3.2.3 Построение касательных к двум окружностям
При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO1 описывают окружность радиусомR – r(рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO2O1 – точкуO3и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO3O2 илиO3O1.Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ. ТочкиO1 иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO2параллельно прямойO1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомrи получают вторую точку касанияC. ПрямаяCDявляется искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO1, описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO2O1 пополам, получают точкуO3. Из точкиO3как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности
3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности
Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом Rc (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуRc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаRcи в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиОопускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.
Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc= OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.
Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB. ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО– центр сопрягающей дуги радиусом.
Построение общей внутренней касательной к двум окружностям
Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.
Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.
897 Постройте общую касательную к двум данным окружностям.
Замечание. Мы рассмотрели случай, когда каждая из данных окружностей лежит вне другой. В этом случае окружности имеют четыре общих касательных, две из которых внешние, а две другие — внутренние (рис. 286, а). Ясно, что если одна из окружностей целиком
лежит внутри другой, то общих касательных у них нет (рис. 286, б).
Если окружности имеют единственную общую точку, то общих касательных три (рис. 286, в) или одна (рис. 286, г). Наконец, если окружности имеют две общие точки, то общих касательных две (рис. 286, д). В каждом из этих случаев общие касательные могут быть построены одним из двух указанных методов. Впрочем, в ряде случаев касательную можно построить и проще — подумайте, как это сделать.
Источник:
Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №897
к главе «Глава VIII. Окружность. Задачи повышенной трудности».
Построение касательной к двум окружностям
Задача в следующем: имеется 2 окружности разного диаметра, произвольно расположенные в пространстве, надо провести линию являющуюся касательной к обеим окружностям.
Метод последовательных приближений не предлагать.
П.С. Задача должна быть решена средствами акада в т.ч. и посредством лиспа.
__________________
АвтоКАД это не только электронный кульман,
Но и великий ГЕМОР
Просмотров: 70419
Регистрация: 25.12.2005
Сообщений: 13,627
В случае расположения окружностей в одной плоскости можно использовать для начальной и конечной точек отрезка объектную привязку «_tan» («кас»). Возможность проведения касательной к двум окружностям, произвольно расположенных в ПРОСТРАНСТВЕ, вызывает сомнение.
Регистрация: 22.08.2006
Сообщений: 91
1. Имеем две окружности: малая О1, большая О2.
2. Строим отрезок С, соединяющий центры О1,О2.
3. Точку пересечения С и О2 именуем Т1.
4. Откладываем на отрезке С от точки Т1 к центру О2 величину радиуса О1. Это точка Т2.
5. Из центра О2 строим окр. через Т2. Это окружность О3.
6. Из центра О1 проводим касательную K к О2. Точка пересечения К и О3 это Т3.
7. Прводим луч Л из центра О2 и точку Т3. Точка пересечения данного луча с О2 это Т4.
8. Копируем К в точку Т4. Последний примитив и будет касательной к двум окружностям.
проверка правильности построений:
1. Строим перпиндикуляры к отрезку С в его концах.
2. Измеряем углы:
— между С и К;
— между Л и перпиндикуляром к отр. С,
убеждаемся, что они равны.
Регистрация: 15.04.2005
Екатеринбург
Сообщений: 22
Поскольку окружность это плоская фигура, то и касательная должна быть в той же плоскости. т.о. провести касательную к окружностям в разных плоскостях невозможно.
Можно провести касательную к 2 шарам (ну или сферам)
все остальное как написал Profan
Регистрация: 10.08.2005
Ростов-на-Дону
Сообщений: 5,276
Сообщение от nmr
1. Имеем две окружности: малая О1, большая О2.
2. Строим отрезок С, соединяющий центры О1,О2.
3. Точку пересечения С и О2 именуем Т1.
4. Откладываем на отрезке С от точки Т1 к центру О2 величину радиуса О1. Это точка Т2.
5. Из центра О2 строим окр. через Т2. Это окружность О3.
6. Из центра О1 проводим касательную K к О2. Точка пересечения К и О3 это Т3.
7. Прводим луч Л из центра О2 и точку Т3. Точка пересечения данного луча с О2 это Т4.
8. Копируем К в точку Т4. Последний примитив и будет касательной к двум окружностям.
проверка правильности построений:
1. Строим перпиндикуляры к отрезку С в его концах.
2. Измеряем углы:
— между С и К;
— между Л и перпиндикуляром к отр. С,
убеждаемся, что они равны.
>nmr
Ну ты даешь 😛 См. что Profan написал, касательная строится в пару щелчков мыши.
Регистрация: 22.08.2006
Сообщений: 91
это чтоб жизнь медом не казалась
Регистрация: 01.11.2005
Samara-Gorodok
Сообщений: 389
>Asys
Ну ващето nmr все правильно написал (спасибо), но уж очень сложно.
Тему можно считать закрытой.
__________________
АвтоКАД это не только электронный кульман,
Но и великий ГЕМОР
Регистрация: 25.12.2005
Сообщений: 13,627
Вот тут сразу и видна разница между кульманом и AutoCAD’ом. На кульмане строить касательную к окружностям — гемор, а в AutoCAD’е — запросто.
Регистрация: 22.08.2006
Сообщений: 91
Регистрация: 21.08.2003
Сообщений: 2,259
Сообщение от Никита В.
Задача должна быть решена средствами акада в т.ч. и посредством лиспа.
Если только средствами Акада — то достаточно _TAN
Если лиспом — то все равно придется высчитывать ориентировочные точки касательных для _TAN. Иначе результаты могут быть непредсказуемы.
А в таком случае проще их (точки) сразу рассчитать лиспом математически. И обойтись без _TAN.
Регистрация: 18.10.2005
Сообщений: 61
Вернусь к касательным.
А есть ли возможность построить касательную от окружности просто в произвольно выбранной точке на этой окружности? Имею ввиду — без построения линии от этой точки к центру этой окружности.
И тот же вопрос о перпендикуляре.
Т.е., как построить перпендикуляр ИЗ произвольной точки уже начерченной прямой.
Конструктор, инженер-механик на пенсии
Регистрация: 03.10.2003
Новосибирск
Сообщений: 6,954
Сообщение от Pilot
Сообщение от Никита В.
Задача должна быть решена средствами акада в т.ч. и посредством лиспа.
Если только средствами Акада — то достаточно _TAN
Если лиспом — то все равно придется высчитывать ориентировочные точки касательных для _TAN. Иначе результаты могут быть непредсказуемы.
А в таком случае проще их (точки) сразу рассчитать лиспом математически. И обойтись без _TAN.
Так то оно так, токо вот беда у двух окружностей может быть четыре варианта построения касательных, как ни крути все равно придется выбирать, а если выбирать варианты самому то какой смысл делать лисп?
| Serge Krasnikov |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от Serge Krasnikov |
Дороги, Конструкции, Тоннели
Регистрация: 20.05.2004
Сообщений: 102
РОВНО ЗА 7 ЩЕЛЧКОВ МЫШИ.
1 Нажимаем чертить линию
2 При нажатом CTRL щелкаем правой кнопкой мыши
3 Щелкаем КАСАТЕЛЬНАЯ
4 Щелкаем на 1-й окружности
5 см щелчек 2
6 см щелчек 3
7 Щелкаем на 2-й окружности
Время 10 сек. максимум.
Владимир Егорьев
Сообщений: n/a
Сообщение от ВоваН
РОВНО ЗА 7 ЩЕЛЧКОВ МЫШИ.
1 Нажимаем чертить линию
2 При нажатом CTRL щелкаем правой кнопкой мыши
3 Щелкаем КАСАТЕЛЬНАЯ
4 Щелкаем на 1-й окружности
5 см щелчек 2
6 см щелчек 3
7 Щелкаем на 2-й окружности
Время 10 сек. максимум.
Тоже самое что и просто привязка к окружности (такая же точность).Этот вариант не проходит.
Если я правильно понял автора.
| Владимир Егорьев |
Регистрация: 18.10.2005
Сообщений: 61
Сообщение от Владимир Егорьев
. Этот вариант не проходит.
Если я правильно понял автора.
Именно так.
Нет никаких вторых точек и вторых окружностей.
Нужна просто касательная (неважна её длина и направление от точки на окружности).
В итоге, она предназначена как вспомогательная для определения углов между ней (касательной) и другими линиями.
И по перпендикуляру ОТ прямой — есть способ построения?
Регистрация: 29.10.2004
Сообщений: 16,313
Ещё касательную можно построить след. образом
Команда _xline , указать привязку Tangent (касательная), указать окружность, к которой строится касательная. Далее, обратите внимание, мы при помощи мышки можем перемещать эту прямую, которая обкатывается по окружности
Регистрация: 29.10.2004
Сообщений: 16,313
Так-же строится перпендикуляр
_xline, привязка Perpendicular (Перпендикуляр), выбираем прямой участок того, к чему хотим приперпендикуляриться, и , двигая мышкой, выбираем место расположения перепендикуляра
Регистрация: 18.10.2005
Сообщений: 61
Хмурый,
все мои потуги сделать касательную, ну ни к чему не приводят.
Заготовил две произвольные окружности, которые пересекаются между собой (соответственно, в двух точках).
Пытаюсь в одной из точек их пересечения, указанным Вами способом, построить касательную — сначала к одной из них.
1. Даю команду _xline.
2. Указываю привязку Tangent (касательная)
3. Указываю окружность, к которой строится касательная. Левый щелчёк. Просит точку.
4. Указываю интересующую меня — точку пересечения окружностей (или произвольную точку на окружности). Результат: «Specify through point: *Invalid*»
Аналогично, если указываю точку произвольно, вне (снаружи) окружности (т.е., произвольно щёлкаю левой — так же пишет: » Specify through point: *Invalid*»
А дальше — ничего никуда не обкатывается.
И ничего не строится.
С перпендикуляром всё нормально. Спасибо.