Как проверить функцию на дифференцируемость

Математический анализ Примеры

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Умножим на .

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .

Первая производная по равна .

Выясним, является ли производная непрерывной на .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

Обозначение построения множества:

анализ — Как исследовать на дифференцируемость функцию?

В ответах сказано, что она дифференцируема всюду. Что нужно сделать, чтобы это понять?

задан 17 Янв ’12 11:40

2 ответа

Для начала сосчитаем предел $$\lim_\frac < e^>>=0 $$ Например, заменой x=-1/z, затем правило Лопиталя.$$$$Дифференцируемость функции следует проверить только в точке (стыковки графиков) x=0. Находим f(0)=0.Вспоминаем определение производной в точке $%x_0=0$% Имеем $$f'(x_0)= \lim_ \frac $$. Докажем, что $%f'(0)=0$%

Значит, надо доказать равенства $$f'(0)= \lim_ \frac >>-0> = \lim_ \frac =0$$. Одно равенство очевидно, $$\lim_ \frac =0$$. А первый предел нами уже рассмотрен. ЧТД.

отвечен 17 Янв ’12 14:23

Думаю, что надо представлять график функции для начала. Я представляю его как-то так:

Графики построены с помощью приложения Маткад. Из условия следует, что до x=0 на графике — красная линия, при x>0 график функции — синия штрих-пунктирная линия. теперь про дифференцируемость: если нет разрывов, т.е. график не уходит в бесконечность, и нет никаких скачков (резкого увеличения значения функции), то функция дифференцируема, ну это в простом случае (как ваш, например). Более сложные ситуации может быть кто-то изложит ещё.

отвечен 17 Янв ’12 13:29

@sangol Картинка вставляется в сообщение путем нажатия на соответствующую кнопку в редакторе.

(17 Янв ’12 13:45) ХэшКод

хорошо, замучал я Вас наверное своими картинками)) третью уже вставляете)) попробую в следующий раз сам сделать

(17 Янв ’12 13:49) sangol

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

задан
17 Янв ’12 11:40

показан
34921 раз

обновлен
17 Янв ’12 14:25

Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства

Определение дифференцируемой функции одной переменной в точке. Важность понятия дифференцируемости для функций, зависящих от многих переменных. Доказательство теорем: об эквивалентности дифференцируемости и существованием производной; о непрерывности дифференцируемой функции.

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемая функция в точке Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки .
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от и о-малого по сравнению с :
(1) .
Здесь – действительная величина, зависящая от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при . То есть
, где .

Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?

Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y ), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке мы можем составить бесконечное множество производных по различным направлением. Кроме этого, по одним направлениям производные могут существовать, а по другим – нет.

Но мы хотим ввести новый класс функций, с которыми проще работать методами бесконечно малых величин. Самыми простыми являются линейные функции. Поэтому желательно выделить такой класс функций, приращения которых можно свести к линейным операциям. Это можно сделать, если потребовать, чтобы приращение функции было линейной функцией от приращений ее аргументов плюс о-малое по сравнению с этими приращениями. Такие функции называются дифференцируемыми. Например, для функции двух переменных можно записать так:
,
где – действительные величины, не зависящие от ;
– норма вектора .

Дифференцируемая функция многих переменных в точке Пусть функция многих переменных определена в некоторой окрестности точки .
Функция f называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращений ее аргументов и о-малого по сравнению с нормой приращений аргументов:
.
Здесь – действительные величины, зависящие от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при ;
.

Свойства дифференцируемой функции

Теорема о существовании производной дифференцируемой функции

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.
Доказательство

Таким образом, в случае функции одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Заметим, что обратное неверно. Если функция непрерывна в точке, то она может не быть дифференцируемой в этой точке. Так функция непрерывна для всех x , но не имеет производной при . См пример

Лемма об односторонних производных

Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны:
.
При этом
.
Доказательство

Доказательства теорем

Теорема о существовании производной дифференцируемой функции

Все свойства Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.

Доказательство

1) Пусть функция дифференцируема в точке , то есть выполняется (1):
.
Разделим на и выполним переход :
;
.
Здесь, согласно свойству о-малого, . Отсюда получаем, что существует конечный предел
,
который является производной функции в точке : .

2) Пусть в точке существует производная . Это означает, что существует предел:
.
Воспользуемся свойством бесконечно малых функций. согласно которому, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы функция имела вид: , где – бесконечно малая функция при .

В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Все свойства Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Используем определение непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, функция f непрерывна в , если
1) определена в некоторой окрестности ;
2) существует предел при , и он равен :
.

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда согласно определению ⇑, она определена в некоторой окрестности точки . Пункт 1) выполнен.

Докажем, что выполняется пункт 2) . Поскольку дифференцируема в точке , то выполняется (1):
.
Выполняем предельный переход :
;
;
;
.
Сделаем подстановку . Тогда при . Последнее уравнение принимает вид:
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-11-2021 Изменено: 25-05-2022

Как проверить функцию на дифференцируемость

Область определения, частные производные. Градиент и производная по направлению. Экстремумы. Касательная плоскость и нормаль.

• Отправить тему по email
• Версия для печати

3 сообщения • Страница 1 из 1
Adriana Сообщения: 24 Зарегистрирован: 15 дек 2020, 17:29

Исследовать на дифференцируемость функцию

Сообщение Adriana » 28 май 2021, 19:27

Добрый вечер. Подскажите, пожалуйста, как действовать.
При всех \(\left ( x,y \right ) \in R^\) исследовать на дифференцируемость функцию
\(f\left ( x,y \right ) = \left\
& \ln\left ( 1+x^ + y^\right )\cos \frac\; \; \text \; \; \; \left ( x,y \right )\neq\left ( 0,0 \right );\\
& 0 \; \;\text \; \; \left ( x,y \right )= \left ( 0,0 \right ).
\end\right.\)

Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать на дифференцируемость функцию

Сообщение Алексей » 29 май 2021, 11:35

Насколько я понимаю, тут вопрос именно в дифференцировании в точке \((0;0)\) — эту точку нужно рассмотреть отдельно. В остальных точках частные производные непрерывны, поэтому функция дифференцируема.

Функция будет дифференцируемой в точке \((0;0)\) , если для её приращения в этой точке выполняется такое равенство:

\(
\Delta f(0;0)=\frac<\partial><\partial>(0;0)\cdot\Delta+\frac<\partial><\partial>(0;0)\cdot\Delta+o(\rho).
\)

Что касается частных производных, то найти их несложно. Для этого удобно использовать такую формулу:

\(
\frac<\partial><\partial>(x_0;y_0)
=\left. \frac<\partial><\partial>f(x;y_0)\right|_
\)

Формула для \(\frac<\partial><\partial>(x_0;y_0)\) записывается аналогично. Таким образом, в точке \((0;0)\) будем иметь:

\(
\frac<\partial><\partial>(0;0)
=\left. \frac<\partial><\partial>f(x;0)\right|_
\)

В данном случае \(f(x,0)=\ln\left(1+x^2\right)\cos\frac\) при \(x\neq\) и \(f(x,0)=0\) при \(x=0\) . Таким образом, нужно найти производную функции одной переменной в точке \(x=0\) :

\(u(x)=\left\&\ln\left(1+x^2\right)\cos\frac;\;x\neq;\\& 0;\;x=0. \end\right.\)Для отыскания \(u'(0)\) можно использовать определение производной:

\(
u'(0)
=\lim_\to>\frac)-u(0)>>
=\lim_\to>\frac<\ln\left(1+\Delta^2\right)\cos\frac^2>>>
\)

Так как функция \(\frac<\ln\left(1+\Delta^2\right)>>\) является бесконечно малой (докажите это самостоятельно, например, с помощью эквивалентностей), а функция \(\cos\frac^2>\) — ограниченная, то их произведение — есть функция бесконечно малая, т.е. \(u'(0)=0\) . Итак, \(\frac<\partial><\partial>(0;0)=0\) .

Аналогично проверьте, что \(\frac<\partial><\partial>(0;0)=0\) и запишите первую формулу для \(\Delta f(0;0)\) с учётом полученных результатов.

«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»