Умножение целых чисел: правила, примеры
В этом материале мы покажем, как правильно выполнять умножение целых чисел. Начнем, как всегда, с основных понятий и обозначений и выясним, какой смысл вкладывается в умножение двух целых чисел. Затем сформулируем правила, по которым перемножают целые положительные и целые отрицательные числа, а также числа, имеющие разные знаки. Как всегда, нашу мысль будем пояснять наглядными примерами решений задач. Далее рассмотрим те случаи, когда один из множителей нулевой или равен единице, посмотрим, как можно проверить верность результата, полученного после умножения, а в конце объясним, как правильно перемножать 3 , 4 и большее количество целых чисел.
Основные определения при умножении целых чисел
При умножении целых чисел используются те же термины и знаки, о которых мы говорили ранее в статье об умножении натуральных чисел. У нас есть два множителя, которые являются целыми числами, результат, называемый произведением, и знак умножения в виде точки, звездочки или знака » x » (в целях единообразия в дальнейшем будем использовать точку).
Если обозначить множители и произведение буквами a , b и c , то действие умножения можем записать в виде равенства a · b = c . Само числовое выражение a · b тоже называется произведением. Произведение двух целых чисел также является целым числом.
В чем состоит смысл умножения целых чисел?
До этого мы уже объясняли смысл умножения на примере натуральных чисел. Произведение натуральных чисел a и b представляет собой сумму b слагаемых, каждое из которых равно a .
Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому смысл действия умножения для них точно такой же. В буквенном виде его также можно представить как
(значения a и b – целые положительные числа).
В принципе, этот смысл распространяется на все произведения, где одно слагаемое целое и положительное. Второе при этом также должно быть целым, однако оно может быть отрицательным или даже равным нулю. Так, схема умножения числа — 3 на 5 будет выглядеть как ( − 3 ) · 5 = ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) .
Если вторым множителем является единица, то результат умножения – это сумма одного слагаемого, которое равно другому множителю. Это можно записать как a · 1 = a . Результат умножения целого числа на единицу есть само это число.
А как быть в случае, если одно из множителей нулевое? Получается, что в ответе будет сумма из 0 слагаемых. Очевидно, что это будет 0 . Запишем, что a · 0 = 0 для любого целого a . Умножение целого числа на ноль дает в результате ноль.
В случае с отрицательными числами общий смысл действия умножения сформулировать достаточно сложно. Примем это действие как данность и подчеркнем, что правила умножения в таком случае должны сохранять справедливыми свойства умножения для целых положительных чисел. В частности, такое числовое выражение должно обладать переместительным и сочетательным свойствами.
Основные правила, применяемые при умножении целых чисел
Можно выполнить умножение исходя из того, что оно по сути представляет собой сложение одинаковых слагаемых. Но, как мы уже отмечали, это долгий и трудный процесс, если таких слагаемых у нас много. А если одним из множителей является отрицательное число, то воспользоваться этим способом мы не можем. Поэтому нам надо вывести особые правила для умножения целых чисел. Сформулируем и запишем их.
Как умножать одно целое положительное число на другое
Целые положительные числа относятся к натуральным, поэтому правила умножения натуральных чисел распространяются и на них. В итоге мы, разумеется, получим целый положительный результат, т.е. натуральное число. Разберем конкретные примеры.
Как правильно перемножить целые числа, имеющие разные знаки
Для того чтобы вывести правило для такого случая, приведем пример.
Итак, нам надо вычислить произведение числа — 5 на 3 . Вспомним смысл умножения и запишем: ( − 5 ) · 3 = ( − 5 ) + ( − 5 ) + ( − 5 ) = − 15 . Если учесть переместительное свойство, то должно быть верным и ( − 5 ) · 3 = 3 · ( − 5 ) . Очевидно, что модуль числа, полученного в результате, соответствует произведению данных множителей. Таким образом, произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.
Как умножить целое число на единицу
Мы уже упоминали, что если мы умножим на единицу любое целое число, то результат будет равен этому же числу, то есть a · 1 = a . Так как числовое выражение с умножением обладает переместительным свойством, то a · 1 = 1 · a тоже должно быть верным. Получается, что 1 · a = a . Выведем основное правило и запомним его:
Как перемножить три целых числа и более
Зная, что числовое выражение с умножением имеет сочетательное свойство, мы можем точно подсчитать произведение 3 , 4 , 5 и большего количества множителей. А благодаря остальным свойствам можно сказать, что результат произведения не будет определяться положением множителей в примере и способом расстановки скобок. Ранее мы уже приводили обоснования этих утверждений в случае с натуральными числами. Для примера с целыми множителями эти правила работают таким же образом.
Посмотрим на конкретный пример.
Найдите произведение 5 -ти множителей: 5 , − 12 , 1 , − 2 и 15 .
Решение
Заменим соседние множители их произведением и запишем, что
5 · ( − 12 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · ( − 2 ) · 15 = 120 · 15 = 1 800
С расстановкой скобок можно записать так: ( ( ( 5 · ( − 12 ) ) · 1 ) · ( − 2 ) ) · 15 . Это позволит нам делать вычисления быстрее и проще.
Можно было переставить множители и по-другому: 1 · 5 · ( − 12 ) · ( − 2 ) · 15 , в таком случае скобки надо было расставить так: ( ( 1 · 5 ) · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( 5 · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( − 60 ) · ( − 30 ) = 1 800 .
Мы видим, что результат будет одинаков вне зависимости от метода расстановки скобок и последовательности вычислений.
Ответ: 1800 .
Если хоть один из множителей в примере был бы нулевым, то подсчет не имел бы смысла. Мы сразу могли бы сказать, что результат будет равен 0 . Это не зависит от значения других множителей, они могли бы быть любыми. Обратное утверждение также будет справедливо: если произведение нескольких множителей равно 0 , то один из этих множителей будет нулевым.
Умножение и деление целых чисел
Ниже представлена схема (правило знаков при умножении):
Из данных примеров следует, что в результате умножения двух чисел с разными знаками получится отрицательное число, а результате умножения двух чисел с одинаковыми знаками – положительное.
При умножении любого числа на -1 получится число противоположное данному.
Деление
При делении одного целого числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго. Перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные.
При делении используется то же правило, что и для умножения. Ниже представлена схема (правило знаков при делении):
Из данных примеров следует, что частное двух чисел с разными знаками – отрицательное число, а частное двух чисел с одинаковыми знаками – положительное число.
При делении любого числа на -1 получится число противоположное данному.
Возведение в степень
При возведении в степень целого числа в результате может получится как положительное число, так и отрицательное.
Степень положительного числа всегда будет положительным числом.
4 3 = 4 · 4 · 4 = 64.
Степень отрицательного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.
Нечётный показатель степени:
| (-3) 3 = | (-3) · (-3) | · (-3) = |
| + |
Чётный показатель степени:
| (-4) 4 = | (-4) · (-4) | · | (-4) · (-4) | = |
| + | + |
следовательно, степень отрицательного числа положительна, если показатель степени чётный, и отрицательна, если показатель степени нечётный.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Урок 4. Умножение и деление целых отрицательных и положительных чисел
Prostobank.ua рассказывает правила и свойства умножения и деления чисел с разными знаками, положительных, отрицательных чисел. На этом уроке математики вы научитесь правильно делить целые числа.
- Подбор кредитов:
ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ // РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Умножение целых чисел
Правило умножения целых чисел звучит так:
Чтобы умножить целые числа, нужно перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки или минус, если сомножители имеют разные знаки.
-4 ⋅ 5 = — (|-4|⋅|5|) = — (4 ⋅ 5) = -20
-4 ⋅ (-5) = |-4|⋅|-5|= 4 ⋅ 5 = 20
4 ⋅ 5 = |4|⋅|5|= 4 ⋅ 5 = 20
4 ⋅ (-5) = — (|4|⋅|-5|) = — (4 ⋅ 5) = -20
Умножение чисел с разными знаками
Чтобы умножить числа с разными знаками, нужно перемножить модули множителей и перед произведением поставить знак минус.
Например, 8 ⋅ (-7) = — (|8|⋅|-7|) = — (8 ⋅ 7) = -56
Как умножать отрицательные числа?
Чтобы умножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс.
Например, -9 ⋅ (-10) = |-9|⋅|-10|= 9 ⋅ 10 = 90
Как умножать положительные числа?
О разных методах и правилах умножения натуральных чисел читайте в нашем уроке: Умножение натуральных чисел. Умножение в столбик. Законы, правила и примеры
Умножение нескольких целых чисел
Как определить знак произведения, если множителей больше двух и они имеют разные знаки? Для нахождения произведения нескольких множителей целых чисел нужно перемножить модули множителей и перед результатом поставить знак:
– если количество отрицательных сомножителей четное число, то произведение будет положительным, перед результатом ставим знак «+»;
– если количество отрицательных сомножителей нечетное число, то произведение будет отрицательным, перед результатом ставим знак «-»;
Пример. Найти произведение: -5 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ (-4) ⋅ (-10)
-5 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ (-4) ⋅ (-20) = — 2400
Объяснение: вычислили произведение абсолютных величин множителей, перед произведением ставим знак минус, ведь количество отрицательных сомножителей составляет 3, нечетное число
Пример. Найти произведение: 8 ⋅ 4 ⋅ (-2) ⋅ (-10) ⋅ 6
8 ⋅ 4 ⋅ (-2) ⋅ (-10) ⋅ 6 = 3840
Объяснение: выполнили умножение абсолютных величин множителей, перед произведением ставим плюс или ничего не ставим, поскольку количество отрицательных сомножителей равно 2 — четное число
Свойства умножения целых чисел: переместительный, сочетательный, распределительный законы
Для умножения целых чисел характерными являются переместительный, сочетательный, распределительный законы:
Переставное свойство: от перестановки множителей местами произведение не изменится. Для любых целых чисел выполняется равенство:
Проверим на примере:
Ведь -3 ⋅ (-9) = 27 і (-9) ⋅ (-3) = 27
Сочетательное свойство:
Где a, b, c – любые целые числа
[–8 ⋅ (–3)] ⋅ 2 = 24 ⋅ 2 = 48
–8 × (–3 × 2) = -8 ⋅ (-6) = 48
Поэтому [–8 ⋅ (–3)] ⋅ 2 = –8 × (–3 × 2)
Распределительное свойство:
Для любых целых чисел a, b, c выполняется равенство:
Проверим распределительное свойство умножения целых чисел на примере:
(–5 + 9) ⋅ (–7) = 4 ⋅ (-7) = -28
(–5 + 9) ⋅ (–7) =- 5 ⋅ (-7) + 9 ⋅ (-7) = 35 – 63 = -28
Итак, (–5 + 9) ⋅ (–7) =- 5 ⋅ (-7) + 9 ⋅ (-7)
Умножение целых чисел на 0, 1 и -1
а ⋅ 0 = 0 , где а – любое целое число
Произведение целых чисел, хотя бы один множитель которых равен 0, равно нулю.
Для любых целых чисел выполняются следующие равенства:
Деление целых чисел
Деление двух отрицательных целых чисел и двух чисел с разными знаками имеет то же содержание, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей посредством деления определяют второй множитель.
Если (-4) ⋅ 6 = -24, то (-24) : (-4) = 6 и (-24) : 6 = -4
Рассмотрим подробнее равенство (-24) : (-4) = 6 – в ней делимое равно -24, делитель равен -4 и частное от деления равно 6
Найдем абсолютные величины каждого компонента:
Можно сделать вывод, что для нахождения модуля частного нужно поделить модуль делимого на модуль делителя. Если делимое и делитель являются отрицательными числами, то частное будет положительным числом.
Как правильно делить отрицательные числа?
Чтобы найти частное двух отрицательных целых чисел, нужно поделить модули этих чисел. Частное будет положительным числом.
Как правильно делить числа с разными знаками?
Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед результатом поставить знак минус.
–18 : 6 = –(|–18| : |6|) = – (18 : 6) = -3
Деление целых чисел, если делимое или делитель равно 0 или 1
а – любое целое число, но в первом и третьем равенствах а≠ 0.
Ведь целые числа на 0 делить нельзя.
Деление целых чисел: правила, примеры
Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.
Термины и обозначения
При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.
Правило деления целых отрицательных чисел, примеры
Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b , то искомое частное получится равным с . Форма записи: a : b = c . После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с .
Исходя из смысла деления равенство b · c = a справедливо. Значит, b · c = a . Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b · c = b · c , значит, и b · c = a . Отсюда получаем, что c = a : b . Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.
Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.
Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b · c = a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b · c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.
Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a : b = a : b , при а и b равными отрицательным числам.
Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.
Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры
Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.
Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с . Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c = a : b .
Чтобы определить смысл деления равенства b · c = a , необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.
Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить « — ». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a : b = — a : b .
Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.
Разделить 56 на — 4 .
Решение
Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56 : 4 = 14 . Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие « — » перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, — 14 .
Ответ: 56 : ( − 4 ) = − 14 .
Выполнить деление — 1625 на 25 .
Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило
— 1625 : 25 = — — 1625 : 25 = — 1625 : 25 = — 65
Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500 + 125 , применив правило деления полученной суммы на число.
Ответ: ( − 1 625 ) : 25 = − 65 .
Деление нуля на целое число
Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0 : b = 0 , где значение числа b отлично от нуля.
Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.
Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b · c = 0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с = 0 . Отсюда следует, что частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.
Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0 : 4 или 0 : — 908 . Оба результаты будут равны нулю.
Не делить на нуль
Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0 .
Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c · 0 = a . Правило умножения на нуль говорит о том, что c · 0 = 0 при любом значении с . Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c · 0 = a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.
Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c · 0 = 0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с . Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.
Проверка результата деления целых чисел
Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.
Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.
Результат деления 72 на — 9 равен — 7 . Произвести проверку данного выражения.
Решение
Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть ( − 7 ) · ( − 9 ) = 63 . Проверка показала, что 63 отлично от 72 , значит действие выполнено неверно.
Ответ: деление выполнено неверно.