Как найти радиус вписанной окружности в квадрат

Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:

• все углы прямые, то есть, равны 90°;
• все стороны, как и углы, равны;
• диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

.

Окружность описанная около квадрата

Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

, отсюда , тогда:
Задача: радиус окружности вписанной в квадрат равен Рис.1 Рис.2

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC ┴ BD	AO = BO = CO = DO =	d
		2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата

Определение.

Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√ 2 раз.

Формулы определения длины диагонали квадрата

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

d =	P
	2√ 2

4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l :

d = l	2√ 10
	5

Периметр квадрата

Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формулы определения длины периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l :

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l :

S = l 2	16
	√ 5

Окружность описанная вокруг квадрата

Определение.

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√ 2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:

R = Dв	√ 2
	2

8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l :

R = l	√ 10
	5

Окружность вписанная в квадрата

Определение.

Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.

Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат

1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l :

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Содержание скрыть

• Формулы вычисления радиуса описанной окружности
  • Через сторону квадрата
  • Через диагональ квадрата

  Формулы вычисления радиуса описанной окружности

  

  Через сторону квадрата

  Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

  Через диагональ квадрата

  Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

  Примеры задач

  Задание 1

  Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

  Применим первую формулу, рассмотренную выше:

  

  Задание 2

  Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

  Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

  Публикации по теме:

  • Нахождение площади квадрата: формула и примеры
  • Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
  • Нахождение площади эллипса: формула и пример
  • Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
  • Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
  • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
  • Нахождение длины окружности: формула и задачи
  • Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
  • Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
  • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
  • Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
  • Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
  • Нахождение радиуса круга: формула и примеры
  • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
  • Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
  • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
  • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
  • Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
  • Геометрическая фигура: треугольник
  • Признаки равенства треугольников
  • Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
  • Определение и свойства медианы треугольника
  • Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
  • Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
  • Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
  • Свойства высоты прямоугольного треугольника
  • Свойства высоты равностороннего треугольника
  • Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
  • Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
  • Что такое круг: определение, свойства, формулы
  • Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
  • Нахождение площади сектора круга
  • Свойства прямоугольной трапеции
  • Нахождение высоты трапеции: формулы и примеры задач
  • Нахождение высоты равнобедренной (равнобокой) трапеции
  • Что такое средняя линия трапеции
  • Что такое средняя линия четырехугольника
  • Нахождение радиуса описанной вокруг куба сферы (шара)
  • Нахождение объема шарового сегмента
  • Нахождение площади шарового сектора
  • Нахождение объема шарового сектора
  • Нахождение площади поверхности усеченного конуса: формулы
  • Нахождение объема усеченного конуса
  • Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения
  • Что такое параллелепипед: определение, элементы, виды, свойства
  • Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения
  • Основные свойства призмы
  • Нахождение радиуса шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду

  Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

  В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

  Содержание скрыть

  • Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
    • Через сторону квадрата
    • Через диагональ квадрата

    Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

    

    Через сторону квадрата

    Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

    Через диагональ квадрата

    Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

    Примеры задач

    Задание 1

    Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

    Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

    

    Задание 2

    Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

    Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

    

    Публикации по теме:

    • Нахождение площади квадрата: формула и примеры
    • Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
    • Нахождение площади треугольника: формула и примеры
    • Нахождение площади круга: формула и примеры
    • Нахождение площади ромба: формула и примеры
    • Нахождение площади эллипса: формула и пример
    • Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
    • Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
    • Нахождение периметра треугольника: формула и задачи
    • Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
    • Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
    • Нахождение длины окружности: формула и задачи
    • Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: формула и задачи
    • Теорема косинусов для треугольника: формула и задачи
    • Теорема синусов для треугольника: формула и задачи
    • Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи
    • Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
    • Нахождение объема конуса: формула и задачи
    • Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
    • Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
    • Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
    • Нахождение объема призмы: формула и задачи
    • Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности шара (сферы): формула и задачи
    • Нахождение площади поверхности вписанного в цилиндр шара
    • Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
    • Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
    • Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
    • Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
    • Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
    • Теорема Стюарта: формулировка и пример с решением
    • Теорема о трех перпендикулярах
    • Геометрическая фигура: треугольник
    • Признаки равенства треугольников
    • Признаки подобия треугольников
    • Признаки равенства прямоугольных треугольников
    • Свойства прямоугольного треугольника
    • Определение и свойства медианы треугольника
    • Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
    • Определение и свойства медианы в равнобедренном треугольнике
    • Определение и свойства медианы равностороннего треугольника
    • Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
    • Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
    • Определение и свойства высоты треугольника
    • Свойства высоты равностороннего треугольника
    • Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
    • Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
    • Что такое квадрат: определение и свойства
    Похожие публикации:

    1. Mycdn me что это за сайт
    2. Как добавить текст песни в музыку
    3. Как запрограммировать rfid метки
    4. Ошибка 1079 windows 7 как исправить