2. Деление степеней с одинаковыми основаниями
a n : a m = a n − m
(где a ≠ 0 , \(n\) и \(m\) — натуральные числа, такие, что \(n>m\)).
Обрати внимание!
Нельзя заменять разность a 15 − a 4 на a 11 .
Формула применяется как слева направо, так и справа налево.
1. 5 3 : 5 .
Решение: 5 3 : 5 = 5 3 : 5 1 = 5 3 − 1 = 5 2 = 25 .
2. 3 7 : 3 3 .
Решение: 3 7 : 3 3 = 3 7 − 3 = 3 4 = 81 .
упростить выражение.
t 27 t 14 .
Решение: t 27 t 14 = t 27 : t 14 = t 27 − 14 = t 13 .
представить в виде частного: 2 7 .
Решение.
Показатель степени \(7\) можно представить в виде разности несколькими способами, например:
2 7 = 2 9 − 2 = 2 9 : 2 2 ; 2 7 = 2 8 − 1 = 2 8 : 2 1 = 2 8 : 2 .
Свойства степеней с одинаковыми основаниями
Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.
Запишем эти свойства-правила в виде формул:
- a m × a n = a m+n
- a m ÷ a n = a m–n
- (a m ) n = a mn
Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
5 2 × 5 3 = 5 5 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:
Ее можно сократить:
В результате получим:
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.
Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ÷ a n = a m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.
Перейдем к третьему свойству:
(2 2 ) 4 = 2 2×4 = 2 8
Запишем в развернутом виде:
(2 2 ) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.
Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями
Prostobank.ua рассказывает об основном свойстве степеней, а также свойствах степеней с натуральным показателем. На уроке математики вы узнаете, как возвести степень в степень, как складывать степени при умножении чисел с одинаковыми основами, как возвести отрицательное число в степень, как сложить и вычитать, умножить и делить степени.
- Подбор кредитов:
УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСЕХ
Степень целого положительного числа с натуральным показателем
Изучая натуральные числа, мы анализировали понятие степени натурального числа (подробнее здесь: Степень числа. Возведение в степень. Таблица степеней натуральных чисел). На этом уроке мы рассмотрим основное свойство степени, формулы и действия со степенями.
Что такое степень числа с натуральным показателем?
Степенью числа а с натуральным показателем n больше единицы называют произведение множителей, каждый из которых равен а:
Основное свойство степени
Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство, характеризующее основное свойство степеней:
Исходя из основного свойства степеней, при умножении степеней одного и того же целого числа показатели степеней нужно сложить, а основу оставить без изменений.
Объяснение: при умножении степени складываются – основу степени (число 3) оставляем без изменений, а показатели степеней суммируем: 2 + 5 = 7. Получим в произведении число 3 в седьмой степени.
Возведение степени в степень
Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство:
Правило возведения степени в степень звучит так:
Чтобы возвести степень в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основу оставить ту же.
Пример
Объяснение: основу степени (число 2) оставляем без изменений, показатели степеней перемножаем: 3 ⋅ 4 = 12
Степень произведения чисел
Для любых целых чисел a и b и натурального показателя степеней n выполняется равенство:
Чтобы найти n-ую степень произведения чисел, нужно перемножить n-ые степени множителей.
Пример
Возведение отрицательного числа в степень
Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем: правило возведения
Чтобы возвести в степень отрицательное число, нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени является четным числом, или минус, если показатель степени – нечетное число
Рассмотрим примеры, когда основой степени является целое отрицательное число -2:
В первом примере мы возвели число -2 к третьей степени. Показатель степени, число 3, нечетный, поэтому перед результатом ставим знак минус.
Если поднести к четвертой степени число -2, то получим в результате положительное число (ведь показатель степени число 4 является четным).
Действия со степенями. Примеры
Выше мы рассмотрели основные свойства степеней с натуральным показателем, если основа целое положительное число или целое отрицательное число. Теперь рассмотрим конкретные примеры, где нужно выполнить действия со степенями – сложение и вычитание, умножение и деление.
Сложение и вычитание степеней с одинаковыми основаниями
Складывая или вычитая выражения со степенями, мы пользуемся теми же правилами, что и для алгебраических выражений.
То есть, если выражение содержит степени с одинаковыми основами и показателями, действия сложения и вычитания выполняют как для целых чисел.
Умножение степеней с разными основами
Правило умножения степеней звучит так:
Чтобы умножить степень с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить таким же.
Формула умножения чисел с одинаковыми степенями:
где a и b – любые целые числа, n – натуральное число
Решим несколько примеров на умножение степеней, используя формулу и правило:
Деление степеней
Правило деления степеней с одинаковыми основами звучит так:
При делении степеней с одинаковыми основаниями от показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основа остается без изменений.
Формула: как делить степени
где а – целое число, которое не равно нулю, а m – и натуральные числа
Примеры
1. Степень с отрицательным показателем
a b − n = b a n , в частности 1 a − n = a n , a ≠ 0 .
1 . 2 3 − 2 = 3 2 2 = 9 4 ; 2 . 3 − 2 = 1 3 2 = 1 9 ; 3 . 1 5 − 3 = 5 3 = 125 .
Свойства степеней с натуральными показателями верны и для отрицательных целых показателей.
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели нужно сложить: a s ⋅ a t = a s + t .
a − 3 ⋅ a − 5 = a − 3 + ( − 5 ) = a − 8 .
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели нужно вычесть a s : a t = a s − t .
a − 3 : a − 7 = a − 3 − ( − 7 ) = a − 3 + 7 = a 4 .
3. При возведении степени в степень показатели нужно перемножить: a s t = a s ⋅ t .
a − 3 − 5 = a − 3 ⋅ ( − 5 ) = a 15 .