Решение на Упражнение 351 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Никольский С.М.
Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. 2013г.
Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.
Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.
Издатель: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. 2017г.
Издатель: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2013г.
2 прямые делят плоскость на сколько частей
На плоскости нарисовано несколько прямых (не меньше двух), никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что среди частей, на которые эти прямые делят плоскость, найдется хотя бы один угол.
Подсказка
Рассмотрите выпуклую оболочку множества точек попарного пересечения прямых.
Решение
Рассмотрим множество точек пересечения P пар прямых. Возьмем выпуклую оболочку множества P — наименьший выпуклый многоугольник M, содержащий это множество. Вершинами многоугольника M являются некоторые из точек множества P. Рассмотрим одну из вершин A многоугольника M, а также прямые k и m, которые пересекаются в точке A. Возьмем луч прямой k с началом в A, который не пересекает многоугольник M (точнее, пересекает многоугольник M по точке A). Также возьмем луч прямой m с началом в A, который не пересекает многоугольник M. Эти два луча образуют угол, лежащий вне многоугольника M. Понятно, что этот угол и является одной из частей, на которые плоскость разделена прямыми. Из приведенного рассуждения следует, что если количество прямых не меньше трех, то среди частей плоскости найдутся хотя бы 3 угла, поскольку выпуклая оболочка множества точек P имеет хотя бы 3 вершины.
Источники и прецеденты использования
Проект осуществляется при поддержке и .
2 прямые делят плоскость на сколько частей
На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?
Решение
Докажем по индукции, что количество частей равно 1 + ½ n(n + 1). База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. Пусть n > 1. По предположению индукции перед проведением n-й прямой было 1 + ½ (n – 1)n частей. Новая прямая делится точками пересечения со старыми прямыми на n интервалов. Каждый из этих интервалов разбивает одну часть на две. Следовательно, добавится n частей. Поэтому всего частей станет 1 + ½ (n – 1)n + n = 1 + ½ n(n + 1).
Ответ
Замечания
Из решения видно, что если прямые не находятся в общем положении, то количество частей будет меньше указанного в ответе.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Метод математической индукции |
| Тема | Индукция |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Индукция в геометрии и комбинаторике |
| Тема | Индукция (прочее) |
| задача | |
| Номер | 01.050 |
Проект осуществляется при поддержке и .
РЕБЯТА. СРОЧНО ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА
Рассмотри и определи все возможные случаи, на сколько частей плоскость делят в ней расположенные прямые.
(как ответ введи число возможных частей, через запятую, но без пробелов)
1. 2 прямые делят плоскость на? части;
2. 3 прямые делят плоскость на? частей;
3. 4 прямые делят плоскость на? частей.
Пояснение: считаем, что отдельная часть плоскости такая, что в другую часть можно попасть только переходя через границу — прямую.
ЗАРАНЕЕ СПАСИБО
Лучший ответ
2 — на 3 или 4
3 — на 4 или 6 или 7
4 — на 5 или 8 или 9 или 10 или 12
наталья стукаловаУченик (211) 12 месяцев назад
4-на 5 или 8 или 9 или 10 или 11
вот так правильней
Остальные ответы
Прямая, принадлежащая плоскости, делит эту плоскость на две части.
а) 3,4
б) 7,6-8
в) 5,8,9,10,11,12
В зависимости параллельные они, пересекаются или перпендикулярные
1) 3,4
2) 4,6,7
3) 5,8,9,10,11
Похожие вопросы