятия и технику производных? М: ≈ Вот простой пример: умея вычислять производную, легко найти на графике функции все точки, где производная равна НУЛЮ. Чем замечательна касательная прямая в такой точке? Г: ≈ Она горизонтальна! М: ≈ Верно! Что можно сказать о ГРАФИКЕ функции в такой точке? Г: ≈ Видимо, функция имеет в этой точке МИНИМУМ. Или МАКСИМУМ? М: ≈ Возможно и то, и другое ≈ и даже третье! Взгляните на график функции (у = х..): что происходит в нуле с нею и с ее производной? Г: ≈ Производная там равна нулю ≈ но сама функция в этой точке монотонно возрастает! М: ≈ Вот именно. Оттого для понимания сути дела нужно проследить за ИЗМЕНЕНИЕМ ЗНАКА производной вблизи той точки, где она обращается в нуль. Кроме точек МИНИМУМА (где производная меняет знак с МИНУСА на ПЛЮС) и МАКСИМУМА (где знак производной меняется с ПЛЮСА на МИНУС), есть еще ТОЧКИ ПЕРЕГИБА: в них знак производной НЕ МЕНЯЕТСЯ, но график функции слева и справа лежит ПО РАЗНЫЕ СТОРОНЫ от касательной прямой. Кстати, производная в точке перегиба может НЕ обращаться в нуль: взгляните на график функции (у = sin(х) возле точки (х=0)! Поиск точек перегиба требует расчета ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ от интересующей нас функции: она, по определению, есть производная от первой производной. Г: ≈ Но это же очень скучно: отдельно разбирать каждую точку графика функции! Неужели нельзя изучить весь график сразу ≈ как одно целое? М: ≈ Можно! Такая работа называется ГРАФИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ ≈ или ГРАФИЧЕСКИМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ. Начнем с примера. Пусть f(х) = (ах..+вх+с). График этой функции ≈ хорошо знакомая вам парабола. Попробуем построить графики ДВУХ функций: g(х), которая является ПРОИЗВОДНОЙ от (f(х)), и h(х) ≈ ПРОИЗВОДНАЯ ОТ КОТОРОЙ равна f(х). Давайте забудем на время этой работы известную ФОРМУЛУ функции f(х)! Будем танцевать от ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ее графика ≈ и построим ПРИБЛИЖЕННЫЕ графики функций g(х) и h(х). Г: ≈ Хорошо, попробуем! М: ≈ Положим для определенности, что «рога» нашей параболы торчат вверх, а ее вершина лежит в точке (2; -1). Что вы можете сказать о графике функции g(х) ≈ производной функции f(х)? Г: ≈ Сначала рассмотрим график f(х) на ЛЕВОЙ половине числовой оси: от (-. ) до (+2). Там f(х) монотонно убывает. Значит, ее производная g(х) на этом луче ОТРИЦАТЕЛЬНА. Только в точке (х=2) она обращается в нуль ≈ а затем становится ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ на всем луче (2;. ). М: ≈ Верно! Со ЗНАКАМИ производной вы разобрались. А что можно сказать о МОДУЛЕ производной? Г: ≈ Видно, что при движении от (-. ) до (х=2) КРУТИЗНА параболы УМЕНЬШАЕТСЯ. Значит, модуль производной g(х) УБЫВАЕТ на луче (-. ; 2), а потом вновь ВОЗРАСТАЕТ на луче (2; . ). Видно, что это возрастание ничем не ограничено: то есть, при (х-. ) модуль производной /g(х)/ стремится к бесконечности. М: ≈ Все верно! Этого достаточно, чтобы нарисовать приближенно ГРАФИК функции (у=g(х)). Сделайте это! Г: ≈ Примерно так: . Но это ≈ очень грубый рисунок! Мы же знаем, что истинный график функции f(х) ≈ ПАРАБОЛА, заданная многочленом степени 2. Значит, ее производная ≈ ЛИНЕЙНАЯ функция. То есть, ее точный график ≈ ПРЯМАЯ линия! М: ≈ Я вам не зря говорил: забудьте ФОРМУЛУ функции, опирайтесь только на ее ГРАФИК! В итоге вы нарисовали график производной от ЛЮБОЙ функции, график которой ПОХОЖ на квадратичную параболу со сдвинутой вершиной. Например, так можно сдвинуть график функции (у=х..): на чертеже вы не глазок не отличите эту кривую от привычной параболы. Г: ≈ Так чей же график я сейчас нарисовал ≈ под видом «производной от параболы»? М: ≈ Вы нарисовали ТО ОБЩЕЕ, что будет у графиков производных от ЛЮБЫХ функций, графики которых похожи на обычную параболу! Если график функции был обычной параболой, то график ее производной ≈ прямая линия. Если же я подсунул вам вместо параболы (у=х..) похожий график функции (у=х..), то ее производная будет (у=4х..). Ее график тоже похож на то, что вы нарисовали. Только в точке пересечения с осью (Х) касательная прямая к графику производной функции g(х) ГОРИЗОНТАЛЬНА ≈ так что этот график КОСНЕТСЯ оси (х), пересекая ее ≈ а не пересечет ее под острым углом, как прямая (у=ах+в). Вот какие разные случаи может нечаянно охватить честно нарисованный приближенный график производной от заданной функции! Г: ≈ Значит, мы с вами вели мелкие разговоры на очень глубоком месте! М: ≈ Воистину так! Хотите продолжить беседу в том же духе? Г: ≈ Отчего бы нет? Продолжим! М: ≈ Теперь попробуйте нарисовать график функции (у=h(х), производная от которой имеет своим графиком ту параболу, с которой мы начали разговор! Г: ≈ Это будет потруднее ≈ но попробуем! Сначала разобьем ось (Х) на три интервала ≈ согласно ЗНАКАМ функции f(х). На левом луче (f(х)>0), на среднем интервале (f(х)<0), на правом луче (f(х)>0). Это значит, что искомая функция (у=h(х) ВОЗРАСТАЕТ на левом луче, УБЫВАЕТ на среднем интервале, потом вновь ВОЗРАСТАЕТ на правом луге. Ясно, что она имеет МАКСИМУМ на стыке левого луча со срединим интервалом, и МИНИМУМ ≈ на стыке интервала с правым лучом! Стало быть, ГРАФИК искомой функции (у=h(х) выглядит примерно так: М: ≈ Верно! Только точек ИЗЛОМА на этом графике НЕТ и быть не может: ведь функция (у=h(х) имеет производную (у=f(х) во ВСЕХ точках! На графике у=h(х) будут ДВА ГЛАДКИХ ГОРБА: один максимум и один минимум. М: ≈ Тогда еще один коварный вопрос: сколько разных решений имеет уравнение (h(х)=0)? Г: ≈ На моем чертеже видно, что их ТРИ! М: ≈ А вы подумайте: что будет с графиком исходной функции (у=f(х), если вы СДВИНЕТЕ график построенной вами функции (у=h(х) вверх или вниз вдоль оси (Y)? Г: ≈ То есть, если добавить к функции (у=h(х) константу? Ее производная (у= f(х) при этом НЕ ИЗМЕНИТСЯ! Значит, функция (у=h(х) НЕ ОДНОЗНАЧНО восстанавливается по известной функции (у=f(х)? М: ≈ Соверешенно верно! Он определен с точностью до ПОСТОЯННОГО СЛАГАЕМОГО. Оттого уравнение (h(х)=0) в вашем случае может иметь либо ТРИ разных корня, либо ОДИН корень. Кстати: теперь полезно вспомнить ТОЧНУЮ ФОРМУЛУ исходной функции (у=f(х) ≈ и написать ФОРМУЛУ (у=h(х). Г: ≈ Вначале был некий многочлен степени 2. Значит, в итоге получится некий многочлен степени 3. М: ≈ Верно! Вот вы и нарисовали график ПРОИЗВОЛЬНОГО кубического многочлена. Он заметно отличается от ПРОСТЕЙШЕГО графика (у=х..), который у вас получился на первом этапе работы ≈ когда вы нечаянно графически продифференцировали функцию (у=х..). Теперь вы видите разницу между ними? Г: ≈ Вижу! График «ЧИСТОГО куба» имеет ОДНУ точку ПЕРЕГИБА ≈ но не имеет ни минимумов, ни максимумов. График ОБЩЕГО кубического многочлена имеет ОДИН минимум и ОДИН максимум ≈ зато он не имеет перегибов! М: ≈ Не так! Общий кубический график ИМЕЕТ один перегиб (между точками мимимума и максимума) ≈ но в точке перегиба касательная к графику НЕ горизонтальна, а НАКЛОННА! Ну вот: ценою немалых усилий вы научились ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ либо ИНТЕГРИРОВАТЬ графики функций «на глазок». Дальше вы можете упражняться в свое удовольствие! Например, выясните: какова форма графика произвольного многочлена степени 4? Или напишите уравнение спины двугорбого верблюда! И так далее: дорогу осилит идущий! Одним из разделов школьной математики является изучение функциональных зависимостей или функций. Напомним, что функцией математики называют зависимость величины от одной или нескольких других величин. При этом независимые переменные величины принято называть аргументами, а зависимые – функциями. При этом важно не забывать, что каждому значению аргумента (или аргументов) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Наглядно функции изображают с помощью графика – специального набора точек на плоскости. Пусть имеется функция $$ y=f\left(x\right)$$ одной переменной $$ x$$. На плоскости введём декартову систему координат $$ xOy$$ и рассмотрим множество точек $$ G$$ с координатами $$ (x,f(x\left)\right)$$, где $$ x$$ принадлежит некоторому множеству $$ M$$, которое называется областью определения функции. А множество $$ G$$ называется графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ (рис. 1). В школьном курсе математики вы изучали такие типы функций: График линейной функции можно построить по двум точкам, поскольку это прямая линия. Однако стоит заметить, что не всякая прямая будет графиком линейной функции. Если взять вертикальную прямую $$ x=a$$, то такая линия не может быть графиком никакой функции (рис. 2). Действительно, здесь одному значению переменной $$ x$$ ставится в соответствие несколько значений переменной $$ y$$. Итак, прямая на плоскости $$ xOy$$ – график некоторой линейной функции тогда и только тогда, когда она не вертикальна. Напомним геометрический смысл коэффициентов $$ k$$ и $$ b$$ в уравнении прямой $$ y=kx+b:$$ $$ k=\mathrm \alpha $$ – тангенс угла наклона прямой к оси $$ Ox$$, $$ b$$ – ордината точки пересечения прямой с осью $$ Oy$$. Поэтому две невертикальные прямые $$ y=_x+_$$ и $$ y=_x+_$$: Условие перпендикулярности прямых несложно пояснить. Рассмотрим пару прямых, параллельных данным и проходящих через начало координат (см. рис. 3). Теперь напомним основные сведения о функциях вида $$ f\left(x\right)=a^+bx+c$$. Сразу отметим, что такая функция квадратична только при $$ a\ne 0$$. В случае же $$ a=0$$ эта функция квадратичной уже не будет. Если в задаче возможна такая ситуация, то случай $$ a=0$$ обязательно нуждается в отдельном рассмотрении. Нужно всегда обращать на это внимание! Будем считать, что $$ a\ne 0$$. Тогда графиком функции $$ y=f\left(x\right)$$ будет парабола. Такие графики принято строить схематично, учитывая следующее: $$ f\left(x\right)=^$$ ($$ n\in N$$) при $$ x\ge 0$$ выглядит так, как показано на рис. 4. Для чётных $$ n$$, очевидно, верно $$ f(-x)=f\left(x\right)$$, а для нечетных $$ n$$ верно $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$ для всякого $$ x$$. Поэтому в зависимости от чётности $$ n$$ графики функции $$ f\left(x\right)=^$$ имеют такой вид (рис. 5 и 6). Напомним, что функция, область допустимых значений которой симметрична относительно начала координат, называется чётной, если справедливо равенство $$ f(-x)=f\left(x\right)$$ и нечётной, если $$ f(-x)=-f\left(x\right)$$. Наример, нетрудно проверить, что функция В случае нечётного $$ n$$ график симметричен относительно начала координат. Такие функции называют нечётными (рис. 5). Если же $$ n$$ четно, то график симметричен относительно оси ординат. Такие функции называют чётными (рис. 6). Для построения графика $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]$$ нужно записать уравнение $$ y=\sqrt[n]$$ или $$ x=^$$. Это означает, что график имеет вид линии $$ y=^$$, но при этом $$ x$$ и $$ y$$ меняются местами. Для чётных $$ n$$ при этом еще нужно учесть ОДЗ $$ x\ge 0$$. Поэтому график функции $$ f\left(x\right)=\sqrt[n]$$ имеет следующий вид в зависимости от чётности натурального числа $$ n$$ (рис. 7, 8): Рассмотрим теперь функции вида $$ f\left(x\right)=\frac$$. Поскольку функция $$ f$$ нечётна, то график должен быть симметричным относительно начала координат. Схематический вид графика этой функции показан на рисунке 9. Покажем, как меняется график функции $$ f\left(x\right)=>$$ при изменении параметра $$ k$$. Если $$ \left|_\right|>\left|_\right|$$, то линия $$ f\left(x\right)=<\displaystyle \frac<_>>$$ более удалена от осей координат, чем $$ f\left(x\right)=<\displaystyle \frac<_>>$$. Схематично это изображено на рис. 11, 12. Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций. Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Графики для чайников? Можно сказать и так. По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление: Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту, демо-версию можно посмотреть здесь. Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта! И сразу начинаем: На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей. Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей. Чертежи бывают двухмерными и трехмерными. Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат: 1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс, а ось – осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло. 2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси. 3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку. Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить ещё ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка. Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях. К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым. Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства. Трехмерный случай Здесь почти всё так же. 1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов. 2) Подписываем оси. 3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – меньше, чем масштаб по другим осям. Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше). С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат. При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу . Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки. Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль. Берем еще какую-нибудь точку, например, 1. При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу: А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе. Две точки найдены, выполним чертеж: При оформлении чертежа всегда подписываем графики. Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции: Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками. 1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку. 2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс». 3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1». Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или . Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей. Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости. Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай: Вспоминаем некоторые свойства функции . Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс» (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R). Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или . Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно вместо подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция является четной. Функция не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх на «плюс бесконечность». При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела. Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций. Построить график функции . В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения. Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю: Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную? Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»: Таким образом, вершина находится в точке Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял. В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы: Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак: Для квадратичной функции () справедливо следующее: Если , то ветви параболы направлены вверх. Если , то ветви параболы направлены вниз. Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола. Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж: Перечислим основные свойства функции Область определения – любое действительное число:. Область значений – любое действительное число:. Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»: Функция не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: , Кубическую параболу тоже удобнее строить с помощью алгоритма «челнока»: Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции. А теперь поговорим о графиках функций-многочленов высоких степеней чуть более подробно. График функции () принципиально имеет следующий вид: В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики функций-многочленов 5-й, 7-й, 9-й и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин». Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида: Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж: Основные свойства функции : То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти. Функция не ограничена сверху. Или с помощью предела: При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело: На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде приходиться строить значительно чаще. Однако унывать не нужно, в других статьях я рассмотрю самые разнообразные функции и их графики, корни в том числе. Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу . Основные свойства функции : Запись обозначает: «любое действительное число, исключая ноль» В точке функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю справа. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: . Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой. В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при . Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой. Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу. Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности. Функция является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: . График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы. Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше). Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях. Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков. Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело: Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь. Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола. В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента. Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит: График функции пока оставим в покое, о нём позже. Основные свойства функции : Область значений: . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости. Функция не ограничена сверху: , то есть, если мы начнем уходить по оси вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на по оси . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при Исследуем поведение функции на минус бесконечности: . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , , будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график. Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть . Это значение должен знать даже «двоечник». Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статье Построение графиков с помощью геометрических преобразований. Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д. Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью. Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом . Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам. Основные свойства функции : Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность. Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: . Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график. Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость. В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому. С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса Построим график функции Данная линия называется синусоидой. Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит. Основные свойства функции : Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика. Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса. Область значений: . Функция является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке . Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится: Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов: Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует! В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы. График косинуса Построим график функции График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси на влево Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением. Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает». Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , . Графики тангенса и котангенса Построим график функции Основные свойства функции : Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться. Область определения: – все действительные числа, кроме … , , , … и т. д. или коротко: , где – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z. Область значений: . Функция не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически: Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: . В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график). График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график: Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса. Построим график арксинуса Перечислим основные свойства функции : Область определения: , не существует значений вроде или Область значений: , то есть, функция ограничена. Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: . В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: , , . Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций. Построим график арккосинуса Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой». Построим график арктангенса Всего лишь перевернутая ветка тангенса. Область значений: , то есть, функция ограничена. Арктангенс – функция нечетная: . Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: , . К графику арккотангенса приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж: Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией. Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики. Ну что, смертнички, полетаем? =) Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков. Автор: Емелин Александр (Переход на главную страницу) © Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещеноКак определить какая функция к какому графику
Графики и основные свойства элементарных функций
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!Как правильно построить координатные оси?
1 единица = 2 клетки по осям и (чертеж слева) и 1 единица = диагональ одной клетки – по оси .чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.Графики и основные свойства элементарных функций
График линейной функции
График квадратичной, кубической функции, график многочлена
с Анфисой Чеховой.Кубическая парабола
, значит, функция является нечетной.
График функции
График гиперболы
График показательной функции
График логарифмической функции
Выполним поточечный чертеж:
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.Графики тригонометрических функций
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.
, Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).
– если мы приближаемся по оси к значению справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте .
– если мы приближаемся по оси к значению слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .Графики обратных тригонометрических функций
Перечислим основные свойства функции :
У рассматриваемой функции есть две асимптоты: , .
