Как делить матрицы
Матричная алгебра – раздел математики, который изучает свойства матриц и их применение в решении сложных систем уравнений. В этом разделе также рассматриваются правила действий над матрицами, включая сложение, вычитание и умножение. Хотя деление матриц не является самостоятельной операцией, его можно представить в виде умножения первой матрицы на обратную матрицу второй.
Деление матриц
Деление матриц сводится к двум действиям: поиску обратной матрицы и умножению ее на первую матрицу. Обратная матрица A^(-1) — это такая матрица, которая при умножении на исходную матрицу A дает единичную матрицу. Формула для нахождения обратной матрицы выглядит следующим образом: A^(-1) = (1/∆)•B, где ∆ — определитель матрицы. Определитель должен быть отличен от нуля, иначе обратная матрица не существует. Матрица B состоит из алгебраических дополнений исходной матрицы A.
Пример деления матриц
Давайте рассмотрим пример деления двух матриц. Нам необходимо найти матрицу, обратную второй матрице. Для этого нам нужно вычислить определитель и алгебраические дополнения. Определитель квадратной матрицы третьего порядка вычисляется по формуле ∆ = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a31·a22·a13 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32. В данном примере, определитель равен 27.
Вычисление алгебраических дополнений
Для вычисления алгебраических дополнений используются следующие формулы: A11 = a22•a33 — a23•a32, A12 = -(a21•a33 — a23•a31), A13 = a21•a32 — a22•a31, A21 = -(a12•a33 — a13•a32), A22 = a11•a33 — a13•a31, A23 = -(a11•a32 — a12•a31), A31 = a12•a23 — a13•a22, A32 = -(a11•a23 — a13•a21), A33 = a11•a22 — a12•a21.
Получение обратной матрицы
После нахождения алгебраических дополнений, их необходимо разделить на определитель, который у нас равен 27. Полученная матрица является обратной матрицей второй матрицы. Теперь задача сводится к умножению первой матрицы на новую матрицу.
Умножение матриц
Для выполнения умножения матриц используется формула C = A*B. При умножении элементов матриц, результат записывается в матрицу C. В данном примере, результат умножения матриц выглядит следующим образом:
c11 = a11•b11 + a12•b21 + a13•b31 = 1/3
c12 = a11•b12 + a12•b22 + a13•b23 = -2/3
c13 = a11•b13 + a12•b23 + a13•b33 = -1
c21 = a21•b11 + a22•b21 + a23•b31 = 4/9
c22 = a21•b12 + a22•b22 + a23•b23 = 2/9
c23 = a21•b13 + a22•b23 + a23•b33 = 5/9
c31 = a31•b11 + a32•b21 + a33•b31 = 7/3
c32 = a31•b12 + a32•b22 + a33•b23 = 1/3
c33 = a31•b13 + a32•b23 + a33•b33 = 0
Таким образом, мы рассмотрели процесс деления матриц и нашли обратную матрицу второй матрицы. Затем мы умножили первую матрицу на обратную и получили результат. Матричная алгебра является мощным инструментом для решения сложных систем уравнений и нахождения обратных матриц.
4. Деление матриц:
Деление матриц — действие над матрицами, которое в этом понятии не встретишь в учебниках. Но если есть необходимость разделить матрицу А на матрицу В, то в этом случае используют одно из свойств степеней:
Согласно этому свойству разделим матрицу А на матрицу В:
В результате задача о делении матриц сводиться к умножению обратной матрицы матрице В на матрицу А.
Обратная матрица есть только у невырожденной матрицы, т.е. у той матрицы, определитель которой не равен нулю. У вырожденной матрицы (определитель=0) обратной матрицы не существует.
Матрица обратная данной — это матрица, при умножении на которую данной в результате получается единичная матрица.
Условие обратной матрицы
Итак, если матрица получилась вырожденной, то на этом заканчиваем, т.к. решить обратную матрицу невозможно.
В противном случае, приступим к заполнению обратной матрицы. Для этого надо найти дополнения. Их количество всегда равно числу элементов матрицы. Если матрица третьего порядка, значит у нее 9 элементов, у каждого свое дополнение и все эти дополнения надо искать.
Покажу на примере схемы, как найти дополнение элемента, стоящего в первой строке второго столбца, значит элементы, стоящие в первой строке и втором столбце надо вычеркнуть. Оставшиеся элементы (их 4) — записываем в новый определитель, умноженный на (-1) в степени (1+2), где 1 и 2 -номера строки и столбца.
После нахождения всех дополнений составляем обратную матрицу, она представляет собой транспонированную матрицу к той, которая составлена из полученных дополнений, деленная на определитель исходной матрицы. Вот почему важно, чтобы матрица была невырожденной (на нуль ведь делить нельзя).
Рассмотрим на примере нахождение обратной матрицы:
Пусть дана матрица В:
Найдем ее определитель:
Определитель равен 232, это не ноль, значит матрица невырожденная и для нее можно найти обратную матрицу.
Для этого найдем 9 дополнений:
Дополнение для элемента, стоящего в первой строке первого столбца:
Дополнение для элемента, стоящего в первой строке второго столбца:
Дополнение для элемента, стоящего в первой строке третьего столбца:
Теперь определим следующие три дополнения для второй строки:
И последние три для третьей строки:
Теперь составим обратную матрицу:
Матрица обратная данной найдена.
Чаще всего нахождение ранга матрицы вызывает сложности, хотя решение данной задачи почти ни чем не отличается от предыдущих. Давайте разберемся — вам надо найти ранг матрицы. Во — первых, ранг матрицы — это какое то число. Во-вторых, максимум оно может быть равно минимальному числу из количества строк или столбцов матрицы, т.е. если матрица имеет размер 4х5, то максимум ранг будет 4. В- третьих, минимум ранг матрицы равен 1, если только вы не имеете дело с нулевой матрицей, там всегда ранг равен нулю.
Как же найти это число, называемое ранг матрицы?
Для начала найдем минор матрицы некоторого элемента. Минор некоторого элемента матрицы — это определитель той матрицы, которая получается путем вычеркивания строки и столбца из исходной матрицы, в которых стоит некоторый элемент.
Не путайте с алгебраическим дополнением матрицы! Как видно на схеме, минор — это всего лишь определитель на порядок меньше исходного определителя, а дополнение — это полученный определитель, домноженный еще на (-1) в степени суммы номера строки и столбца, вычеркнутых в исходной матрице. Так вот нам надо искать миноры, именно они позволяют найти ранг матрицы.
Порядок первого минора определяется следующим образом:
1. посчитайте количество строк и столбцов в данной матрице;
2. выберите минимальное из этих двух чисел ( в случае если они разные);
3. отнимите единицу от получившегося числа.
Теперь у вас есть значение, которое показывает, сколько в миноре должно быть строк и столбцов. Миноров этого порядка может быть несколько. Надо ли их искать все? Все будет зависеть от того, чему будут равны эти миноры. Если мино получился, равный нулю, то надо искать другой минор этого порядка, пока не найдете, отличный от нуля. Возможны два случая:
1. Вы нашли минор, не равный нулю — значит ранг матрицы найден. Ранг — это порядок этого минора. Если в миноре было 2 строки и два столбца, значит ранг матрицы равен 2.
2. Вы перебрали все миноры данного порядка и все они равны нулю — значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю.
Ранг матрицы принято обозначать: r, r(A), rang A.
Давайте на примере рассмотрим как найти ранг матрицы. Я предложу вариант, когда количество строк и столбцов разные:
Пусть дана матрица B размера 3х4:
Найдем ее ранг. Начнем искать миноры с порядка 3, т.к. строк в матрице три, а столбцов четыре, минимальное этих чисел — 3.
В матрице В всего четыре минора порядка 3, их можно получить путем вычеркивания:
- первого столбца:
- второго столбца:
- третьего столбца:
- четвертого столбца:
Все миноры равны нулю. Если есть сложности с их расчетами, то прочитайте статью Определитель матрицы.
Итак, мы перебрали все миноры третьего порядка и все они равны нулю – значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю.
Миноры второго порядка:
Т.к. при нахождении миноров третьего порядка мы вычеркивали ноль строк и один столбец, то при нахождении миноров второго порядка, увеличив на единицу количество вычеркиваемых строк и столбцов, получим одну строку и два столбца, которые требуется вычеркнуть.
Уже первый минор, который мы получили путем вычеркивания третьей строки и третьего и четвертого столбцов, получился равен 4. а значит он отличен от нуля.
Значит на этом процесс заканчивается и ранг матрицы равен 2, т.к. последний минор, который мы искали второго порядка,
Как разделить матрицу на число?
Так вот сверху получится некая матрица, как ее разделить на -3?
Дополнен 9 лет назад
Голосование за лучший ответ
Делишь каждый элемент этой матрицы на это число и всё.
Чтобы поделить матрицу на число, нужно поделить на это число каждый её элемент
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Как делить матрицу на число
Сложение определено для матриц одного типа, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \(A=\\>\) и \(B=\\>\), матрица \(A+B\), определяется следующим образом: \((A+B)_=A_+B_\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Иными словами: складываются элементы матриц \(A\) и \(B\), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечении одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , \] \[ B=\left( \begin 2 &1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end \right) , \] тогда \[ A+B=\left( \begin 3 & 5 & -1 \\ 4 & -3 & 11 \end \right) . \]
Умножение матрицы на число
Пусть \(A=\\>\) — матрица типа \((m,n)\), \(\lambda\) — произвольное число. Тогда матрица \(\<\lambda a_
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , \] тогда \[ 5A=\left( \begin 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end \right) . \]
Как и в обычной, в матричной арифметике знак умножения иногда не указывают, так что выражения \(c\cdot A\) и \(cA\) равноправны.
Пусть \[ A=\left( \begin 2 & 3 \\ 4 & 5 \end \right), B=\left( \begin 1 & -2 \\ 3 & 4 \end \right). \]
Проверить ответ
\[3A-2B=\left( \begin 4 & 13 \\ 6 & 7 \end \right)\]
Транспонирование матриц
Если для заданной матрицы \(A\) ее строки записать как столбцы, получим новую матрицу, которая называется транспонированной исходной, и обозначается \(A^T\).
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 & 4 \\ 7 & 5 & 2 & 2\\ 3 & -6 & 7 & 8 \end \right), \] тогда \[ A^T=\left( \begin 1 &7 & 3 \\ 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 7 \\ 4 &2 &8 \end \right) . \]
Подчеркнем, если матрица \(A\) имеет тип (\(m,n)\), то \(A^T\) имеет тип \((n,m)\), так что эта операция, вообще говоря, меняет тип матрицы. В частности, если \(A\) была матрицей-столбцом, \(A^T\) будет матрицей-строкой той же длины. Поэтому из типографских соображений матрицу-столбец часто представляют в виде \((a_1,a_2,a_3. a_n)^T\) (это выражение занимает меньше места).
Элементарные свойства операций с матрицами
Введенные операции обладают многими естественными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.
1. Для любых матриц \(A,B,C\) одного типа \((A+B)+C=A+(B+C)\)(ассоциативность сложения).
2. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения).
3. Пусть \((m,n)\)-матрица \(O\) состоит из нулей. Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой матрицы \(A\) того же типа.
4. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).
5. Для любых матриц \(A,B\) одного типа и любого числа \(c\) верно \(c(A+B)=cA+cB\).
6. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).
7. Для любой матрицы \(A\) верно \(1\cdot A=A\).
8. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \((A+B)^T=A^T+B^T\).
9. Для любого числа \(c\) и любой матрицы \(A\) верно: \((cA)^T=cA^T\).
10. Для любой квадратной матрицы \(detA=detA^T\).
11. Для любой матрицы \((A^T)^T=A\).
Умножение матриц
Рассмотрим сначала умножение матрицы-строки на матрицу столбец. Пусть \(A=(a_1,a_2. a_n)\), \(B=(b_1,b_2. b_n)^T\). Тогда
\[ AB=a_1b_1+a_2b_2+. +a_nb_n=\sum _^na_mb_m. \quad \quad(9) \]
Для того, чтобы было определено умножение между \(A\) и \(B\), необходимо, чтобы длина строки была равна длине столбца. Это условие называют условием согласования типов. Формулу (9) называют правилом умножения строчки на столбец.
Теперь обсудим общий случай. Пусть матрица \(A\) имеет тип \((m,n)\), а матрица \(B\) имеет тип \((n,p)\) (так что длина строки матрицы \(A\) совпадает с длиной столбца матрицы \(B\)). Тогда можно определить их произведение, матрицу \(C\), следующим образом: матрица \(C\) будет иметь тип \((m,p)\), причем для вычисления ее элемента \(C_\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq p\), следует взять строку с номером \(i\) матрицы \(A\) и умножить на столбец с номером \(k\) матрицы \(B\), \[ c_=a_b_+a_b_+. +a_b_=\sum _^na_b_. \] Таким образом следует вычислить все \(mp\) элементов матрицы \(C\). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \(A\) и \(B\), их типы должны быть согласованы!
Пусть \[ A=\left( \begin 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end \right) , B=\left( \begin 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5 \end \right) . \]
В данном случае матрица \(A\) имеет тип (2,3), матрица \(B\) имеет тип (3,2), так что типы матриц согласнованы и в результате умножения \(A\) на \(B\) получим матрицу типа \((2,2)\). Получаем: \[ AB=\left ( \begin 1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\ 3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5 \end \right )= \left( \begin 9 & 8\\ -21 & 20 \end \right). \]
Для приведенных матриц произведение \(BA\) не определено — типы матриц \(B\) и \(A\)не согласованы. Это отражает общую ситуацию: результат произведения матриц зависит от порядка сомножителей (в отличие от обычной арифметики) — и даже может не существовать для одного выбора порядка сомножителей, существуя для другого.
Элементарные свойства операций с матрицами (продолжение)
Операция умножения матриц также обладает рядом естественных свойств. (Ниже считается, что типы матриц \(A,B\) согласованы, так что их можно перемножать).
6. Для квадратных матриц \(A,B\) одного типа \(det(AB)=detA \cdot detB\).
7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \(n\), \(E=diag\\). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \(A,B\) имеем \(EA=A\), \(BE=B\). Матрица \(E\) называется единичной матрицей порядка \(n\). Согласно описанным выше результатам, \(detE=1\).
1. Умножить матрицы:
а) \[ \left( \begin 2 & 1 \\ 3 & 4 \end \right)\cdot \left( \begin 1 & -1 \\ 2 & 1 \end \right). \]
б) \[ \left( \begin 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end \right)\cdot \left( \begin 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]
2. Вычислить \[ \left( \begin 3 & 2 \\ -4 & -2 \end \right)^5. \]
3. Вычислить \(AB-BA\), если
а) \[ A=\left( \begin 1 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end \right), B=\left( \begin 4 & 2 & 3 \\ — 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end \right). \]
б) \[ A=\left( \begin 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end \right), B=\left( \begin 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\3 & 5 & 1 \end \right). \]
а) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2-3x+3\), \[ A=\left( \begin -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]
б) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2+4x-2\), \[ A=\left( \begin 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end \right). \]
5. Показать, что каждая матрица второго порядка \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right) \]
удовлетворяет уравнению \[ x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0. \]
Обратная матрица
В рамках обычной арифметики обсуждается решение числового уравнения \[ ax=1, \] где \(a\) — заданное число. Если \(a \neq 0\), это уравнение имеет единственное решение, которое обозначается \(x=a^\) и называется обратным к \(a\) числом.
Пусть \(A\) — заданная квадратная матрица порядка \(n\), можно рассмотреть матричное уравнение \[ AX=E. \quad \quad(10) \]
Решение уравнения (\ref) называется матрицей, обратной \(A\).
Для того, чтобы существовала обратная \(A\) матрица, небходимо и достаточно, чтобы матрица \(A\) была невырожденной.
Обратную матрицу обозначают \(A^\).
Основные свойства обратной матрицы.
3. Если квадратные матрицы порядка \(n\) \(A\) и \(B\) невырождены, то \(AB\) тоже невырождена, у нее существует обратная матрица, причем \((AB)^=B^A^\).
4. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^)^=A\).
5. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^T)^=(A^)^T\).
Докажите эти свойства обратной матрицы.
Для вычисления эелементов обратной матрицы существуют явные формулы.
Пусть \(A\) — квадратная невырожденная матрица порядка \(n\). Вычислим матрицу \(D\) — матрицу алгебраических дополнений, согласно соотношениям
Пусть \(n=2\), \[ A=\left( \begin a & b \\ c & d \end \right), \] \(detA=ad-bc \neq 0\). Следуя (11), получаем: \[ D=\left( \begin d & -c \\ -b & a \end \right), \] так что \[ A^=\frac\left( \begin d & -b \\ -c & a \end \right). \]
Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы становятся существенно более громоздкими.
Найти обратную матрицу для матрицы
1. \[ A=\left( \begin 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end \right). \]
2. \[ A=\left( \begin 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end \right). \]
3. \[ A=\left( \begin 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end \right). \]
Матричные уравнения
Матричными уравнениями называются уравнения вида \[ AX=G, \quad \quad(12)\] \[ XB=G, \quad \quad(13)\] \[ AXB=G, \quad \quad(14)\] где матрицы \(A,B,G\) заданы и требуется построить матрицу \(X\). Мы будем здесь считать, что матрицы \(A,B,G\) — квадратные одного порядка. Решение этих уравнений нетрудно построить, если матрицы \(A,B\) невырождены, так что существуют их обратные \(A^, B^\). Умножая, например, уравнение (12) слева на матрицу \(A^\), получаем: \[ A^(AX)=(A^A)X=EX=X=A^G. \] Умножая уравнение (13) справа на \(B^\), получаем: \[ (XB)B^=X(BB^)=XE=X=GB^. \] Аналогично, умножая (14) слева на \(A^\) и справа на \(B^\), получим: \[ X=A^GB^. \]
1. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin 2 & 6 \\ -9 & 3 \end \right) , G=\left( \begin -26 & -50 \\ 27 & -15 \end \right) . \]
2. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin 8 & -7 \\ -5 & 4 \end \right) , G=\left( \begin 25 & -34 \\ -16 & 22 \end \right) . \]
3. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin -8 & -5 \\ -9 & 5 \end \right) , G=\left( \begin -20 & 30 \\ -19 & 20 \end \right) . \]
4. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin 9 & 8 \\ -3 & 7 \end \right) , G=\left( \begin -72 & 23 \\ 0 & 58 \end \right) . \]
5. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin 4 & 2 \\ 3 & -4 \end \right) , B=\left( \begin -1 & 2 \\ -2 & -1 \end \right) , G=\left( \begin 20 & -50 \\ 26 & 23 \end \right) . \]
6. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin -4 & -2 \\ -3 & 3 \end \right) , B=\left( \begin 3 & 4 \\ 4 & 3 \end \right) , G=\left( \begin 132 & 134 \\ 18 & 24 \end \right) . \]