олимпиада — Сколько существует двузначных чисел
$$Сколько \ существует \ двузначных \ чисел \ m, \ для \ каждого \ из \ которых \ существует \ ровно \ 36 \ трёхзначных \ $$ $$ чисел \ n , \ таких, \ что \ n^2 \ и \ (n + m)^2 \ дают \ одинаковый \ остаток \ при \ делении \ на \ 100.$$
задан 18 Май ’14 0:51
1 ответ
Требуется, чтобы $%(n+m)^2-n^2=m(2n+m)$% делилось на $%100$%. Пусть $%d=<\mathop<\rm НОД>>(m,100)$%. Тогда $%2n+m$% делится на $%100/d$%.
Если $%100/d$% чётно, то $%m$% также чётно, и $%n+\frac2$% делится на $%50/d$%. Среди $%50/d$% последовательных чисел имеется ровно одно число $%n$% с требуемым свойством при любом фиксированном $%m$%. Поскольку трёхзначных чисел всего $%900$%, и они идут последовательно, их можно разделить на $%18d$% групп по $%50/d$% чисел в каждой из них. Тогда $%18d=36$%, то есть $%d=2$%. Это число подходит, так как $%100/d$% чётно.
Теперь пусть $%100/d=2k+1$% нечётно. Если $%2n+m$% делится на $%2k+1$%, то и $%2kn+km$% делится, а тогда делится и $%n-km$%. Как и выше, в каждой группе из $%2k+1$% последовательного числа имеется ровно одно, которое нам подходит (с тем же остатком от деления на $%2k+1$%, что и $%km$%), и всего таких чисел имеется $%900:(2k+1)=9d$%. При этом $%9d=36$%, то есть $%d=4$%. Это значение подходит, так как $%100/d$% нечётно.
Вопрос принимает такой вид: сколько имеется двузначных чисел $%m$%, для которых $%<\mathop<\rm НОД>>(m,100)$% равен $%2$% или $%4$%? Это в точности все чётные числа, не делящиеся на $%5$%. Двузначных чисел имеется $%90$%; из них $%45$% чётных. Те из них, которые кратны пяти, будут кратны 10, и таких чисел 9. Их количество надо вычесть, и в ответе будет $%45-9=36$%.
отвечен 18 Май ’14 1:41
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Хорошее решение но есть пару вопросов. 1) Почему не рассмотрели случай когда m взаимно просто с числом 100. 2) Как доказать что среди 50/d чисел найдется только одно n удовлетворяющее условию?
(18 Май ’14 4:05) night-raven
Случай взаимной простоты рассмотрен, потому что он означает $%d=1$%. При этом $%100/d$% чётно, а мы выяснили, что среди них подходит только $%d=2$%.
Поскольку число $%m$% фиксировано, то числа вида $%n+\frac2$% тоже последовательные, и при делении на $%s$% все такие числа в количестве $%s$% штук дают разные остатки. Значит, ровно одно из них делится на $%s$% (здесь $%s=50/d$%, но то же верно для любого числа).
Решение на Упражнение 519 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Дорофеев Г.В.
Сколько всего существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9? Есть ли среди них простые числа?
Решение 1
Решение 2
Другие задачи из этого учебника
Поиск в решебнике
Популярные решебники
Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. 2013г.
Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.
Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.
Издатель: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. 2017г.
Издатель: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2013г.
Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе чётные цифры?
Сколько существует чисел от L до R, включительно, у которых все цифры в десятичной записи четные?
Дается два целых натуральных числа L и R. Нужно посчитать сколько существует чисел от L до R.
Сколько существует шестизначных десятичных чисел содержащих по две чётные цифры каждое, но эти цифры не стоят рядом
Помогите пожалуйста решить задачу. Сколько существует шестизначных десятичных чисел содержащих по.
Сколько существует шестизначных десятичных чисел, содержащих по две чётные цифры каждое, но эти цифры не стоят рядом?
Сколько существует шестизначных десятичных чисел содержащих по две чётные цифры каждое, но эти.
Сколько существует трехзначных чисел, в которых все цифры четные и разные?
Сколько существует трехзначных чисел, в которых все цифры четные и разные?
2992 / 1624 / 643
Регистрация: 19.03.2019
Сообщений: 5,275
Сообщение было отмечено lllyLLeR как решение
Решение
если «в лоб»
1 2 3 4 5 6 7 8
var i,j,count : integer; begin count :=0; for i:=1 to 9 do for j:=0 to 9 do if not odd(i) and not odd(j) then Inc(count); WriteLn(count) end.
Регистрация: 03.11.2021
Сообщений: 111
nемы «Алгоритмы генерирования перестановок, множества всех подмножеств, к-элементных подмножеств множества, разбиения множества».По этим темам сможешь?
2992 / 1624 / 643
Регистрация: 19.03.2019
Сообщений: 5,275
lllyLLeR, не знаю, зависит от множества условий — и от наличия у меня желания/времени и от конкретных задач.
А, собственно, при чём тут я? Это же форум, создаёшь темы с задачами (каждая задача в отдельной теме), разбираешься с решением (ну, если кто-то выложит решение) или, с помощью и подсказок, пишешь решение сам.
Регистрация: 03.11.2021
Сообщений: 111
спасибо за ответ,твоего первого ответа полностью хватит
7730 / 4566 / 2816
Регистрация: 22.11.2013
Сообщений: 12,982
Записей в блоге: 1
1 2 3
begin WriteLn( 4 * 5 ); end.
2992 / 1624 / 643
Регистрация: 19.03.2019
Сообщений: 5,275
bormant, и не поспоришь же
9802 / 5152 / 3295
Регистрация: 17.08.2012
Сообщений: 15,748
Какой уж тут спор.
Есть два множества: [2, 4, 6, 8], мощность множества 4, и [0, 2, 4, 6, 8], мощность множества 5. Общее количество комбинаций равно произведению соответствующих размещений с повторениями:
9802 / 5152 / 3295
Регистрация: 17.08.2012
Сообщений: 15,748
lllyLLeR, дублирование тем запрещено, дубль этой темы удалён.
Чем Вас не устроило решение через размещения с повторениями (это то же самое, что и выборка с возвращением), которое Вам дал bormant? Вы можете сказать, чем это решение не соответствует теме «Алгоритмы генерирования перестановок, множества всех подмножеств, к-элементных подмножеств множества, разбиения множества»? Или, может быть, Вы считаете, что программа просто обязана быть сложная-присложная?
Регистрация: 03.11.2021
Сообщений: 111
нет,все верно
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Сколько существует восьмеричных трёхзначных чисел, в каждом из которых чётные и нечётные цифры чередуются
Помогите пожалуйста решить задачу. Сколько существует восьмиричных трёхзначных чисел, в каждом из.
Сколько существует трехзначных шестеричных чисел, в каждом из которых чётные цифры нигде не стоят рядом
7. Сколько существует трехзначных шестеричных чисел, в каждом из которых чётные цифры нигде не.
Сколько существует пятизначных чисел пятеричной системы счисления, в каждом из которых четные цифры нигде рядом не стоят
Сколько существует пятизначных чисел пятеричной системы счисления, в каждом из которых четные цифры.
Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра меньше второй?
1) Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра меньше второй? решил, но не.
Сколько существует двузначных чисел, сумма квадратов цифр которых делится на 13?
3. Сколько существует двузначных чисел, сумма квадратов цифр делится на 13? Напечатайте все такие.
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
Сколько всего существует двузначных чисел а трехзначных
1. Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов?
Решение. После каждого распила одна часть распадается на две, т.е. количество частей увеличивается на 1. В начале была одна часть (целое бревно), в итоге стало 6. Значит, было сделано 6 − 1 = 5 распилов.
Ответ. 5 распилов.
2. Из книги выпал кусок, у первой страницы которого номер 35, а у последней — 74. Сколько страниц выпало?
Решение. Рассмотрим страницы с 1-й по 74-ю. Из них в выпавший кусок не входят с 1-й по 34-ю. Значит, выпало 74 − 34 = 40 страниц.
Ответ. 40 страниц.
3. Теперь у зайцев уже несколько бревен. Они распили все бревна, сделав 20 распилов, и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев?
Решение. Так как после каждого распила количество чурбачков увеличивается на 1, то значит, после 20 распилов их количество также увеличилось на 20. Тогда изначально у зайцев было 27 − 20 = 7 брёвен.
4. Сколько всего существует двузначных чисел? А трёхзначных?
Решение. Двузначные числа — это 10, 11, 12, . 99. Всего их 99 − 9 = 90.
Аналогично трёхзначных чисел 999 − 99 = 900.
5. Улитке надо подняться на столб высотой 10 м. Каждый день она поднимается на 4 м, а каждую ночь сползает на 3 м. Когда улитка доползёт до цели, если она стартовала в понедельник утром?
Решение. За сутки (день и ночь) улитка будет продвигаться по столбу на 1 м (подниматься на 4 м днём и опускаться на 3 м ночью). В итоге после 6 суток она окажется на высоте 6 м и за следующий день доползёт до верха.
Ответ. Вечером в воскресенье.
6. Главное здание МГУ состоит из нескольких секторов. Этажи в разных секторах отличаются по высоте. Из-за этого, например, получается, что переходы с 13 этажа сектора А ведут на 19 этаж секторов Б и В. Как соотносятся по высоте этажи в этих секторах?
Решение. Уровень пола 13 этажа сектора А совпадает с уровнем пола 19 этажа секторов Б и В. Значит, высота первых 18 этажей сектора А равна высоте первых 12 этажей в Б и В. Тогда отношение равно 18:12 или 2:3.
7. Сколько раз за сутки на часах минутная стрелка обгонит часовую?
Решение. За первые 12 часов минутная стрелка обгонит часовую 10 раз: каждый час, кроме первого и последнего. В 0 ч и 12 ч стрелки совместятся. Так как мы рассматриваем промежуток времени в 24 часа, то стрелки пойдут дальше. Их совпадение в 12 ч дня тоже нужно считать обгоном.
За следующие 12 часов произойдёт ещё 10 обгонов, а всего их будет 10 + 1 + 10 = 21.
Дополнительные задачи
8. Для нумерации страниц в книге потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Решение. Всего есть 9 однозначных и 90 двузначных номеров. На них приходится 9 + 2·90 = 189 цифр. Остаётся 2322 − 189 = 2133 цифр. Они образуют 2133⁄3 = 711 трёхзначных последовательных номеров. Значит, всего страниц 99 + 711 = 810.
Ответ. 810 страниц.
9. В ряд выписаны все натуральные числа:
1234567891011121314151617181920.
Какая цифра стоит на 2010 месте?
Решение. Посмотрим какому числу будет принадлежать эта цифра. Первые 9 цифр относятся к однозначным числам, следующие 2·90 = 180 к двузначным. Остаётся ещё 2010 − 189 = 1821 цифра. Из них состоят 1821⁄3 = 607 трёхзначных чисел. Последнее из них будет равно 99 + 607 = 706. Значит, 2010-я цифра будет 6.
10. Серёжа купил тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Данил вырвал из этой тетради какие-то 50 страниц и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 2010.
Решение. Вырванные страницы пронумерованы 50 последовательными числами. Среди них 25 чётных и 25 нечётных. Но сумма, содержащая нечётное количество нечётных слагаемых, нечётна, а значит, 2010 быть равна не может.
| Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! | | | |