Как вывернуть сферу наизнанку

Парадокс Смейла или “Как вывернуть сферу наизнанку?”

Недавно перевел замечательный видеоролик. Вы знаете, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, т. е. с возможными самопересечениями, но без перегибов, а окружность нельзя?

В ролике наглядно показан способ выворачивания сферы, изобретенный не так давно Уильямом Терстеном. Сначала это кажется чем-то невероятно сложным и просто немыслимым, однако к концу ролика все становится понятно. Посмотрите до конца, и вы не пожалеете!:)

Выворачивание сферы. Для тех, кто не любит математику. Или как вывернуть сферу наизнанку Выворачивание сферы наизнанку

Великий математик Давид Гильберт сказал однажды, что математическую теорию можно считать совершенной лишь тогда, когда ее удается изложить первому встречному. Последователи Гильберта приходят в полное отчаяние, пытаясь жить по этому рецепту. Математика все более специализируется, и сейчас ученому математику порой стоит большого труда даже своим коллегам объяснить суть решаемых им задач. Однако время от времени исследования в ведущих и, казалось бы, недоступных пониманию отраслях этой науки приводят к открытию, которое интересно для непрофессионала и в то же время может быть объяснено без чрезмерного упрощения. Поразительный пример этого — теорема Стефена Смейла о так называемых регулярных отображениях сферы, опубликованная в 1959 г.

Область, в которой тогда работал Смейл, — дифференциальная топология — одна из самых абстрактных отраслей современной математики. Тем удивительнее, что все-таки удалось придумать наглядное объяснение одному из самых поразительных следствий из теоремы Смейла. А именно, можно продемонстрировать, как надо выворачивать сферу наизнанку.

В обычном смысле это, конечно, невозможно: сферу обязательно пришлось бы разорвать. Но в дифференциальной топологии разрешается — мысленно, разумеется,- протаскивать поверхность сквозь самоё себя — таковы «правила игры» в этой науке. Но тогда сразу бросается в глаза простое решение.

Надо сжимать противоположные стороны к центру, пока они не пройдут друг сквозь друга (I). Внутренняя, окрашенная поверхность (II) проступает с двух противоположных краев. Продолжим этот процесс «вытягивания» внутренней поверхности до тех пор, пока колечко, образованное оставшейся частью внешней поверхности (II), совсем не исчезнет. К несчастью, при этом процессе колечко образует тугую петлю (III), которую приходится затянуть. В результате получается рубец (IV), а это не удовлетворяет дифференциальных топологов, потому что они рассматривают только так называемые «гладкие поверхности», у которых нет никаких углов и изломов.

Итак, задача состоит в том, чтобы вывернуть наизнанку сферу таким образом, чтобы, избавляясь от колечка, не получить рубца. И здесь интуиция снова подсказывает, что задача неразрешима. Когда Смейл впервые объявил, что он может доказать существование решения, то ему никто не поверил. Но интуиция была неправа: в доказательстве Смейла не нашлось ни одной логической ошибки. Математики убедились, что теоретически возможно проследить доказательство шаг за шагом и найти явное описание деформации, выворачивающей сферу. Но это было столь сложно, что казалось безнадежным делом. В течение некоторого времени после открытия Смейла было известно, что в принципе можно вывернуть наизнанку сферу без рубца, но никто не имел ни малейшего представления, как это осуществить.

Но, в конце концов, математики с этой задачей справились. Как — поймете, рассмотрев рисунки. Они занимательны.

Хотя доказательство Смейла не состояло из одних рисунков. Любопытно, что в его работе их вообще нет — слишком уж сложны те фигуры, которые в неявном виде содержатся в его абстрактном аналитическом аппарате. Их не удалось бы изобразить самому изобретательному художнику — фантазия математиков поразительна. Но, пожалуй, еще более поразительна их способность передавать друг другу самые сложные идеи, не прибегая к рисункам. История с выворачиванием сферы — яркое тому свидетельство. Она стала известной широкой публике благодаря французскому топологу Рене Тома, который узнал о ней от своего коллеги Бернара Морена, а тот, в свою очередь, — от американца Арнольда Шапиро, изобретателя этой «выворотки». Вот это особенно любопытно, если учесть, что Бернар Морен слеп.

На этих картинках показано, как можно вывернуть сферу наизнанку, и при этом не нарушить требований дифференциальной топологии. Сначала надо сблизить противоположные стороны серой сферы (А), продавливая их друг сквозь друга. Тогда с двух сторон проступает окрашенная поверхность (В). Затем надо растянуть один из окрашенных кусков (С) таким образом, чтобы получить поверхность, напоминающую седло на двух «ногах» (О). Эти две ноги перекручивают против часовой стрелки и получают поверхность Е. Она же показана снова (Р) «в разрезе» с помощью ленточек, которые, как и в «сфере с рубцом», изображают поперечные сечения на десяти различных уровнях.

Дальше нет смысла изображать получающиеся на каждом этапе поверхности — уж слишком они сложны. Но можно, если угодно, рассмотреть ленточки на всех 10 уровнях и мысленно дорисовать. Один этап (H2) мы все-таки решили показать — просто, чтобы можно было себе представить, каков тип получающихся фигур. Поверхность G появляется после сжатия и вращения на 90° седла поверхности Р.

Еще несколько шагов. А именно: между этапами I и J две одинаковые по форме ноги проходят друг сквозь друга. У каждого лентообразного сечения поверхности на этапе J есть две серые стороны, обращенные друг к другу. Между этапами J и К внутренний слой расширяется, а внешний сжимается; получается поверхность К — совершенно такая же, как J, но только цвета поменялись местами.

Дальше все действия идут в «обратном порядке». Вы можете составить о них представление, рассматривая картинки I, Н, С и т. д. Нужно только менять местами цвета ленточек на каждой картинке. Окончание этого второго ряда картинок мы приводим. Поверхность L соответствует поверхности F, L2 — Е, и т. п.

Окрашенная сфера (поверхность Р) соответствует серой сфере (поверхности А). Итак, деформация выполнена, и рубца нет. Сама возможность этого трюка была впервые доказана С. Смейлом. А все последовательные этапы деформации придумал А. Шапиро…

P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что механизм выворачивания сферы наизнанку порой не более философский, чем, скажем, программа для PDF , созданная каким-нибудь талантливым программистом.

Представим, что «обычная» двумерная сфера S 2 сделана из эластичного материала, который может проходить сквозь себя. Можно ли вывернуть сферу наизнанку в обычном трехмерном пространстве $$\mathbb^3$$ без изломов и разрывов, но с возможным самопересечением (то есть в классе погружений)?

В 2000 году Смейл составил список из 18 задач , которые, по его мнению, должны быть решены в XXI веке. Этот список составлен в духе проблем Гильберта, и, как и составленные позднее задачи тысячелетия, включает гипотезу Римана, вопрос о равенстве классов P и NP, проблему решения уравнений Навье — Стокса, а также ныне доказанную Перельманом гипотезу Пуанкаре. Смейл составил свой список по просьбе Арнольда, занимавшего тогда пост президента международного математического союза, который скорее всего, взял идею этого списка из списка проблем Гильберта.

И, наконец, вопрос: можно ли «вывернуть» окружность в плоскости, то есть найти непрерывное семейство погружений, как выше?

Комментарии

Любопытно. Приходит в голову следующая вещь. Представим сферу в виде стереографической проекции — плоскость с бесконечностью. Тогда выворачивание сферы наизнанку выглядит просто как «свертывание» плоскости в другую сторону, т.е. с другой ориентацией. Здесь где-то дыра в рассуждениях, да?

Ну дело в том, что стереографическая проекция подразумевает выделение точки на сфере, которой не соответствует ничего на плоскости, а это меняет правила игры, ведь по условиям сферу нельзя разрывать, в точности и точку выкалывать нельзя.

Ну в принципе я подозревал что там слабое место с бесконечно удаленной точкой. Хотел просто знать независимое мнение;).

Миша, хотелось бы услышать, встречаются ли K3 поверхности в теории струн, и если да, то как именно они там возникают?

Да, встречаются иногда. В контексте компактификации. K3 имеет группу голономий $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ и потому сохраняет половину суперсимметрий. Феноменологически такие модели не очень интересны, но люди все равно рассматривают их.

Я выворачиваю сферу без изломов ещё проще, чем фильме. Надо воткнуть пальцем часть поверхности сферы внутрь. Эту внутреннюю часть сферы повернуть на 180 градусов, при этом отверстие закроется без перегибов. Меридианы сферы, бывшие окружностями, превратятся в «восьмёрки» с меньшей головкой внутри большей. Далее раздуваем внутренний почти шарик до тех пор, пока не просочится наружу. Естественно вид его окажется вывернутым. Остаётся то, что было большей частью, а теперь ставшей меньшей по сравнению с раздутой, развернуть на 180 градусов. Затянутое отверстие раскроется, вмятину распрямляем, и цель достигнута!

Здесь получается точка становится бесконечностью, а бесконечность точкой. Или, «одинаковость вселенной»: что внутрь, что наружу.
Поэтому возникает парадигма — микрокосм можно изучать при помощи макрокосмоса и наоборот.
Вопрос в пределе радиуса =]h/2;2/h[. Здесь h используется как метрический предел точности измерений, то есть та самая эпсилон делёная на два.
Также физическое существование такой сферы можно доказать или опровергнуть для различных случаев.
Или я не прав?

В трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений , то есть с возможными самопересечениями, но без перегибов. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться гладким, то есть дифференцируемым.

Выворачивание сферы — это вовсе не логический парадокс , это теорема , только весьма контринтуитивная . Более точно:

Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и фильмов. С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз сделал Смейл.

История

Этот парадокс был открыт Смейлом в 1958 году . Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. [ ] Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у f и у -f в <\mathbb R>^3 обе равны 1. Более того, степень любого вложения S^2\to <\mathbb R>^3 равна 1.

Вариации и обобщения

Напишите отзыв о статье «Выворачивание сферы»

Литература

• Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281-290.
• Франсис, Дж. . Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.

Примечания

Отрывок, характеризующий Выворачивание сферы

– Опять таки, полковник, – говорил генерал, – не могу я, однако, оставить половину людей в лесу. Я вас прошу, я вас прошу, – повторил он, – занять позицию и приготовиться к атаке.
– А вас прошу не мешивайтся не свое дело, – отвечал, горячась, полковник. – Коли бы вы был кавалерист…
– Я не кавалерист, полковник, но я русский генерал, и ежели вам это неизвестно…
– Очень известно, ваше превосходительство, – вдруг вскрикнул, трогая лошадь, полковник, и делаясь красно багровым. – Не угодно ли пожаловать в цепи, и вы будете посмотрейть, что этот позиция никуда негодный. Я не хочу истребить своя полка для ваше удовольствие.
– Вы забываетесь, полковник. Я не удовольствие свое соблюдаю и говорить этого не позволю.
Генерал, принимая приглашение полковника на турнир храбрости, выпрямив грудь и нахмурившись, поехал с ним вместе по направлению к цепи, как будто всё их разногласие должно было решиться там, в цепи, под пулями. Они приехали в цепь, несколько пуль пролетело над ними, и они молча остановились. Смотреть в цепи нечего было, так как и с того места, на котором они прежде стояли, ясно было, что по кустам и оврагам кавалерии действовать невозможно, и что французы обходят левое крыло. Генерал и полковник строго и значительно смотрели, как два петуха, готовящиеся к бою, друг на друга, напрасно выжидая признаков трусости. Оба выдержали экзамен. Так как говорить было нечего, и ни тому, ни другому не хотелось подать повод другому сказать, что он первый выехал из под пуль, они долго простояли бы там, взаимно испытывая храбрость, ежели бы в это время в лесу, почти сзади их, не послышались трескотня ружей и глухой сливающийся крик. Французы напали на солдат, находившихся в лесу с дровами. Гусарам уже нельзя было отступать вместе с пехотой. Они были отрезаны от пути отступления налево французскою цепью. Теперь, как ни неудобна была местность, необходимо было атаковать, чтобы проложить себе дорогу.
Эскадрон, где служил Ростов, только что успевший сесть на лошадей, был остановлен лицом к неприятелю. Опять, как и на Энском мосту, между эскадроном и неприятелем никого не было, и между ними, разделяя их, лежала та же страшная черта неизвестности и страха, как бы черта, отделяющая живых от мертвых. Все люди чувствовали эту черту, и вопрос о том, перейдут ли или нет и как перейдут они черту, волновал их.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось matemat 18.12.2016, 14:50, всего редактировалось 2 раз(а).

Мне нужно подготовиться к зачету. Преподаватель от меня хочет услышать ответ на этот вопрос. Я ему должен показать как это сделать.
Посмотрел теорему:

Цитата:

Пусть есть стандартное вложение , тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений такое, что и .

Но как это доказать я плохо понимаю! Помогите, пожалуйста! Хотя бы общая схема!
Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 14:43

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 18.12.2016, 14:47, всего редактировалось 1 раз.

В Вашей формулировке решение тривиально:
Кое-что пропустили.

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 14:50

Последний раз редактировалось matemat 18.12.2016, 14:51, всего редактировалось 2 раз(а).

Ну да! Спасибо! Исправил.
Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 14:56

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 18.12.2016, 14:57, всего редактировалось 1 раз.

Это теорема Смэйла из гомотопической топологии. У Фоменко в учебнике (не по истории!) есть понятные объяснения. Обратите внимание, что при выворачивании допускаются самопересечения при соблюдении гладкости.

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 15:06
gris , спасибо 🙂 Сейчас посмотрю.
Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 15:24

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Munin 18.12.2016, 15:32, всего редактировалось 1 раз.

На эту тему есть замечательный ролик на Ютубе. Англоязычный — точно, а возможно и с переводом. Обязательно посмотрите!

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 17:22

Последний раз редактировалось matemat 18.12.2016, 17:39, всего редактировалось 5 раз(а).

gris в сообщении #1178076 писал(а):
У Фоменко в учебнике (не по истории!) есть понятные объяснения

Я нашел в учебнике теорему о существовании на гладком компактном многообразии функций Морса. Там же упоминается, что в более общем виде эту теорему доказал Смейл. Теорема Морса и теорема Смейла о существовании непрерывных гладких погружений — получается одно и то же?

Как Вы думаете, если я переформулирую теорему Смейла в такой вид и потом докажу это, так будет честно?

Цитата:

Любые два погружения регулярно гомотопны.

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 20:26

Заслуженный участник

Если честно, то я сдавал дифгем не приходя в сознание и из учебников помню только любимые места. Боюсь напутать

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 21:47

Последний раз редактировалось matemat 18.12.2016, 21:59, всего редактировалось 2 раз(а).

А Вы про какой учебник Фоменко? Я смотрел в его курсе гомотопической топологии.
Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 22:20

Заслуженный участник

Ну да. Есть ещё курс дифференциальной геометрии и топологии, современная геометрия Новикова. Я раньше мог разговаривать на эти темы, а сейчас уж не рискну.Но выворачивание сферы не относится к очень трудным вопросам.

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
18.12.2016, 22:48

Это для Вас он не очень трудный, но говорить опасаетесь, а я затрудняюсь в вопросе, но кое-как говорю
Я не смог найти подходящий источник с полным доказательством теоремы.

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
19.12.2016, 01:02

Заслуженный участник

Уточнение: в указанном видеоролике описана процедура Тёрстона — одна из многих, разработанных разными математиками для выворачивания сферы.

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
19.12.2016, 01:41

Последний раз редактировалось matemat 19.12.2016, 01:43, всего редактировалось 1 раз.

По видимому процедур выворачивания много. А где интересно в формализованном виде посмотреть процедуру Тёрстона?
Какая то проблема с доказательством и такой вот формулировкой теоремы Смейла. Я в упор не вижу этой теоремы в учебниках по гомотопу, алгетопу и дифгему. Читаю оглавление — нет. Читаю предметные указатели — тоже нет! Зато есть куча других теорем — теорема Штифеля, Уитни, .

Re: Как вывернуть сферу наизнанку?
20.12.2016, 23:23

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 20.12.2016, 23:24, всего редактировалось 1 раз.

Если ещё актуально, то попробуйте найти книжку С.П. Новикова «Топология». Глава 4 «Гладкие многообразия», п. 4 «. Теория иммерсий. «. Там как раз эти вопросы обсуждаются. Наверное, я перепутал это с Фоменко. Ну, немудрено. Вы правы насчёт регулярной гомотопности, но, собственно, это же и надо доказать. А это следует из того, что классы регулярных погружений определяются элементами соответствующей гомотопической группы, которая в вашем случае просто вырождается. А если есть всего один класс, то откуда взяться негомотопным иммерсиям?
Но дело в том, что вот эта гомотопология похожа на школьную геометрию. Такое же нагромождение теорем, которые можно переставлять по следованию друг из друга. У каждого ценящего себя профессора свой курс, и они часто ревниво относятся к сторонним учебникам. А иногда любят это. Не угадаешь.

Как вывернуть сферу наизнанку

McSeem2,

К>>Аааа. Теперь понял. Так бы и сказали, что сферу вывернуть с самопересечениями, но гладко. Потому что без самопересечений это было бы переворотом в топологии.

MS>А каково минимальное число «долек»? Двух достаточно?

Похоже, что количество «долек» не имеет значения, и такой способ выворачивания лишь один из многих. Когда Смэйл доказал существование отображения, у него доказательство было неконструктивно. Народ веселится по-страшному пытаясь визуализировать хотя бы какое-нибудь такое отображение. Вот промежуточные два этапа в одной из таких попыток:

Видно, что здесь нет никаких «долек». Сфера немного сплющивается и изгибается «винтом».

Вот немного несимметричный вариант:

Наконец вариант, аналогичный тому, что было в том мультике:

quicksort =: (($:@(<#[),(=#[),$:@(>#[)) (<~ ?@#)) ^: (1<#) Выворачивание сферы наизнанку

От:	Lazy Cjow Rhrr	lj://_lcr_
Дата:	14.07.06 10:01
Оценка:	1 (1)

Итак, задача следующая: гладко вывернуть сферу наизнанку. Многим кажется, что это невозможно. Я же видел только доказательство (в книжке Фоменко), но совершенно не представлял, как это может выглядеть.

Отсюда можно скачать небольшой фильм (300К) демонстрирующий такое преобразование.

Лично я очень впечатлился.

quicksort =: (($:@(<#[),(=#[),$:@(>#[)) (<~ ?@#)) ^: (1<#) Re[5]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	Кодт
Дата:	14.07.06 12:15
Оценка:	+1

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

RB>Будет сгиб на экваторе.
RB>Нужно сделать гладко.

Аааа. Теперь понял. Так бы и сказали, что сферу вывернуть с самопересечениями, но гладко. Потому что без самопересечений это было бы переворотом в топологии.

Перекуём баги на фичи!
Re: Выворачивание сферы наизнанку

От:	Lazy Cjow Rhrr	lj://_lcr_
Дата:	14.07.06 10:04
Оценка:

PS. Забыл сказать, что это не задача, а просто интересно.
quicksort =: (($:@(<#[),(=#[),$:@(>#[)) (<~ ?@#)) ^: (1<#) Re: Выворачивание сферы наизнанку

От:	Кодт
Дата:	14.07.06 11:18
Оценка:

Здравствуйте, Lazy Cjow Rhrr, Вы писали:

LCR>Итак, задача следующая: гладко вывернуть сферу наизнанку. Многим кажется, что это невозможно. Я же видел только доказательство (в книжке Фоменко), но совершенно не представлял, как это может выглядеть.

И в чём фокус? Кстати, откуда вдруг появилась лиловая изнанка в мультике — ведь наружность всюду бежевая?

Перекуём баги на фичи!
Re[2]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	Cyberax
Дата:	14.07.06 11:28
Оценка:

Кодт wrote:
> LCR>Итак, задача следующая: /гладко/ вывернуть сферу наизнанку. Многим
> кажется, что это невозможно. Я же видел только доказательство (в книжке
> Фоменко), но совершенно не представлял, как это может выглядеть.
> И в чём фокус? Кстати, откуда вдруг появилась лиловая изнанка в мультике
> — ведь наружность всюду бежевая?
Похоже там самопересечения появляются.

Posted via RSDN NNTP Server 2.0
Sapienti sat!
Re[2]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	rus blood
Дата:	14.07.06 11:29
Оценка:

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, Lazy Cjow Rhrr, Вы писали:

LCR>>Итак, задача следующая: гладко вывернуть сферу наизнанку. Многим кажется, что это невозможно. Я же видел только доказательство (в книжке Фоменко), но совершенно не представлял, как это может выглядеть.

К>И в чём фокус? Кстати, откуда вдруг появилась лиловая изнанка в мультике — ведь наружность всюду бежевая?

В самом начале полюсы продавливаются друг сквозь друга.

Имею скафандр — готов путешествовать!
Re[2]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	rus blood
Дата:	14.07.06 11:30
Оценка:

Здравствуйте, Lazy Cjow Rhrr, Вы писали:

LCR>PS. Забыл сказать, что это не задача, а просто интересно.

А нет разложения шара на части и сборки из частей уже двух шаров прежнего размера?

Имею скафандр — готов путешествовать!
Re[3]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	Cyberax
Дата:	14.07.06 11:33
Оценка:

rus blood wrote:
> В самом начале полюсы продавливаются друг сквозь друга.
Это неинтересно — можно все намного менее зрелищно сделать. Достаточно
взять один полюс, продавить его через другой и дотащить до полной
сферичности.

Posted via RSDN NNTP Server 2.0
Sapienti sat!
Re[4]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	rus blood
Дата:	14.07.06 11:56
Оценка:

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>rus blood wrote:
>> В самом начале полюсы продавливаются друг сквозь друга.
C>Это неинтересно — можно все намного менее зрелищно сделать. Достаточно
C>взять один полюс, продавить его через другой и дотащить до полной
C>сферичности.

Будет сгиб на экваторе.
Нужно сделать гладко.

Имею скафандр — готов путешествовать!
Re[6]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	McSeem2	http://www.antigrain.com
Дата:	14.07.06 18:38
Оценка:

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Аааа. Теперь понял. Так бы и сказали, что сферу вывернуть с самопересечениями, но гладко. Потому что без самопересечений это было бы переворотом в топологии.

А каково минимальное число «долек»? Двух достаточно?

McSeem
Я жертва цепи несчастных случайностей. Как и все мы.
Re[3]: Выворачивание сферы наизнанку

От:	Константин
Дата:	24.07.06 15:22
Оценка:

Здравствуйте, rus blood, Вы писали:

RB>А нет разложения шара на части и сборки из частей уже двух шаров прежнего размера?

Re: Выворачивание сферы наизнанку

От:	IO
Дата:	28.07.06 05:48
Оценка:

Здравствуйте, Lazy Cjow Rhrr, Вы писали:
LCR>Итак, задача следующая: гладко вывернуть сферу наизнанку. Многим кажется, что это невозможно. Я же видел только доказательство (в книжке Фоменко), но совершенно не представлял, как это может выглядеть.

Мне кажется это невозможно. Поясню по простому (ну не матиматик я ). Возьмем внешнюю поверхность сферы. В каждой точке выпуклось (или кривизна) одинакова и положительна. Меняя выпуклость в одной точке на какую-то величину (пол. или отр.), мы меняем выпуклость на противоположную величину в окресности этой точки точки. Таким образом получаем закон «сохранения сумарной выпуклости». И самопересечение поверхности не отрицает этого — оно просто никак не влияет на это. А вот негладкость преобразований — влияет. Допустим в некоторой точке мы доводим выпуклость до плюс бесконечности (острие иглы). Потом до нуля? (поверхность свернулась в прямую). Наша точка неизвесно внутри или снаружи. Потом разворачиваем поверхность, но уже в другую сторону (бока иглы прошли друг сквозь друга и вышли с противоположной стороны), точка оказалась внутри. Выпуклость в этой точке уже минус бесконечность.
Причем мне кажется сумарная выпуклость той стороны поверхности, которая была внешней стала равна нулю. Еще одно такое преобразование и она станет равна первоначальному значению, но с обратным знаком.

Re: Выворачивание сферы наизнанку

От:	casual
Дата:	01.08.06 14:45
Оценка: