1. Час. Минута
Часы служат для измерения времени. Посмотрим внимательно на циферблат часов.
Найдём на циферблате часов цифры от \(1\) до \(12\). Между двумя соседними цифрами на циферблате часов расстояние разделено на \(5\) делений.
На часах находятся длинная и короткая стрелки.
Д линная стрелка двигается п о циферблату быстро и указывает на минуты.
Короткая стрелка двигается по кругу циферблата медленно и указывает на часы.
Короткий промежуток времени — это минута , а час — длинный.
Обрати внимание!
За \(1\) час часовая (маленькая) стрелка перемещается на одно деление, а минутная (большая) стрелка проходит полный оборот.
1 ч . = 60 мин .
часовая стрелка показывает на цифру \(8\), а минутная — на цифру \(12\).
Значит, часы показывают время \(8\) часов.
7. Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной? А. 100. Б. 12. В. 24. Г. 60. А. 100. Б. 12. В. 24. Г. 60.
секундная стрелка делает оборот за 1 мин, а минутная за 60 минут. В 60 раз получается.
За минуту секундная стрелка делает 1 оборот, а минутная — 1/60.
Значит. 60.
В 60 раз секундная стрелка движется быстрее минутной.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Лёгкий способ решать задачи о стрелках часов
Однажды много лет назад один немолодой профессор задал мне задачку о перестановке стрелок часов. Точной формулировки за давностию лет я не помню, но поиск в интернете привёл меня к «Занимательной алгебре» Я. И. Перельмана, которая была впервые опубликована в 1933 году:
Возьмём положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении большая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы всё же правильные показания. Но в другие моменты, — например, в 6 часов, — взаимный обмен стрелок привёл бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на правильных часах?
Что любопытно, эта формулировка восходит к книге Александра Мошковского «Альберт Эйнштейн: беседы с Эйнштейном о теории относительности и общей системе мира», опубликованной в 1921 году на немецком языке, и уже в следующем году (!) переведённой на русский язык (и, судя по каталогу РГБ, с тех пор её и не переиздавали; доступен английский перевод).
Мошковский, навещая Эйнштейна во время болезни, предложил ему эту задачу для развлечения. Тот отметил, что задача интересная и не слишком простая, однако, увы, удовольствие от неё не продлится долго, потому что путь к решению уже ясен. Начертив условия задачи на листе бумаги, Эйнштейн составил диофантово уравнение и спустя небольшое время решил его.
К сожалению, более никаких подробностей в книге Мошковского не упоминается, и как могло бы выглядеть это уравнение, мы можем только предполагать. Решение, приведённое в книге Перельмана, в целом выглядит примерно так же, и довольно громоздко.
Решение, приведённое Перельманом
Пусть одно из требуемых положений стрелок наблюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на делений, а минутная — на делений. Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. е. 5 делений в час, то делений она прошла за часов. Иначе говоря, после того как часы показывали 12, прошло часов. Минутная стрелка прошла делений за минут, т. е. за часов. Иначе говоря, цифру 12 минутная стрелка прошла часов тому назад, или через часов после того, как обе стрелки были на двенадцати. Это число является целым (от нуля до 11), так как оно показывает, сколько полных часов прошло после двенадцати. Когда стрелки обменяются местами, мы найдём аналогично, что с двенадцати часов до времени, показываемого стрелками, прошло полных часов. Это число также является целым (от нуля до 11).
Имеем систему уравнений:
где и — целые числа, которые могут меняться от 0 до 11. Из этой системы находим:
Давая им значения от 0 до 11, мы определим все требуемые положения стрелок. Так как каждое из 12 значений можно сопоставлять с каждым из 12 значений , то, казалось бы, число всех решений равно 12 × 12 = 144. Но в действительности оно равно 143, потому что при и при получается одно и то же положение стрелок.
Я решал эту задачу примерно тем же образом и с некоторыми усилиями получил верный ответ, но спустя несколько лет мне пришла в голову следующая картинка:
Мысленно положим часы циферблатом вниз на комплексную плоскость так, чтобы 12 часов были в точке , а 3 часа — в точке .
В этом случае положение стрелок часов легко выражается через комплексную экспоненту. Если время, прошедшее с полуночи в часах, обозначить как , то положение конца минутной стрелки будет равно , поскольку за каждый час минутная стрелка совершает ровно один оборот. Часовая же движется в 12 раз медленнее, и положение её конца (будь она длины 1) .
(Если предыдущий абзац совершенно непонятен, то рекомендую замечательные видео от 3blue1brown из серии Lockdown math)
Важно, однако, даже не это, а соотношение .
Пользуясь этим соотношением, можно решать практически любые задачи о стрелках часов, причём делать это единообразно. Начнём с простого.
Сколько раз за 12 часов совпадают стрелки часов?
Стрелки совпадают, следовательно . Отсюда:
Поскольку — точка на единичной окружности и никогда не равна нулю, то на можно смело делить (как и на ):
Отсюда немедленно следует, что это случается 11 раз за двенадцатичасовой период через равные интервалы, начиная с , т. е. полуночи/полудня. Интервал составляет часа, то есть 1 час и минут.
Сколько раз за 12 часов стрелки часов направлены в противоположные стороны?
Стрелки противонаправлены, следовательно . Отсюда аналогичным способом получаем:
Соответственно, подобные моменты случаются так же 11 раз за 12 часов с такими же равными интервалами, но только начиная не с , а с , что соответствует 6 часам.
Сколько раз за 12 часов стрелки часов расположены под прямым углом друг к другу?
Эта задача немного сложнее, потому что прямой угол может быть как в одну сторону, так и в другую, то есть или .
Поскольку , то уравнение эквивалентно . Далее аналогично подставляем :
И получаем 22 положения за 12 часов с интервалом, соответственно, в минут, начиная с 3 часов () или 9 часов ().
Сколько раз за 12 часов встречаются часовая, минутная и секундная стрелки?
Вспомним, что секундная стрелка движется в 60 раз быстрее минутной, следовательно её положение . А если они все равны, то требуется решить уравнение , которое в силу можно преобразовать в с единственным решением .
Аналогичным образом можно посчитать, что часовая стрелка с секундной встречаются 719 раз за 12 часов, а минутная с секундной — 708 раз за 12 часов (по 59 раз в час).
Когда стрелки стоят симметрично (т.е. на одинаковых расстояниях от 12)?
В общем случае здесь бы понадобилась операция комплексного сопряжения, но поскольку все наши точки лежат на единичной окружности, то достаточно минус первой степени: . Отсюда:
Тринадцать возможных положений, начиная с 12 часов и с интервалом в часа, то есть минут.
В мире антиподов минутная стрелка идёт с нормальной скоростью, но в противоположную сторону. Сколько раз за сутки стрелки антиподных часов а) совпадают; б) противоположны; в) расположены под прямым углом?
Поскольку в мире антиподов минутная стрелка идёт в противоположную сторону, то здесь .
Думаю, читатель к этому моменту уже наловчился решать подобные уравнения в уме, и может легко сообразить, что у уравнений (для совпадающих стрелок) и (для противоположных стрелок) будет по 13 ненулевых решений.
Прямому углу между стрелками соответствует уравнение , то есть : целых 26 решений с интервалом минут.
Ну что же, пора перейти к задачке, с которой всё начиналось.
Когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою даёт новое положение, тоже возможное на правильных часах?
Для любого корректного положения стрелок, как мы помним, верно равенство . Соответственно, чтобы обмен стрелок также давал корректное положение, требуется, чтобы было верно и . Отсюда:
Итого — 143 возможных положения с равными интервалами в минут в течение 12 часов. Весьма лаконично, если сравнивать с другими способами решения, не правда ли?
- комплексные числа
- задачи на смекалку
Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной
1. У 28 человек 5 «Ы» класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было — 24, пап — 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа и мама?
2. Коле Гераскину — 12 лет, а профессору Селезнёву — 42. Через сколько лет Коля будет вдвое младше профессора?
3. Ученик Вовочка любит решать математические задачи. Известно, что вчера он решил на 11 задач меньше, чем позавчера и на 32 задачи меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько задач решил Вовочка сегодня?
4. В ящике лежат 100 синих, 100 красных, 100 зелёных и 100 фиолетовых карандашей. Сколько карандашей необходимо достать, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно нашлись по крайней мере 1 красный и 1 фиолетовый.
5. Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной?
6. Гриша с папой ходил в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?
7. На окраску деревянного кубика затратили 4 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?
8. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?
9. Сумма двух последовательных чётных чисел равна 150. Найдите эти числа.
10. Старый будильник отстаёт на 8 минут за каждые 24 часа. На сколько минут надо его поставить вперёд в 20-00, чтобы он зазвонил вовремя — в 8-00 следующего утра?
Ответ. на 4 минуты
11. Запишите число, являющееся суммой 13 тысяч, 12 сотен и 11 единиц.
12. Найдите наибольшее целое число, дающее при делении на 13 с остатком частное 17
13. В стране Лимпопо 9 городов и каждые два города соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране Лимпопо?
14. В 1983 году было 53 субботы. Каким днём недели было 31 декабря этого года?
15. Найдите наименьшее натуральное число кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
Ответ. 19999999999900 — в числе 11 девяток.
16. Напишите наименьшее четырёхзначное число, кратное 22 и начинающееся с цифры 5.
17. Окрашенный кубик с ребром 6 см. распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?
18. Питон длиной 16 м проползает через мост длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо столба?
19. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»?
- ЗАДАЧИ
- 5 класс
- Вступительная олимпиада
- Пути и переправы
- Разрезания
- Примеры и конструкции
- Календарь, время, возраст
- Математическая карусель 1
- Рыцари и лжецы
- Чётность
- Графы
- Математическая драка
- Задачи на таблицы
- Задачи о спичках
- Шахматная раскраска
- Математическая карусель 2
- Взвешивания и переливания
- Разрезания и замощения
- Обратный ход
- Олимпиада
- Числовые неравенства
- Среднее арифметическое
- Логика
- Куб и его развёртка
- Задачи на движение
- Турнир Архимеда
- Арифметические ребусы
- Перебор
- Математические игры
- Пространственное воображение
- Доли
- Принцип Дирихле
- Домашнее задание 1
- Домашнее задание 2
- Домашнее задание 3
- Домашнее задание 4
- Домашнее задание 5
- Домашнее задание 6
- Домашнее задание 7
- Домашнее задание 8
- Домашнее задание 9
- Домашнее задание 10
- Домашнее задание 11
- Домашнее задание 12
- Домашнее задание 13
- Домашнее задание 14
- Домашнее задание 15
- Домашнее задание 16
- Домашнее задание 17
- Домашнее задание 18
- Домашнее задание 19
- Домашнее задание 20
- Домашнее задание 21
- Домашнее задание 22
- Домашнее задание 23
- Домашнее задание 24
- Домашнее задание 25
- Домашнее задание 26
- Домашнее задание 27
- Домашнее задание 28
| Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! | | | |