Почему внутри сферы напряженность равна 0

В XIX веке английский учёный Майкл Фарадей выдвинул гипотезу, что электрическое и магнитное взаимодействия осуществляются посредством особой среды между ними, поля. Любой заряд `q` изменяет свойства пространства вокруг себя – создаёт вокруг себя поле, а уже это поле действует на другие заряды. Развитие науки и техники показало чрезвычайную плодотворность концепции поля. Вся теория электромагнитных явлений со всеми её приложениями существенным образом основывается на концепции поля. По мнению Эйнштейна, идея поля была самым важным открытием со времён Ньютона.

Идея электрического поля большинству людей кажется некоей абстрактной теоретической концепцией, поскольку электрическое поле (в отличие от поля магнитов) в обыденной жизни, в быту невозможно «почувствовать рукой». К вопросу о том, почему это так, мы вернёмся позже. Пока же обратимся к количественному описанию электростатического поля.

Если в поле точечного заряда `q` поместить на расстоянии `r` пробный точечный заряд `q_1`, то на этот заряд будет действовать сила `|vecF_1|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_1|)/(r^2)`. Если в ту же точку поместить другой пробный заряд `q_2`, то на него заряд со стороны заряда `q` будет действовать другая сила `|vecF_2|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_2|)/(r^2)`. Существенно, однако, что отношение силы, действующей на пробный заряд, к его заряду, `(vecF_1)/(q_1)=(vecF_2)/(q_2)`, останется одним и тем же и будет характеристикой не пробных зарядов, но исходного заряда `q` и местоположения `vecr` точки `A`, в которую мы помещали пробные заряды (см. рис. 1). Эта характеристика называется напряжённостью электрического поля точечного заряда `q` в точке `A`. Напряжённость поля есть векторная величина. Её модуль равен

`|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|)/(r^2)`. (1.3.1)

Если заряд `q` положительный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону от заряда вдоль прямой, соединяющей точечный заряд `q` и точку `A`; если же заряд `q` отрицательный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону к заряду вдоль той же прямой.

Удобным способом учёта векторного характера величины `vecE` и знака заряда `q` является следующий. Пусть `vecr` — вектор, проведённый из точки, в которой расположен заряд `q`, в точку `A`, `|vecr|=r` — длина этого вектора (расстояние между точечным зарядом `q` и точкой `A`). Введём формальный единичный вектор вдоль направления `vecr`, `vece=(vecr)/r`, так что `|vece|=(|vecr|)/r=1` (это не `1` метр!). Тогда вектор напряжённости электрического поля точечного заряда `q` в точке, характеризуемой вектором `vecr`, можно представить в виде

`vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece`. (1.3.1′)

Формулу (1.3.1.) иногда записывают в виде `|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|*(+1))/(r^2)`; при этом о напряжённости говорят как о силе, действующей со стороны заряда `q` на некий условный единичный положительный точечный заряд `(+1)` (не заряд в `+1` Кл!). Нужно, впрочем, помнить, что сила и напряжённость электрического поля имеют разную размерность. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м): `1`В/м `=1`Н/`1`Кл.

Принцип суперпозиции. Напряжённость есть векторная величина. Это означает, что если имеются два заряда `q_1` и `q_2` каждый из них в некоторой точке создаёт свои напряжённости поля `vecE_1` и `vecE_2`, то результирующая напряжённость (результирующая сила, действующая на единичный положительный заряд, со стороны обоих зарядов) будет равна векторной сумме

получаемой по правилу параллелограмма (рис. 2) или треугольника.

Аналогично, в случае `N` зарядов:

`vecE=vecE_1+vecE_2+. +vecE_N=sum_(k=1)^N vecE_k`, (1.3.3)

причём векторная сумма вычисляется по правилу многоугольника (либо последовательно несколько раз по правилу параллелограмма).

Введя понятие напряжённости электрического поля, мы каждой точке пространства около заряда `q` (или около системы зарядов) приписываем некоторый вектор `vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2)vece` (в случае системы зарядов нужно ещё вычислить сумму (1.3.3.)), который, в конце концов, позволяет вычислять по формуле `vecF=q^’vecE` силу, действующую на любой другой заряд `q^’`.

Расстояние между точечными зарядами `q_1=+1` нКл и `q_2=-2` нКл равно `d=13` см. Определить напряжённость результирующего электрического поля обоих зарядов в точке, расположенной на расстоянии `r_1=5` см от первого и `r_2=12` см от второго заряда.

Легко заметить, что `r_1^2+r_2^2=d^2`, т. е. треугольник, образованный зарядами и интересующей нас точкой, прямоугольный. Поэтому напряжённости, создаваемые в этой точке отдельными зарядами, перпендикулярны друг другу (рис. 3). Далее, по теореме Пифагора

`E=sqrt(E_1^2+E_2^2)`, где `E_1=1/(4pi epsilon_0) (q_1)/(r_1^2)=3600` В/м и `E_2=1/(4pi epsilon_0) (|q_2|)/(r_2^2)=1250` В/м.

В итоге `E~~3811` В/м.

Электрическое поле равномерно заряженной сферы. Вне равномерно заряженной сферы электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр сферы точечный заряд, равный по величине суммарному заряду сферы (рис. 4, а – б). Нетривиальный факт состоит в том, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю (см. `[2 – 3]`).

Если имеются две концентрические равномерно заряженные сферы, то за пределами обеих сфер поле такое же, какое создавали бы два точечных заряда, равные зарядам сфер и помещённые в их общий центр. В области между сферами внешняя сфера не вносит вклада в напряжённость поля.

Вне равномерно заряженного по объёму шара электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду шара. Последнее легко понять: поле шара можно представить как результирующее поле множества тонких шаровых слоёв («сфер»). О том, каким будет поле внутри шара, см. Пример 8.

Оценить заряд Земли `Q`, если известно, что в среднем вблизи поверхности Земли существует статическое электрическое поле, направленное вниз перпендикулярно поверхности Земли в каждой её точке, напряжённость которого равна `E~~130` В/м. Радиус Земли `R~~6370` км.

Напряжённость электрического поля направлена вниз перпендикулярно поверхности Земли, т. е., к центру Земли. Отсюда можно сделать вывод, что заряд Земли отрицателен. По формуле (1.3.1).

`|Q|=4pi epsilon_0ER^2=(130*(6,37*10^6)^2)/(9*10^9)~~5,9*10^5` Кл, т. е. `~~600` тысяч кулон.

Хотя атмосфера Земли обладает положительным электрическим зарядом, она не вносит вклада в напряжённость электрического поля на поверхности Земли (каждый из её сферических слоёв даёт нулевой вклад в напряжённость поля). Напряжённость поля порядка `130` В/м есть среднее поле вблизи поверхности Земли. При приближении, например, грозовой тучи поле может возрасти в тысячи раз.

Какой максимальный заряд можно сообщить металлическому шарику радиусом `r=1` см, чтобы ещё не происходило пробоя воздуха. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»~~3*10^6` В/м. (Если напряжённость электрического поля больше этого значения, происходит пробой воздуха – воздух начинает проводить электричество (возникает электрический ток) – и заряд стекает с заряженных тел на другие тела.)

По формуле (1.3.1) получаем `q_(max)=4pi epsilon_0E_»пр»r^2~~0,33*10^(-7)`Кл.

Оценить силу взаимодействия двух шариков радиусом `r=1` см, заряженных до максимально возможного заряда (чтобы ещё не происходило пробоя воздуха вблизи шариков) при расстоянии между центрами шариков `d=10` см. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»~~3*10^6` В/м.

`f=1/(4pi epsilon_0) (q_(max)^2)/(d^2)=1/(4pi epsilon_0) ((4pi epsilon_0E_»пр»r^2)^2)/(d^2)=(4pi epsilon_0E_»пр»^2r^4)/(d^2)~~10^(-3)` H.

Мы получили весьма малую силу (сила тяжести, действующая на льдинку массой `1` г объёмом примерно в `1 «см»^3`, почти в `10` раз больше). Вот почему, хотя электрические силы обычно считаются большими, заметить их не всегда легко. Реально мы видим лишь электрическое притяжение друг к другу очень лёгких тел (например, листочков бумаги к наэлектризованной расчёске).

Пользуясь тем свойством, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю, найти напряжённость поля внутри равномерно по объёму заряженного шара радиусом `R` и зарядом `Q`. (К таким практически равномерно по объёму заряженным шарам можно с хорошей точностью отнести, например, атомные ядра.)

Найдём напряжённость поля в какой-нибудь точке `A` на расстоянии `r вне малого шара радиуса $$ r$$ не вносит вклада в напряжённость электрического поля в точке `A`.

Внутренняя область шара радиуса `r` создаёт в точке `A` электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду этого шара радиуса `r`. Этот заряд вычислим по формуле `q=(4pi)/3 r^3 rho`, где `rho` — объёмная плотность заряда, равная `rho=Q//((4pi)/3 R^3)`, поэтому `q=Q (r^3)/(R^3)`. Напряжённость поля, создаваемая точечным зарядом `q` на расстоянии `r`, найдём по формуле (1.3.1). В итоге получаем

`vecE(vecr)=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r*vece = 1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3)vecr`,

т. е. `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r`

при `rR`, разумеется, `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(r^2)` — напряжённость поля шара такая же, как от точечного заряда `Q`.

Электрический диполь. Так называется система, состоящая из двух точечных зарядов равных по величине, но противоположных по знаку. Пусть заряды `q_1=-q` и `q_2=+q` в некоторой системе координат характеризуются радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2` (см. рис. 6). Дипольным моментом диполя называется векторная величина `vecp=q_1vecr_1+q_2vecr_2=q(vecr_2-vecr_1)=qvecl`, а величина `l=|vecl|=|vecr_2-vecr_1|` называется плечом диполя.

Два точечных заряда диполя `q_1=e` и `q_2=-e`, где `e=1,6*10^(-19)` Кл, расположены на расстоянии `l=10^(-10)` м друг от друга. Определить напряжённость электрического поля на расстоянии $$ R=10l>>l$$ от центра диполя в направлении оси диполя. Ответ выразить через дипольный момент диполя `p=el`.

`~~e/(4pi epsilon_0) (2Rl)/(R^4) =1/(4pi epsilon_0) (2el)/(R^3)=1/(4pi epsilon_0) (2p)/(R^3)~~2,88*10^8` В/м.

Рассмотрим более сложный пример использования принципа суперпозиции.

По тонкому кольцу радиусом `r` равномерно распределён заряд `q`. Найти напряжённость электрического поля на оси кольца в точке `A`, расположенной на расстоянии `R` от центра (рис. 7).

Напряжённость поля направлена, очевидно, вдоль линии, соединяющей точку `A` и центр кольца, т. е. перпендикулярна плоскости кольца. Рассмотрим малый элемент кольца с зарядом `Deltaq`, который будем рассматривать как точечный. Вклад от него в искомую напряжённость поля есть `DeltaE=k(Deltaq)/(R^2+r^2)cosalpha`, где `k=1//4pi epsilon_0`, `alpha` — угол, под которым из точки `A` виден радиус кольца, `cosalpha=R/(sqrt(R^2+r^2))`. Тогда `DeltaE=k(Deltaq)/((R^2+r^2)^(3//2))R`. Все различные элементы кольца `Deltaq` находятся на одинаковом расстоянии от точки `A`, поэтому вносят одинаковый вклад в результирующую напряжённость электрического поля в этой точке. Сумма вкладов от всех элементов кольца будет равна `E=1/(4pi epsilon_0) (R*q)/((R^2+r^2)^(3//2))`. Заметим, что в предельном случае больших расстояний до точки `A` (или малого радиуса кольца), когда выполняется сильное неравенство $$ R>>r$$ наша формула переходит в формулу `E~~1/(4pi epsilon_0) q/(R^2)` для точечного заряда.

Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Вычисление поля в данном случае требует привлечения знаний высшей математики. Без сложных вычислений можно, однако, сделать два следующих утверждения, основываясь лишь на соображениях симметрии, а также на том факте, что густота линий напряжённости пропорциональна величине `vecE` (см. Учебник):

1) Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости перпендикулярно плоскости (рис. 8). Дело в том, что перпендикуляр к плоскости – единственное выделенное направление в задаче. Если бы вектор `vecE` был направлен под некоторым углом `alpha` к плоскости, мы бы ещё спросили себя: «Чем это направление лучше, чем все другие прямые, имеющие тот же угол `alpha` с плоскостью, и направленные вдоль образующих конуса с углом `alpha` при вершине?» Ясно, что ничем не лучше: если плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках, то и любые направления вдоль неё эквивалентны друг другу.

2) Величина электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости одинакова во всех точках пространства. В самом деле, все точки на плоскости, параллельной нашей заряженной плоскости, эквивалентны друг другу (снова вспоминаем, что наша плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках). Это означает, что при движении в плоскости, параллельной нашей равномерно заряженной плоскости, густота линий напряжённости электрического поля не изменяется. Но в силу перпендикулярности вектора `vecE` к плоскости во всех точках, эта густота линий не будет изменяться и при удалении от заряженной плоскости (вне плоскости нет зарядов, на которых могли бы закончиться «силовые» линии). Таким образом, густота линий напряжённости электрического поля будет одинаковой во всех точках пространства, независимо от расстояния до нашей заряженной плоскости. Это эквивалентно тому, что электрическое поле по обе стороны от бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно, т. е. одинаково во всех точках обоих полупространств. Разумеется, по разные стороны от заряженной плоскости напряжённости поля направлены в противоположные стороны. В случае положительно заряженной плоскости вектор `vecE` в обоих полупространствах направлен от плоскости, а в случае отрицательно заряженной — к плоскости.

Величина вектора напряжённости `vecE` может быть вычислена по формуле

которую мы приведём без вывода, где `sigma=Deltaq//DeltaS` — поверхностная плотность заряда, `Deltaq` — заряд элемента поверхности площадью `DeltaS`.

Хотя в природе не существует бесконечных равномерно заряженных плоскостей, формула (1.3.4) с успехом используется для расчётов электрических полей заряженных тел в виде больших пластин или просто плоских объектов при небольшом удалении от центральной их части.

Электростатическое поле создаётся двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными с поверхностными плотностями заряда `sigma_1=-1 «нКл»//»м»^2` и `sigma_2=+1 «нКл»//»м»^2`. Определить напряжённость электрического поля между плоскостями и снаружи.

`|sigma_1|=sigma_2-=sigma`, `|E_1|=|E_2|-=E=sigma//2 epsilon_0`. Далее воспользуемся принципом суперпозиции полей. Между плоскостями напряжённости полей отдельных пластин направлены в одну и ту же сторону (рис. 9), по этому результирующая напряжённость `E_(«in»)=2E=sigma//epsilon_0=113` В/м и направлена от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поля разных плоскостей направлены в противоположные стороны, поэтому результирующая напряжённость поля там `E_(ex)=0`.

Пользуясь принципом суперпозиции, доказать, что напряжённость электрического поля равномерно заряженной полусферической чаши во всех точках плоскости, стягивающей края чаши (как кожа на барабане), перпендикулярна этой плоскости.

Мысленно дополним полусферу ещё одной такой же полусферой так, чтобы получилась целая сфера. Напряжённость поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. С другой стороны, эта напряжённость складывается из двух напряжённостей – исходной полусферы `vecE` и мысленно добавленной `vecE^’`. Таким образом, имеем равенство `vecE+vecE^’=0`, или `vecE=-vecE^’`. Последнее возможно только в том случае, если углы наклона векторов `vecE` и `vecE^’` к плоскости одинаковы, т. е. равны `90^@` (рис. 10).

ТЕОРЕМА ГАУССА

В лекции №4 п.1 была установлена связь между электростатическим полем и его источниками (зарядами) в виде определения напряженности (4.4). Однако эта связь может быть записана гораздо более простым и изящным способом, для изложения которого нам придётся вначале ознакомиться с рядом математических понятий.

2. Определение и общие замечания о структуре векторного поля(математическое отступление).

Пусть в некоторой области пространства определено какое-либо векторное поле. Это означает, что в каждой точке данной области пространства задан вектор поля, который будем обозначать .

Структуру векторного поля составляют векторные, или как их называют в физике, силовые линии — кривые в пространстве, касательная в каждой точке которых совпадает по направлению с определенным в этой точке пространства вектором поля (рис.5.1). Следует отметить, что в отличие от скалярных полей (например, поля температур) структура векторных полей гораздо более сложная. Это связано с характером поведения векторных линий в различных точках пространства. Так, могут существовать точки пространства, в которых векторные линии могут начинаться или заканчиваться. Если какая либо точка пространства является началом векторных линий, то говорят, что в этой точке пространства находится источник векторного поля. Точка же пространства, в которой заканчиваются векторные линии, называется стоком. Очевидно, что для электрического поля источниками и стоками являются, соответственно, положительные и отрицательные заряды. При этом, чем больше векторных линий начинается в данной точке пространства, тем мощнее, обильнее находящийся в этой точке пространства источник. Для количественной (математической) характеристики источников векторного поля в математической теории поля вводят некоторую скалярную функцию, называемую дивергенцией (от латинского слова divergentia — расхождение, расходимость).

Заметим, что вся терминология пришла из гидродинамики, поэтому для наглядности можно представлять себе поле скоростей при течении жидкости, например, в ванне. Тогда источник — это водопроводный кран или душ, а сток — дырка в ванне.

3. Понятие потока и дивергенции(математическое отступление).

Пусть в области пространства, в которой определено векторное поле находится поверхность S.

def:Потоком векторного поля через поверхность S называется поверхностный интеграл . (5.1)

Как видно из этого определения интегрируется, фактически, нормальная составляющая вектора (рис 5.1). В связи с этим используется еще следующее обозначение потока: , а также , где .

Если поверхность S является замкнутой, то поток вектора через такую поверхность обозначается

где — внешняя по отношению к ограниченному поверхностью S объему пространства нормаль (рис.5.2). На этом же рисунке показано как мы приходим к выражению (5.2) — путём разбиения поверхности интегрирования S на малые элементы и образования интегральной суммы, предел которой и дает (5.2). Отметим, что один бесконечно-малый элемент показан и на рис 5.1.

Теперь дадим определение дивергенции векторного поля. Окружим точку пространства М, где имеется источник векторного поля, произвольной замкнутой поверхностью S.

def: Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел, к которому стремится отношение потока вектора через поверхность S к объему D V, ограниченному этой поверхностью, когда последняя стягивается к точке М, а D V→0 . (5.3)

Как видно из определения, дивергенция представляет собой плотность потока векторного поля.

rem: Известно, что плотность какой-либо величины, заданной в пространстве, (например плотность заряда), определяется как предел отношение этой величины, заключенной в объеме D V к величине данного объема. Так и в (5.3) дивергенция определяется как предел отношения потока векторного поля изнутри объема D V, к величине этого объема.

Ясно, что если в точке М находится источник поля, то , (т.к. поток поскольку ), если же , то в точке М находится сток векторного поля (т.к. поток поскольку ). Кроме этого как видно из (5.3), чем больше поток вектора (числитель в (5.3)), тем больше , тем, соответственно, больше векторных линий начинается в данной точке пространства, и следовательно, тем мощнее, обильнее источник. Отметим, между прочим, что использовать в качестве характеристики мощности источников поля просто поток векторного поля было бы нельзя, поскольку он при стягивании поверхности интегрирования S к точке М стремится к нулю. Стягивание же поверхности S к точке М необходимо, поскольку источники поля могут быть очень близко расположены друг к другу, и мы обязаны разделить их, определяя мощность каждого источника. (Например, заряды в молекулах расположены на расстояниях порядка нескольких ангстрем друг от друга, а в атомах и того меньше) При вычислении же предела отношения в (5.3), мы получаем некоторое конечное выражение. То есть, дивергенция векторного поля является локальным понятием — функцией точки пространства.

Продолжая аналогии с гидродинамикой, можно говорить, что поток векторного поля скоростей текущей жидкости через поверхность S — это количество жидкости (объем), протекающее через эту поверхность в единицу времени, а дивергенция — количество жидкости, появляющейся или исчезающей в данной точке пространства в единицу времени, отнесенное к единице объема (плотность потока жидкости).

4. Дивергенция в различных системах координат (математическое отступление).

Исходя из определения дивергенции (5.3) в математической теории поля получают следующие формулы, позволяющие вычислять дивергенцию в различных системах координат:

В декартовой (x,y,z)

в цилиндрической ( r,j ,z)

в сферической ( r,q,j )

5. Формула_Остроградского — Гаусса (математическое отступление).

В математическом анализе доказывается следующее соотношение, называемое теоремой Остроградского — Гаусса:

связывающее поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному данной поверхностью.

6. теорема Гаусса в физике.

В электродинамике данная теорема называется просто теоремой Гаусса и формулируется следующим образом:

Lex: Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S пропорционален полному заряду Q, заключенному внутри объема, охваченного данной поверхностью . (5.5)

Не доказывая данной теоремы, покажем, как можно прийти к её формулировке. Пусть имеется сферическая замкнутая поверхность произвольного радиуса, а в центре точечный заряд q (рис.5.3а). Задача симметрична. Очевидно, что

Т.о., получили, что поток не зависит от радиуса сферы. Теперь эту сферу окружим произвольной поверхностью (рис.5.3б). Понятно, что поток чего-то, обратно пропорционального квадрату расстояния, через замкнутую поверхность не зависит от формы и размера поверхности.

rem: Эта теорема имеет более общий характер, чем закон Кулона, на основе которого обычно строится ее доказательство.

Легко получить дифференциальную форму данной теоремы для величин, относящихся к точке пространства.

где r — объёмная плотность заряда, то, используя теорему Гаусса, можно записать

Левые части формул равны, следовательно, равны и правые, а значит и подынтегральные функции:

7. Использование теоремы Гаусса для расчёта электростатических полей (общие соображения).

Теорема Гаусса связывает напряженность электрического поля с зарядами, это поля создающими. Она, в принципе, позволяет, зная напряженность, найти распределение зарядов. Однако, чаще в электродинамике ставится задача определения напряженности поля, создаваемого известным распределением зарядов в пространстве. При такой формулировке теорема Гаусса является интегральным уравнением — неизвестная функция находится в подынтегральном выражении. Данный факт очень ограничивает возможность использования теоремы Гаусса для практического расчета электростатических полей. Дело в том, что такой расчет оказывается возможным лишь для очень симметричных в пространстве распределений зарядов, когда исходя из этой симметрии, заранее известны поверхности, на которых напряженность является постоянной величиной. При этом имеем из (5.5) следующую цепочку равенств:

Очевидно, что такие поверхности есть у любой статической системы зарядов, но заранее они известны далеко не всегда. Например, в случае заряженного диска, или просто заряженной нити, свитой в кольцо, эти поверхности очень сложны и сами требуют весьма непростого расчета. Следовательно, рассчитать поля, создаваемые указанными заряженными телами с помощью теоремы Гаусса нельзя.

Необходимо, однако, сделать следующее замечание о том, что с помощью теоремы Гаусса можно рассчитывать еще поля, создаваемые заряженными телами, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких симметрично заряженных тел. Находя отдельно поля, создаваемые каждым из таких тел, мы, используя принцип суперпозиции электрических полей, находим результирующее поле, создаваемое исходным телом.

8. Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

В качестве первого примера применения теоремы Гаусса для расчета электростатических полей рассмотрим подробно решение задачи о напряженности электростатического поля, созданного равномерно заряженным по объему бесконечно-длинным цилиндром радиуса R. На единицу длины цилиндра приходится заряд t (см. формулу (2.8)).

а) Поскольку геометрия тела обладает цилиндрической симметрией, задачу удобно решать в цилиндрической системе координат ( r,j ,z). Однако, чтобы не возникало путаницы с обозначениями, первую цилиндрическую координату обозначим r, чтобы отличать ее от объемной плотности заряда r .

б) В силу симметрии распределения заряда по объему цилиндра, а также его бесконечной длины можно сделать вывод о том, что в любой точке пространства напряженность электрического поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от расстояния до этой оси:

в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой поверхности данного цилиндра E_r(r)=const (при r=const), а поток вектора через верхнее и нижнее донышки цилиндра равен 0. Последнее же связано с тем, что в каждой точке этих донышек и, следовательно, ). В соответствии с (5.7) и (5.8) имеем:

что представляет собой частный случай формулы (5.8).

Здесь Q — заряд, попавший внутрь поверхности интегрирования.

г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра.

Заряд, попавший внутрь цилиндра радиуса r и высоты h равен (см. рис.5.4) , где — объемная плотность заряда. Следовательно, и мы имеем

При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q= t h. Следовательно

д) Таким образом, напряженность поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:

Рассмотрим теперь пример расчёта полей, создаваемых заряженными телами, обладающими декартовой и сферической симметрией, соответственно.

9. Напряженность бесконечной заряженной плоскости.

Будем считать, что плоскость имеет две поверхности с поверхностной плотностью заряда s >0 на каждой. Из симметрии задачи ясно, что . Построим цилиндрическую поверхность произвольной высоты с произвольным основанием S (можно обычный цилиндр — рис.5.6). Очевидно, что поток через боковую поверхность этого цилиндра равен 0. Поток наружу через основания равен 2SE. Заряд внутри выделенной поверхности Q=2S s . Получается однородное поле E= s/e₀ .

Если еще учесть знаки, то тогда проекция напряженности на ось ОХ будет равна

, или . (5.11) где sign(x) — так называемая знаковая функция. Следовательно

Очевидно, что скачок напряженности на заряженной поверхности равен 2 s/e₀ . Запомним пока этот факт.

10. Напряженность двух бесконечных заряженных плоскостей.

В этом случае заряд распределен только по внутренним сторонам поверхностей (из-за взаимовлияния) с плотностью s ‘=2 s . Поле внутри

. Снаружи поля нет. Окончательно

11. Напряженность равномерно заряженной сферы.

Пусть по поверхности сферы равномерно распределен электрический заряд q (рис.5.9). Задача центрально-симметричная , поэтому в качестве поверхностей интегрирования выбираем сферы радиуса r. При этом в соответствии с (5.8) будем иметь:
внутри сферы, так как Q=0, то E_r=0,
снаружи сферы, поскольку Q=q, то E_r=q/4 p r 2 e ₀. Таким образом, получаем, формулу (5.13) и график на рис.5.11.

12. Напряженность равномерно заряженного шара.

Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12). Задача снова центрально симметричная, т.е. (E_r,0,0). Вне шара все аналогично сфере. Применение интегральной формы теоремы Гаусса для внешней области вполне стандартно. Покажем, что этот же результат может быть получен и с помощью дифференциальной формы этой же теоремы (5.6). В нашем случае это уравнение с учетом выражения для дивергенции в сферической системе координат имеет вид

Разделяя переменные, получим

Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0. В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.

13. Теорема Ирншоу(1839 г.).

Утверждение о неустойчивости статической системы зарядов называется теоремой Ирншоу.

Lex: Совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния не может образовывать устойчивой равновесной системы.

Действительно, пусть имеется заряд, для определенности положительный. Окружим его произвольной замкнутой поверхностью. Чтобы он находился в устойчивом равновесии, необходимо, чтобы поле, образованное всеми остальными зарядами, было направлено к той точке, в которой он первоначально находился. Тогда при отклонении его от положения равновесия, на него будет действовать возвращающая сила. Но в этом случае поток напряженности через эту замкнутую поверхность должен быть отрицательным, т.к. напряженность противоположно направлена внешней нормали. Однако, по теореме Гаусса, поток поля, созданного зарядами вне поверхности, должен быть равен 0. Иначе говоря, нет “пустой” области, где все поле направлено внутрь или наружу. С энергетической точки зрения неустойчивость связана с отсутствием минимума потенциальной энергии.

Если заряды не могут иметь неустойчивого равновесия, то нельзя представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов). Первая модель атома Томсона представляла собой «положительный пудинг с отрицательными изюминками», то есть неустойчивая система.

Резерфорд показал, что в атоме есть маленькое положительное ядро, но такая система тоже неустойчива.

Резерфорд и Бор предложили движение электронов по орбитам. Но так как они в этом случае движутся с центростремительным ускорением, то должны излучать, терять энергию и упасть на ядро. Опять неустойчивость!

Сейчас стабильность атома объясняют с помощью квантовой механики. Электрон «размазан» в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. И такая система устойчива!

Выходит, что вновь вернулись к идее Томсона, только теперь есть «отрицательный» шар, а внутри «положительная косточка» — ядро. Неисповедимы пути науки!

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Уже первые эксперименты в области электричества установили, что вещества существенно отличаются по своей способности сохранять и передавать “нечто электрическое”. Некоторые (стекло, шерсть, эбонит, янтарь, пластмассы) легко можно наэлектризовать трением и сохранять заряд достаточно долго. Другие (металлы) электризовать надо особым образом, например, через влияние (см. рис.9.1). Они получили названия соответственно изоляторы и проводники. Следует отметить, что различие в проводимости может быть очень большим (до 10 25 раз). Так для меди удельное сопротивление 1,72 . 10 -8 Ом . м, а для янтаря или второпласта — 10 17 Ом . м.

Однако в природе нет абсолютных проводников или изоляторов. Одни и те же вещества при разных условиях могут являться как проводниками, так и изоляторами. Например, стекло в обычных условиях является изолятором, однако при нагреве может стать вполне хорошим проводником (рис.9.2). Уместна следующая механическая аналогия: асфальт мы воспринимаем как твердое тело, хотя с точки зрения геологических масштабов времени — это жидкость, способная просачиваться сквозь горные породы и образовывать озера.

2. Классификация проводников.

классические			новые (ХХ век)
металлы	электролиты	плазма	сверх проводники	полу проводники
электроны	положительные и отрицательные ионы	электроны, положительные и отрицательные ионы	электронные куперовские пары	электроны и дырки

Мы относим сверхпроводники и полупроводники к проводникам, хотя это вопрос весьма спорный, так как они обладают особыми свойствами. Однако общим свойством для всех проводников является то, что в них имеются свободные носители заряда, поэтому заряды, возникающие во внешнем электростатическом поле, могут быть легко отделены друг от друга и перемещаться внутри проводника.

3. Поле и заряд внутри проводника.

Мы начинаем изучение поля в веществе. Так как любое вещество состоит из заряженных элементарных частиц, то микроскопическое электрическое поле есть всегда. Мы говорим только об усредненном по большим объемам поле.

Пусть есть два слоя зарядов, создающих электростатическое поле. Расположим между ними очень неплотное тело без свободных зарядов. Поле практически не исказится (рис.9.3а). Если каким-то образом создать внутри свободные заряды, то они придут в движение (рис.9.3б). За пределы тела они выйти не могут, поэтому начнут скапливаться вблизи поверхности и создавать внутри проводника свое собственное поле. Это будет происходить до тех пор, пока внутри первоначальное поле не будет полностью уничтожено. Окончательное распределение зарядов и поля показано на рис.9.3в.

Данное утверждение легко доказать на практике. На рис.9.4 показано распределение поля созданного двумя разноименными зарядами и нейтральным металлическим кольцом. Картина получена с помощью размельченных кристаллов гипса. Видна структура поля за пределами кольца. Внутри кольца поля нет.

Следовательно, по теореме Гаусса и объемная плотность заряда в проводнике равна 0. Заряд может располагаться только на поверхности проводника. Если проводник полый, то заряд находится только на внешней поверхности.

Возьмем гибкую металлическую сетку с наклеенными легкими бумажными листочками (сетку Кольбе) (см. рис.9.5) и зарядим ее. На выпуклых поверхностях сетки листочки будут отклоняться больше, чем на вогнутых.

Если вы решали задачу о перераспределении заряда между двумя соединенными проводящими шарами (см.лк.6.п.16), то уже знаете выражения

где Q — исходный суммарный заряд, а q₁ и q₂ — оставшиеся на шарах заряды. Понятно, что при перераспределении зарядов по проводнику течет ток и изменяется электрическое поле. Но сейчас нас интересует другое.

Сравним поверхностные плотности зарядов на этих шарах, считая, что они далеко друг от друга и заряжены равномерно.

Следовательно, там, где радиус кривизны поверхности меньше, там поверхностная плотность заряда больше и поэтому заряды будут собираться на остриях. Стоит обратить внимание на распределение заряда на рис.6.10. и 9.7.

Поверхностная плотность заряда может стать столь большой (следовательно, большая напряженность), что заряд может стекать с острия. Вблизи острия молекулы поляризуются, притягиваются к острию, заряжаются одноименно и отталкиваются. Сила отталкивания превосходит силу притяжения, так как она действует на заряженные молекулы, а сила притяжения на нейтральные. Возникает поток заряженных частиц воздуха, направленный от острия, так называемый электрический ветер, который может отклонить пламя свечи или вообще задуть ее (рис.9.8).

Еще одна демонстрация данного явления -это колесо Франклина (рис.9.9)- аналог Сегнерова колеса в гидродинамике. Поток частиц, стекающий с остриев, приводит во вращение легкий крест из металлических проволок.

В очень сильных полях механизм утечки заряда более сложный. Воздух может ионизоваться, и возникает электрический ток (пробой). Для воздуха критическая напряженность ~3 МВ/м. На этом явлении основано действие молниеотвода, который мы продолжаем называть громоотводом по традиции. Подробнее об этом мы расскажем при изучении газовых разрядов.

4. Напряженность и потенциал на поверхности проводника.

Рассмотрим какую-либо заряженную поверхность произвольной формы с поверхностной плотностью заряда s, разделяющую два полупространства в которых есть электростатическое поле (рис.9.10).

Возьмем бесконечно малую площадку dS и построим цилиндр очень малой высоты (консервную банку). Тогда по теореме Гаусса (поток через боковую поверхность пренебрежимо мал) имеем

В проекциях на единую нормаль , проведенную от первой области ко второй

Таким образом, при переходе через заряженную поверхность нормальная составляющая электростатического поля терпит разрыв (вспомним, что мы уже отмечали этот факт в лекции №5 п.9).

Теперь возьмем очень маленький участок границы dl и окружим его прямоугольником крайне малой высоты (рис.9.11). Применим теорему о циркуляции, пренебрегая циркуляцией по боковым сторонам прямоугольника.

В проекции на единый вектор касательной

Таким образом, касательная составляющая электростатического поля непрерывна. Это и понятно. Иначе существовало бы непрерывное движение зарядов вдоль поверхности.

Выражения (9.5) и (9.7) называются граничными условиями.

Подумаем, к чему приведут эти выводы, если в качестве второго полупространства взять проводник.

выводы: электростатическое поле всегда перпендикулярно поверхности проводника;
потенциал постоянен по всей поверхности и по всему объему проводника.
Линии напряженности начинаются (или оканчиваются) на поверхности проводника, не проникая внутрь (см. рис.9.3).

rem: Наивно думать, что источником поля является только поверхностная плотность заряда. Поле создается всеми зарядами системы. Поверхностный заряд на проводнике “приспосабливается” к влиянию окружающих зарядов, пока не будут выполнены вышеприведенные соотношения.

5. Теоремы Фарадея.

Рассмотрим теперь несколько утверждений, которые в совокупности называются теоремами Фарадея.

Пусть имеется проводящая полость, внутри которой находится система зарядов. Внутри проводника проведем замкнутую поверхность S, которая на рисунке 9.12 показана штриховой линией. Так как напряженность на S равна 0 (внутри проводника!), то по теореме Гаусса заряд внутри поверхности S должен равняться 0. Следовательно, на внутренней поверхности полости образовался заряд, противоположный по знаку расположенному внутри. По закону сохранения заряда на внешней поверхности полости образовался заряд, аналогичный расположенному внутри. Если каким-то образом соединить внутренний заряд с внутренней поверхностью полости, то внутри заряд уничтожится, а на поверхности останется. Таким образом, можно сообщить телу весьма большой заряд с помощью цилиндра ( ведерка) Фарадея (рис.9.13).

Принцип действия электростатического генератора (генератора Ван де Граафа) показан на рис.9.14.

Положительный полюс источника питания а) соединен с шаром е). Отрицательный полюс заземлен. Пробный шарик б) касается шара е), заряжается и переносится внутрь большого шара в), где и разряжается. Заряд переходит на внешнюю поверхность сферы в). Электрометр г) показывает нарастание потенциала. Процесс можно автоматизировать, если соединить положительный полюс источника с водой д). Таким образом можно «накапать» весьма большой заряд.

Сами теоремы Фарадея можно сформулировать следующим образом.

Lex: Заряд на внутренней поверхности проводящей оболочки равен по модулю и противоположен по знаку заряду, окруженному этой оболочкой.

Lex: Внешние заряды не создают внутри проводника никакого поля.

6. Электростатическая защита.

Последняя теорема обеспечивает действие электростатической защиты.

Если сетку Кольбе замкнуть и накрыть сверху и снизу тоже сеткой, то получим устройство, которое называется клеткой Фарадея (рис.9.15). Она располагается, конечно, на изолирующих подставках. Фарадей в 1836 г забрался внутрь клетки сам и захватил с собой электроизмерительные приборы. Клетка заряжалась от электростатической машины до очень высокого потенциала, однако внутри Фарадей не отмечал никакого поля.

Сейчас точные приборы тоже помещают в металлический кожух. Физики, использующие высоковольтные ускорители Ван де Граафа, также забираются со своими приборами внутрь. И хотя разность потенциалов достигает миллионов Вольт, им нечего бояться. Их охраняет сам Фарадей.

rem: Следует отметить, что электростатическая защита не “экранирует” внешнее поле, а позволяет зарядам в проводнике перераспределиться и создать компенсирующее поле.

7. Генератор Ван де Граафа(1931 г.).

Мы достаточно подробно рассмотрели его принцип работы, а устройство понятно и без слов (рис.9.16).

1- металлическая сфера диаметром 4-5 м;

2- изолирующие опоры;

3- лента из прорезиненной ткани;

4- вращающиеся шкивы;

6- заземленная пластина;

8- источник (несколько кВ)

Изоляция из элегаза (SF₆) позволяет избежать пробоя и поднять потенциал до 15-20 МВ.

Демонстрационный генератор Ван де Граафа показан на рис.9.17. Два шара использованы для того, чтобы один зарядить положительно, другой отрицательно.

Почему внутри сферы напряженность равна 0

Справка.
Отметим, что теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля более простыми средствами, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.
Интегральная форма теоремы Гаусса используется при решении прямых задач электростатики: вычисление неизвестной напряженности E и потенциала ЭСП по известному пространственному распределению зарядов.
Ее применение для расчёта электрических полей эффективно в тех случаях, когда поле обладает высокой симметрией, такой, что можно выбрать простую поверхность интегрирования и вычисление потока вектора E свести к умножению модуля напряжённости на площадь поверхности.
Решение обратных задач электростатики, т.е. определение пространственного распределения зарядов по заранее известной структуре ЭСП возможно с использованием дифференциальной формы теоремы Гаусса.
Примеры решения прямых задач, т.е. вычисления напряженности и потенциала ЭСП с использованием теоремы Гаусса предлагаются ниже.

Пример 1. Равномерно заряженная плоскость.
Напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда , можно рассчитать, воспользовавшись теоремой Гаусса.

Из условий симметрии следует, что вектор E везде перпендикулярен плоскости. Кроме того, в симметричных относительно плоскости точках вектор E будет одинаков по величине и противоположен по направлению.
В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания расположены симметрично относительно плоскости, как показано на рисунке.
Так как линии напряжённости параллельны образующим боковой поверхности цилиндра, то поток через боковую поверхность равен нулю. Поэтому поток вектора Е через поверхность цилиндра

где — площадь основания цилиндра. Цилиндр вырезает из плоскости заряд . Если плоскость находится в однородной изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью , то

Когда напряженность поля не зависит от расстояния между плоскостями, такое поле называют однородным. График зависимости E (x) для плоскости.

Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях R₁ и R₂ от заряженной плоскости, равна

Пример 2. Две равномерно заряженные плоскости.
Рассчитаем напряжённость электрического поля, создаваемого двумя бесконечными плоскостями. Электрический заряд распределен равномерно с поверхностной плотностями и . Напряженность поля найдем как суперпозицию напряжённостей полей каждой из плоскостей. Электрическое поле отлично от нуля только в пространстве между плоскостями и равно .

Разность потенциалов между плоскостями , где d — расстояние между плоскостями.
Полученные результаты могут быть использованы для приближённого расчета полей, создаваемых плоскими пластинами конечных размеров, если расстояния между ними много меньше их линейных размеров. Заметные погрешности таких расчётов появляются при рассмотрении полей вблизи краев пластин. График зависимости E (x) для двух плоскостей.

Пример 3. Тонкий заряженный стержень.
Для расчёта напряжённости электрического поля, создаваемого очень длинным заряженным с линейной плотностью заряда стержнем, используем теорему Гаусса.
На достаточно больших расстояниях от концов стержня линии напряжённости электрического поля направлены радиально от оси стержня и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Во всех точках, равноудалённых от оси стержня, численные значения напряжённости одинаковы, если стержень находится в однородной изотропной среде с относительной диэлектрической
проницаемостью .

Для расчета напряженности поля в произвольной точке, находящейся на расстоянии r от оси стержня, проведём через эту точку цилиндрическую поверхность
(см. рисунок). Радиус этого цилиндра равен r, а его высота h.
Потоки вектора напряжённости через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю, так как силовые линии не имеют составляющих, нормальных к поверхностям этих оснований. Во всех точках боковой поверхности цилиндра
Е = const.
Следовательно, полный поток вектора E через поверхность цилиндра будет равен

По теореме Гаусса, поток вектора E равен алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри поверхности (в данном случае цилиндра) делённой на произведение электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды

где заряд той части стержня, которая находится внутри цилиндра. Следовательно, напряжённость электрического поля

Разность потенциалов электрического поля между двумя точками, находящимися на расстояниях R₁ и R₂ от оси стержня, найдём, пользуясь связью между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Так как напряжённость поля изменяется только в радиальном направлении, то

Пример 4. Заряженная сферическая поверхность.
Электрическое поле, создаваемое сферической поверхностью, по которой равномерно распределён электрический заряд с поверхностной плотностью , имеет центрально-симметричный характер.

Линии напряжённости направлены по радиусам от центра сферы, а модуль вектора E зависит только от расстояния r от центра сферы. Для расчёта поля выберем замкнутую сферическую поверхность радиуса r.
При r o Е = 0.
Напряжённость поля равна нулю, так как внутри сферы заряд отсутствует.
При r > R (вне сферы), согласно теореме Гаусса

где — относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей сферу.

Напряжённость уменьшается по тому же закону, что и напряженность поля точечного заряда, т. е. по закону .
При r o .
При r > R (вне сферы) .
График зависимости E (r) для сферы.

Пример 5. Заряженный по объему шар из диэлектрика.
Если шар радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с относительной проницаемостью равномерно заряжен по объёму с плотностью , то создаваемое им электрическое поле также является центрально-симметричным.
Как и в предыдущем случае, выберем замкнутую поверхность для расчёта потока вектора E в виде концентрической сферы, радиус которой r может изменяться от 0 до .
При r R) в среде с диэлектрической проницаемостью , поток вектора E через поверхность будет определяться зарядом .
При r o >R o (вне шара) .
На границе «шар — окружающая среда» напряжённость электрического поля изменяется скачком, величина которого зависит от соотношения диэлектрических проницаемостей шара и среды. График зависимости E (r) для шара ().