Как найти точку касания параболы и прямой
Учение-свет, а неучёных тьма
Парабола. Фокус. Директриса. У равнение параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Условие касания прямой и параболы.
Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.
Уравнение параболы ( рис.1 ) :
y 2 = 2 p x .
Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.
Пусть Р ( х 1 , у 1 ) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболе в данной точке имеет вид:
у 1 y = p ( x + х 1 ) .
Условие касания прямой y = m x + k и параболы y 2 = 2 p x :
2 m k = p .
Авторские права © 2004-2024 Д-р Юрий Беренгард.
Все права защищены.
Как найти точку касания параболы и прямой
Задача: Прямая является касательной к графику функции . Определить координаты точки касания.
Решение:
Замечание 1: Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .
Угловой коэффициент прямой равен -4. Вычислим производную функции и приравняем их.
Вывод: — абсциссы точек, в которых касательная к графику имеет угловой коэффициент, равный -4.
Известно, что касательная задана уравнением . Найдем координаты точек пересечений этой прямой и кубической параболы.
Совпадает точка , т.е. это и есть абсцисса точки касания. Вычислим ординату. Удобнее конечно подставлять в линейную функцию, чем в кубическую, результат то одинаков, ведь точка касания принадлежит как кривой так и касательной.
Ответ: точка качания имеет координаты
| Понравилась статья? |
Как найти точку касания параболы и прямой
Задача: Прямая параллельна касательной к графику функции . Определить абсциссу точки касания.
Решение:
Замечание 1: Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Известно, что касательная к графику функции параллельна прямой , т.е. угловые коэффициенты касательной и этой прямой равны между собой, т.е. .
Замечание 2 (геометрический смысл производной): Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .
Вычислим производную:
Выше выяснили, что угловой коэффициент равен -4, т.е. производная равна -4.
Вывод: — абсциссы точек, в которых касательная к графику параллельна прямой .
Ответ:
Проиллюстрируем эту задачу графиком, хотя при её решении график строить необходимости нет.
Касательная – линия красного цвета, точка касания , и она, конечно же, параллельна данной прямой.
| Понравилась статья? |
Прямая y=2x-9 является касательной к параболе y=x2+bx. Найдите абсциссу точки касания данных прямой и параболы, если b>0
Прямая y=2x-9 является касательной к параболе y=x2+bx. Найдите абсциссу точки касания данных прямой и параболы, если b>0.
Лучший ответ
Чтобы найти координаты точек пересечения двух любых линий, нужно решить систему из описывающих эти линии уравнений, т. е систему:
y=2x-9
y=x^2+bx
x^2+bx=2x-9,
x^2+(b-2)*x+9=0.
Квадратное уравнение в общем случае имеет два решения, значения х дадут абсциссы точек пересечения. У нас же прямая является касательной. Значит прямая и парабола имеют только одну общую точку. Это возможно только в том случае, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Это условие позволяет найти «b».
D=(b-2)^2-4*1*9=0,
b^2-4b-32=0,
b=8 или b=-4.
По условию b>0< значит b=8.
Подставляем это значение в квадратное уравнение:
x^2+6x+9=0,
x=(-3).
Остальные ответы
Проверил, при b=(-3), точка касания (х=3, y=-3)