Как найти точку пересечения двух векторов

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

• графический
• аналитический

Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и y = -3 x + 1 .

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и x = 2 t + 1 y = t .

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2 x + 3 y = 0 и x — 2 3 = y 4 .

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и y = 2 x + 1 .

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3 x — 2 .

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Пример 6. Найти точку пересечения прямых x — 1 = y — 1 = z — 1 и x — 3 -2 = 2 — y = z .

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 и x = t + 1 y = 3 t — 2 z = 3 .

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Как найти точку пересечения двух векторов

Пример:

Даны две прямые, которые заданы уравнениями

Найти точку пересечения этих прямых.

Решение:

1. В первом уравнении выводим значение y:

2. Во второе уравнение вносим полученное значение y, образовав тем самым подобные пары с x:

Теперь уже легко можно вычислить числовое значение x. Раскрываем скобки, сводим подобные числа и находим x:

3. Найдя числовое значение x, мы сможем теперь найти и числовое значение y. Это проще сделать с помощью первого уравнения:

Ответ: точка пересечения двух прямых (–3; –7).

Точка пересечения 2 векторов

Координаты x,y я то нашел, спроецировав на плоскость вектора.

#1
12:45, 15 июня 2008

stl
А что такое пересечение векторов?

#2
13:06, 15 июня 2008

Есть обобщенная задача — поиск двух БЛИЖАЙШИХ ТОЧЕК у двух отрезков в пространстве. Я щас не дома и не могу показать код, да и в двух словах алгоритм не опишешь. Гугли.

#3
13:30, 15 июня 2008

stl
>Даны 2 вектора: x1,y1,z1; x2,y2,z2;
Как найти точку пересечения?
Элементарно: (0; 0; 0)

#4
13:43, 15 июня 2008

если честно , я не понял ваших ответов. Мне нужны не ближайшие точки, и причем тут 0,0,0 я тоже не понял.

2 вектора точно пересекаются в пространстве в какой-то точке. У векторов есть координаты начала и конца. Найти x,y точки пересечения легко — проецируем на экран, отбрасывая z, находим.

А как найти координату z, если она может потребоваться в дальнейшем?

#5
13:46, 15 июня 2008

#6
13:52, 15 июня 2008

stl
>2 вектора точно пересекаются в пространстве в какой-то точке. У векторов есть
>координаты начала и конца.

У настоящих брутальных векторов координаты начала находятся в точке

• Tweedle Dee
• Постоялец

#7
13:57, 15 июня 2008

ты у каждого вектора указал лишь один набор координат. потому их от (0,0,0) и отсчитали 😉 вопрос надо правильней формулировать. тебя интересует пересение ОТРЕЗКОВ? ну так элементарно, пусть отрезки

(x1, y1, z1) — (x2, y2, z2) и (a1, b1, c1) — (a2, b2, c2)
тогда уравнение первого
x = x1*t + x2*(1 — t)
y = y1*t + y2*(1 — t)
z = z2*t + z2*(1 — t)

аналогично для второго
x = a1*s + a2*(1 — s)
y = b1*s + b2*(1 — s)
z = c2*s + c2*(1 — s)

приравниваем x,y,z, получаем

x1 t + x2 (1 — t) = a1 s + a2 (1 — s)
y1 t + y2 (1 — t) = b1 s + b2 (1 — s)

система из 2 уравнений с 2мя неизвестными, решаем, подставляем s и t во третьи уравнения, убеждаемся, что z-координаты совпали тоже (если нет, то и пересечения нет)

#8
14:09, 15 июня 2008

stl
>У векторов есть координаты начала и конца
А нету!

Вектор это упорядоченное конечное множество своих координат.
Вектор может представлять множество отрезков, которые будут по длине равны абсолютному значению вектора и паралельны.
И вот разница координат отрезков следовательно равна координатам вектора.
Если проще, вектор — это не отрезок. Вектор — это точка. А его направление — это направление отрезка из начала координат в эту точку.

#9
14:10, 15 июня 2008

Tweedle Dee
>ты у каждого вектора указал лишь один набор координат. потому их от (0,0,0) и отсчитали 😉
Он указал правильно а отсчитывают от нулей всегда.

#10
14:14, 15 июня 2008

>У настоящих брутальных векторов координаты начала находятся в точке
Координаты у труЪ-математиков задаются либо (0; 0; 0) либо А вот — смахивает на неупорядоченное множество.

#11
14:24, 15 июня 2008

stl
Короче объясняю.
Такс. Если у тебя есть отрезок <(x1; y1; z1), (x2; y2; z2)>то вектор, который задаст множество отрезков, равных по модулю длине твоего отрезка и паралельных ему равен (x2 — x1; y2 — y1; z2 — z1). И любой отрезок, входящий в это множество будет равен <(c1 + x1; c2 + y1; c3 + z1), (c1 + x2; c2 + y2; c3 + z2)>,
Отрезок, совпадающий с радиус-вектором на графике будет равен <(0; 0; 0), >.
Где c1, c2, c3 — произвольные константы из множества декартовой степени 1/n пространства, которому принадлежит вектор, где n — мерность пространства. Например пространство R^3 возводим в декартовую степень 1/3 получаем R — множество действительных чисел (частный случай для трёхмерного пространства).
x, y, z — координаты вектора, равные x2 — x1, y2 — y1 и z2 — z1 соответственно.

ПРАВКА: поумничал малость
ПРАВКА: афрографея
ПРАВКА: поумничал малость

• Sbtrn. Devil
• Постоялец

#12
15:21, 15 июня 2008

Векторы в пространстве — не пересекаются! Их пересечение возможно только при строгом и абсолютно точном соотношении параметров (как минимум, «лежат в одной плоскости»). Однако, поскольку в реальном мире имеют место квантовые флуктуации, а малейшего отклонения параметра достаточно для разрушения необходимого равенства (в случае компутера эта особенность физического мира симулируется неабсолютной точностью вычислений), то вероятность пересечения изничтожающе стремится к нулю.

А поэтому мораль такова: не надо математически эстетствовать, ибо жизнь сурова. А надо взять и найти, как предлагали в посте 2, ближайшие точки A и B обоих векторов. Если расстояние AB меньше некоторого епсилон (скажем, 0.001), то можно условно считать, что вектора пересеклись, и точка пересечения — середина AB. Если же больше епсилона — значит, не пересеклись.

• Alexander K
• Постоялец

Определение точки пересечения двух отрезков

Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P₁(x₁;y₁) и P₂(x₂;y₂). Второй задан точками P₃(x₃;y₃) и P₄(x₄;y₄).

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Рассмотрим отрезок P₃P₄ и точки P₁ и P₂.

Точка P₁ лежит слева от прямой P₃P₄, для нее векторное произведение v₁ > 0, так как векторы положительно ориентированы.
Точка P₂ расположена справа от прямой, для нее векторное произведение v₂ < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки P₁ и P₂ лежали по разные стороны от прямой P₃P₄, достаточно, чтобы выполнялось условие v₁v₂ < 0(векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P₁P₂ и точек P₃ и P₄.

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

где:
ax, ay — координаты первого вектора,
bx, by — координаты второго вектора.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P₁ с координатами (x₁;y₁) и P₂ с координатами (x₂; y₂). Соответственно вектор с началом в точке P₁ и концом в точке P₂ имеет координаты (x₂-x₁, y₂-y₁). Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P₁P равны (x — x₁, y – y₁).

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Как найти точку пересечения прямых?
Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых:

Здесь D – определитель системы, а D_x,D_y — определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0, то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x₁=D_x/D, y₁=D_y/D, которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.