Log n как считать

Почему в оценке сложности алгоритма log n пишется без основания?

Не знаю ответа.
Но я думаю, что основание может быть разным в зависимости от алгоритма.
Например в алгоритме поиска в бинарном дереве основание будет 2, потому что дерево бинарное.
Если бинарное дерево заменить каким-нибудь другим, где из узла могут выходить 3 потомка, то основание будет 3 и т.п.
В оценке не важны конкретные цифры, а важно то, что алгоритм работает с логарифмической сложностью, а не с N или N*N.

И кстати, я иногда встречаю в оценках указание основания логарифма.

Решения вопроса 2

O(n)-это очень примерная оценка сложности алгоритма. В частности она отбрасывает все константы. Из курса алгебры:
log_an = (log_bn)/(log_ba), log_ba-константа и её отбрасывают.
Как видно из этого выражения, основание логарифма в оценке O(n) не имеет смысла.
Однако чаще всего основание-2.

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 11 Комментировать

Инженер-системотехник, программист, админ, ТПУ.

Cложность алгоритмов это log N, как Вы пишете без указания основания. Но принято считать, что в таком случае имеется в виду логарифм по основанию 2. В некоторых кругах, но не у нас конечно же, для такого логарифма есть обозначение — lb.

Логарифм 64 по основанию 2 равен 6 (для всех поясню: 2 в 6 степени=64, «логарифм это по сути анти-возведение-в-степень», как мог проще объяснить, так и объяснил)

Log n как считать

Алгоритмы чрезвычайно важны в программировании, потому что вся компьютерная модель функционирует, когда несколько алгоритмов работают вместе. Выбор эффективного решения может быть трудным. Существует различный порядок временной сложности для определения алгоритма, из которых некоторые являются наиболее эффективными, а некоторые — наихудшими.

В блоге студии web-разработки YuSMP Group подробно рассмотрим эту непростую тему.

Что такое анализ сложности

Как определить, эффективна написанная вами программа или нет? Это измеряется сложностью.

Временная сложность алгоритма

В информатике существуют различные задачи и несколько способов решения с использованием разных алгоритмов. Они могут иметь разные подходы, некоторые из них могут быть слишком трудными для реализации, в то время как другие могут решать проблему намного проще. Трудно выбрать подходящий и эффективный вариант из всего имеющегося. Чтобы упростить выбор лучшего алгоритма, важен расчет трудоемкости и времени выполнения. Для этого проводится анализ, который определяет асимптотическую сложность.

Есть три случая, со следующими обозначениями анализа:

• Обозначение Big-oh (O) — верхняя граница времени выполнения, т. е. наихудший сценарий.
• Обозначение Big-omega (Ω) — наилучшее время выполнения.
• Обозначение Big-Theta (Θ) — среднее значение.

Как измерить сложность алгоритмов сортировки

• Константа: если алгоритм выполняется одинаковое количество раз каждый раз, независимо от размера ввода. Говорят, что он демонстрирует постоянную временную сложность.
• Линейный: если время выполнения линейно пропорционально размеру входных данных, то говорят, что алгоритм демонстрирует линейную временную сложность.
• Экспоненциальный: если время выполнения зависит от входного значения, возведенного в степень, то говорят, что алгоритм демонстрирует экспоненциальную временную сложность.
• Логарифмический: когда время выполнения увеличивается очень медленно по сравнению с увеличением размера входных данных, т. е. логарифмически по размеру входных данных, говорят, что алгоритм демонстрирует логарифмическую временную сложность.

Для оценки алгоритмов используется о нотация (Большое-О).

BIG-O	Сложность	Пример
O (1)	Константная	Поиск по ключу в хэш-таблице; арифметическая операция с числом
O (log2 (n))	Логарифмическая	Бинарный поиск, сложность, вставка сбалансированное бинарное дерево
O (n)	Линейная	Поиск перебором; среднеквадратическое отклонение
O (n*log2(n))	Квазилинейное	Самые быстрые алгоритмы сортировки
O (n 2 )	Квадратичная	Простые алгоритмы сортировки; перемножение n-значных чисел «столбиком»
O(n x )	Полиномиальная	LU-разложение матрицы; мощность графа
O (c n )	Экспоненциальная	Задача коммивояжёра (динамическое программирование)
O (n!)	Факториальная	Задача коммивояжёра перебором

Что такое логарифм

Степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число, называется логарифмом этого числа по соответствующему основанию.

Для нахождения логарифма необходимо знать два фактора: основание и число.

Примеры:

Логарифм 8 по основанию 2 = log 2 (8) = 3
Объяснение: 2 3 = 8

Поскольку 2 нужно возвести в степень 3, чтобы получить 8, таким образом, логарифм 8 по основанию 2 равен 3.

Логарифм 81 по основанию 9 = log 9 (81) = 2,
Объяснение: 9 2 = 81

Поскольку 9 нужно возвести в степень 2, чтобы получить 81, Таким образом, логарифм 81 по основанию 9 равен 2.

Примечание. Экспоненциальная функция является полной противоположностью логарифмической функции. Когда значение многократно умножается, говорят, что оно растет экспоненциально, тогда как когда значение многократно делится, говорят, что оно растет логарифмически.

Что такое О(log n)

O(log N) означает, что время растет линейно, а N растет экспоненциально. Таким образом, если для вычисления 10 элементов требуется 1 секунда, для 100 нужно будет 2 секунды, для 1000 элементов — 3 и так далее.

Бинарный поиск — как раз пример алгоритма. Его структура данных — отсортированный массив из n элементов (что означает n — количество).

Другой пример — быстрая сортировка, когда каждый раз мы делим массив на две части и каждый раз требуется O(N)время, чтобы найти опорный элемент. Следовательно, это N O(log N).

Часто задаваемые вопросы (FAQ) о логарифмической временной сложности:

1) Почему логарифмическая сложность не нуждается в основании?

Логарифмы по любому основанию, т.е. 2, 10, е, можно преобразовать в любое другое основание с добавлением константы, поэтому основание логарифма не имеет значения.

2) Как логарифмы используются в реальной жизни?

В сценариях реальной жизни, таких как измерение кислотного, основного или нейтрального поведения вещества, которое описывает химическое свойство с точки зрения логарифма значения pH.

3) Является ли логарифм повторным делением?

Логарифм — это повторяющееся деление по основанию b до тех пор, пока не будет достигнуто 1. Логарифм — это количество делений на b. Повторное деление не всегда дает ровно 1.

4) В чем разница между логарифмом и алгоритмом?

Алгоритм это пошаговый процесс решения определенной проблемы, тогда как логарифм — показатель степени.

5) Почему бинарный поиск логарифмический?

Двоичный поиск — это метод поиска по принципу «разделяй и властвуй», его ключевая идея — сократить пространство поиска до половины после каждого сравнения для поиска ключа. Таким образом, пространство поиска многократно сокращается вдвое, а сложность становится логарифмической.

6) Что быстрее N или log N?

log N быстрее, чем N, поскольку значение log N меньше, чем N.

7) Что быстрее O(1) или O(log N)?

O (1) быстрее, чем O (log N), поскольку O (1) самая быстрая из возможных.

Вывод

Из приведенного выше обсуждения мы делаем вывод, что анализ очень важен для выбора подходящего алгоритма, а логарифмический порядок является одним из оптимальных порядков сложности по времени.

Эти и другие технологии веб-разработки наши специалисты используют в работе над проектами; примеры можно посмотреть в разделе кейсы YuSMP Group. Если у вас есть идея приложения или другой системы, в реализации помогут веб-услуги и разработка в YuSMP Group. Оставили контакты, чтобы вы могли связаться любым удобным способом.

Оценка сложности алгоритмов, или Что такое О(log n)

Если вы всё ещё не понимаете, что такое вычислительная сложность алгоритмов, и ждете простое и понятное объяснение, — эта статья для вас.

Наверняка вы не раз сталкивались с обозначениями вроде O(log n) или слышали фразы типа «логарифмическая вычислительная сложность» в адрес каких-либо алгоритмов. И если вы хотите стать хорошим программистом, но так и не понимаете, что это значит, — данная статья для вас.

Оценка сложности

Сложность алгоритмов обычно оценивают по времени выполнения или по используемой памяти. В обоих случаях сложность зависит от размеров входных данных: массив из 100 элементов будет обработан быстрее, чем аналогичный из 1000. При этом точное время мало кого интересует: оно зависит от процессора, типа данных, языка программирования и множества других параметров. Важна лишь асимптотическая сложность, т. е. сложность при стремлении размера входных данных к бесконечности.

Допустим, некоторому алгоритму нужно выполнить 4n3 + 7n условных операций, чтобы обработать n элементов входных данных. При увеличении n на итоговое время работы будет значительно больше влиять возведение n в куб, чем умножение его на 4 или же прибавление 7n . Тогда говорят, что временная сложность этого алгоритма равна О(n3) , т. е. зависит от размера входных данных кубически.

Использование заглавной буквы О (или так называемая О-нотация) пришло из математики, где её применяют для сравнения асимптотического поведения функций. Формально O(f(n)) означает, что время работы алгоритма (или объём занимаемой памяти) растёт в зависимости от объёма входных данных не быстрее, чем некоторая константа, умноженная на f(n) .

Примеры

O(n) — линейная сложность

Такой сложностью обладает, например, алгоритм поиска наибольшего элемента в не отсортированном массиве. Нам придётся пройтись по всем n элементам массива, чтобы понять, какой из них максимальный.

O(log n) — логарифмическая сложность

Простейший пример — бинарный поиск. Если массив отсортирован, мы можем проверить, есть ли в нём какое-то конкретное значение, методом деления пополам. Проверим средний элемент, если он больше искомого, то отбросим вторую половину массива — там его точно нет. Если же меньше, то наоборот — отбросим начальную половину. И так будем продолжать делить пополам, в итоге проверим log n элементов.

O(n2) — квадратичная сложность

Такую сложность имеет, например, алгоритм сортировки вставками. В канонической реализации он представляет из себя два вложенных цикла: один, чтобы проходить по всему массиву, а второй, чтобы находить место очередному элементу в уже отсортированной части. Таким образом, количество операций будет зависеть от размера массива как n * n , т. е. n2 .

Бывают и другие оценки по сложности, но все они основаны на том же принципе.

Также случается, что время работы алгоритма вообще не зависит от размера входных данных. Тогда сложность обозначают как O(1) . Например, для определения значения третьего элемента массива не нужно ни запоминать элементы, ни проходить по ним сколько-то раз. Всегда нужно просто дождаться в потоке входных данных третий элемент и это будет результатом, на вычисление которого для любого количества данных нужно одно и то же время.

Аналогично проводят оценку и по памяти, когда это важно. Однако алгоритмы могут использовать значительно больше памяти при увеличении размера входных данных, чем другие, но зато работать быстрее. И наоборот. Это помогает выбирать оптимальные пути решения задач исходя из текущих условий и требований.

Наглядно

Время выполнения алгоритма с определённой сложностью в зависимости от размера входных данных при скорости 106 операций в секунду:

Если хочется подробнее и сложнее, заглядывайте в нашу статью из серии «Алгоритмы и структуры данных для начинающих».

Оценка сложности алгоритмов

Не так давно мне предложили вести курс основ теории алгоритмов в одном московском лицее. Я, конечно, с удовольствием согласился. В понедельник была первая лекция на которой я постарался объяснить ребятам методы оценки сложности алгоритмов. Я думаю, что некоторым читателям Хабра эта информация тоже может оказаться полезной, или по крайней мере интересной.
Существует несколько способов измерения сложности алгоритма. Программисты обычно сосредотачивают внимание на скорости алгоритма, но не менее важны и другие показатели – требования к объёму памяти, свободному месте на диске. Использование быстрого алгоритма не приведёт к ожидаемым результатам, если для его работы понадобится больше памяти, чем есть у компьютера.

Память или время

Многие алгоритмы предлагают выбор между объёмом памяти и скоростью. Задачу можно решить быстро, использую большой объём памяти, или медленнее, занимая меньший объём.
Типичным примером в данном случае служит алгоритм поиска кратчайшего пути. Представив карту города в виде сети, можно написать алгоритм для определения кратчайшего расстояния между двумя любыми точками этой сети. Чтобы не вычислять эти расстояния всякий раз, когда они нам нужны, мы можем вывести кратчайшие расстояния между всеми точками и сохранить результаты в таблице. Когда нам понадобится узнать кратчайшее расстояние между двумя заданными точками, мы можем просто взять готовое расстояние из таблицы.
Результат будет получен мгновенно, но это потребует огромного объёма памяти. Карта большого города может содержать десятки тысяч точек. Тогда, описанная выше таблица, должна содержать более 10 млрд. ячеек. Т.е. для того, чтобы повысить быстродействие алгоритма, необходимо использовать дополнительные 10 Гб памяти.
Из этой зависимости проистекает идея объёмно-временной сложности. При таком подходе алгоритм оценивается, как с точки зрении скорости выполнения, так и с точки зрения потреблённой памяти.
Мы будем уделять основное внимание временной сложности, но, тем не менее, обязательно будем оговаривать и объём потребляемой памяти.

Оценка порядка

При сравнении различных алгоритмов важно знать, как их сложность зависит от объёма входных данных. Допустим, при сортировке одним методом обработка тысячи чисел занимает 1 с., а обработка миллиона чисел – 10 с., при использовании другого алгоритма может потребоваться 2 с. и 5 с. соответственно. В таких условиях нельзя однозначно сказать, какой алгоритм лучше.
В общем случае сложность алгоритма можно оценить по порядку величины. Алгоритм имеет сложность O(f(n)), если при увеличении размерности входных данных N, время выполнения алгоритма возрастает с той же скоростью, что и функция f(N). Рассмотрим код, который для матрицы A[NxN] находит максимальный элемент в каждой строке.
for i:=1 to N do
begin
max:=A[i,1];
for j:=1 to N do
begin
if A[i,j]>max then
max:=A[i,j]
end;
writeln(max);
end;
В этом алгоритме переменная i меняется от 1 до N. При каждом изменении i, переменная j тоже меняется от 1 до N. Во время каждой из N итераций внешнего цикла, внутренний цикл тоже выполняется N раз. Общее количество итераций внутреннего цикла равно N*N. Это определяет сложность алгоритма O(N^2).
Оценивая порядок сложности алгоритма, необходимо использовать только ту часть, которая возрастает быстрее всего. Предположим, что рабочий цикл описывается выражением N^3+N. В таком случае его сложность будет равна O(N^3). Рассмотрение быстро растущей части функции позволяет оценить поведение алгоритма при увеличении N. Например, при N=100, то разница между N^3+N=1000100 и N=1000000 равна всего лишь 100, что составляет 0,01%.
При вычислении O можно не учитывать постоянные множители в выражениях. Алгоритм с рабочим шагом 3N^3 рассматривается, как O(N^3). Это делает зависимость отношения O(N) от изменения размера задачи более очевидной.

Определение сложности

Наиболее сложными частями программы обычно является выполнение циклов и вызов процедур. В предыдущем примере весь алгоритм выполнен с помощью двух циклов.
Если одна процедура вызывает другую, то необходимо более тщательно оценить сложность последней. Если в ней выполняется определённое число инструкций (например, вывод на печать), то на оценку сложности это практически не влияет. Если же в вызываемой процедуре выполняется O(N) шагов, то функция может значительно усложнить алгоритм. Если же процедура вызывается внутри цикла, то влияние может быть намного больше.
В качестве примера рассмотрим две процедуры: Slow со сложностью O(N^3) и Fast со сложностью O(N^2).
procedure Slow;
var
i,j,k: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
for k:=1 to N do

end;
procedure Fast;
var
i,j: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
Slow;
end;
procedure Both;
begin
Fast;
end;
Если во внутренних циклах процедуры Fast происходит вызов процедуры Slow, то сложности процедур перемножаются. В данном случае сложность алгоритма составляет O(N^2 )*O(N^3 )=O(N^5).
Если же основная программа вызывает процедуры по очереди, то их сложности складываются: O(N^2 )+O(N^3 )=O(N^3). Следующий фрагмент имеет именно такую сложность:
procedure Slow;
var
i,j,k: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
for k:=1 to N do

end;
procedure Fast;
var
i,j: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do

end;
procedure Both;
begin
Fast;
Slow;
end;

Сложность рекурсивных алгоритмов

Простая рекурсия

Напомним, что рекурсивными процедурами называются процедуры, которые вызывают сами себя. Их сложность определить довольно тяжело. Сложность этих алгоритмов зависит не только от сложности внутренних циклов, но и от количества итераций рекурсии. Рекурсивная процедура может выглядеть достаточно простой, но она может серьёзно усложнить программу, многократно вызывая себя.
Рассмотрим рекурсивную реализацию вычисления факториала:
function Factorial(n: Word): integer;
begin
if n > 1 then
Factorial:=n*Factorial(n-1)
else
Factorial:=1;
end;
Эта процедура выполняется N раз, таким образом, вычислительная сложность этого алгоритма равна O(N).

Многократная рекурсия

Рекурсивный алгоритм, который вызывает себя несколько раз, называется многократной рекурсией. Такие процедуры гораздо сложнее анализировать, кроме того, они могут сделать алгоритм гораздо сложнее.
Рассмотрим такую процедуру:
procedure DoubleRecursive(N: integer);
begin
if N>0 then
begin
DoubleRecursive(N-1);
DoubleRecursive(N-1);
end;
end;
Поскольку процедура вызывается дважды, можно было бы предположить, что её рабочий цикл будет равен O(2N)=O(N). Но на самом деле ситуация гораздо сложнее. Если внимательно исследовать этот алгоритм, то станет очевидно, что его сложность равна O(2^(N+1)-1)=O(2^N). Всегда надо помнить, что анализ сложности рекурсивных алгоритмов весьма нетривиальная задача.

Объёмная сложность рекурсивных алгоритмов

Для всех рекурсивных алгоритмов очень важно понятие объёмной сложности. При каждом вызове процедура запрашивает небольшой объём памяти, но этот объём может значительно увеличиваться в процессе рекурсивных вызовов. По этой причине всегда необходимо проводить хотя бы поверхностный анализ объёмной сложности рекурсивных процедур.

Средний и наихудший случай

Оценка сложности алгоритма до порядка является верхней границей сложности алгоритмов. Если программа имеет большой порядок сложности, это вовсе не означает, что алгоритм будет выполняться действительно долго. На некоторых наборах данных выполнение алгоритма занимает намного меньше времени, чем можно предположить на основе их сложности. Например, рассмотрим код, который ищет заданный элемент в векторе A.
function Locate(data: integer): integer;
var
i: integer;
fl: boolean;
begin
fl:=false; i:=1;
while (not fl) and (i <=N) do
begin
if A[i]=data then
fl:=true
else
i:=i+1;
end;
if not fl then
i:=0;
Locate:=I;
end;
Если искомый элемент находится в конце списка, то программе придётся выполнить N шагов. В таком случае сложность алгоритма составит O(N). В этом наихудшем случае время работы алгоритма будем максимальным.
С другой стороны, искомый элемент может находится в списке на первой позиции. Алгоритму придётся сделать всего один шаг. Такой случай называется наилучшим и его сложность можно оценить, как O(1).
Оба эти случая маловероятны. Нас больше всего интересует ожидаемый вариант. Если элемента списка изначально беспорядочно смешаны, то искомый элемент может оказаться в любом месте списка. В среднем потребуется сделать N/2 сравнений, чтобы найти требуемый элемент. Значит сложность этого алгоритма в среднем составляет O(N/2)=O(N).
В данном случае средняя и ожидаемая сложность совпадают, но для многих алгоритмов наихудший случай сильно отличается от ожидаемого. Например, алгоритм быстрой сортировки в наихудшем случае имеет сложность порядка O(N^2), в то время как ожидаемое поведение описывается оценкой O(N*log(N)), что много быстрее.

Общие функции оценки сложности

Сейчас мы перечислим некоторые функции, которые чаще всего используются для вычисления сложности. Функции перечислены в порядке возрастания сложности. Чем выше в этом списке находится функция, тем быстрее будет выполняться алгоритм с такой оценкой.
1. C – константа
2. log(log(N))
3. log(N)
4. N^C, 0 5. N
6. N*log(N)
7. N^C, C>1
8. C^N, C>1
9. N!
Если мы хотим оценить сложность алгоритма, уравнение сложности которого содержит несколько этих функций, то уравнение можно сократить до функции, расположенной ниже в таблице. Например, O(log(N)+N!)=O(N!).
Если алгоритм вызывается редко и для небольших объёмов данных, то приемлемой можно считать сложность O(N^2), если же алгоритм работает в реальном времени, то не всегда достаточно производительности O(N).
Обычно алгоритмы со сложностью N*log(N) работают с хорошей скоростью. Алгоритмы со сложностью N^C можно использовать только при небольших значениях C. Вычислительная сложность алгоритмов, порядок которых определяется функциями C^N и N! очень велика, поэтому такие алгоритмы могут использоваться только для обработки небольшого объёма данных.
В заключение приведём таблицу, которая показывает, как долго компьютер, осуществляющий миллион операций в секунду, будет выполнять некоторые медленные алгоритмы.