Как написать уравнение параболы по графику

Квадратичная функция. Как построить параболу?

\(x_в\) и \(y_в\) – координаты вершины параболы. \(x_в\) можно найти с помощью формулы: \(x_в=\frac\). \(y_в\) можно найти подставив в формулу квадратичной функции вместо \(x\) значение \(x_в: y_в=ax_в^2+bx_в+с\)
Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси \(y\) (ординат). \(x_1\) и \(x_2\) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение .

3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:

\(a>0\) — ветви параболы направлены вверх

\(c\) равна ординате точки пересечения
графика с осью \(y\)

координата вершины параболы \(x_в=-\frac\)

Пример (задание из ОГЭ). На рисунке изображён график квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\)

Какие знаки параметров \(a\) и \(c\)?

Ветви параболы направлены вниз, значит \(a График функции пересекает ось \(y\) в точке лежащий ниже оси \(x\), значит \(c

Пример (задание из ОГЭ). Установите соответствие между квадратичными функциями и их графиками:

Решение:
Во втором графике ветви параболы направлены вниз, значит \(a Во втором и третьем графике \(a>0,c=1\) – по этим параметрам нам определить их функции. Тогда найдем \(x_в\) функций под буквой А и Б:

А. \(y=x^2-5x+1\) \(x_в=\frac=2,5\) так же как на графике 1
Б. \(y=x^2+5x+1\) \(x_в= \frac=-2,5\) так же как на графике 3

Как построить график квадратичной функции (параболу)?

Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь ). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.

3. При \(x=-3\),
\(y=2 \cdot (-3)^2+8 \cdot (-3)+2=2 \cdot 9-24+2=20-24=-4\)

Связь квадратичной функции и квадратных уравнений:

Давайте сравним общий вид квадратичной функции и общий вид квадратного уравнения:

И там, и там есть квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\). Разница в том, что в функции мы исследуем все возможные значения трехчлена, а в уравнении мы ищем \(x\), при которых значение трехчлена будет равно нулю или при каких \(x\), \(y=0\). Поэтому по графику функции \(y=ax^2+bx+c\) легко определить корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

Судя по графику, корнями уравне-
ния \(x^2+6x+5=0\) будут \(x_1=-5\) и \(x_2=-1\)

У уравнения \(x^2-4x+5=0\) нет корней, т.к. нету \(x\) при которых y будет равен нулю (функция не пересекает ось \(x\))

3. Построение графика квадратичной функции

Функция вида y = a x 2 + bx + c , где \(a\), \(b\), \(c\) — реальные числа, \(a\) ≠ \(0\), называется квадратичной функцией .

Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения функции \(D(f)\) — все действительные числа.

Рассмотрим для примера две квадратичные функции.
Пример 1. y = x 2 − 2 x − 1 (рис. \(1\)).
Пример 2. y = − 2 x 2 + 4 x (рис. \(2\)).

Область значений функции \(E(f)\) считывается с графика, она зависит от координаты \(y\), вершины параболы и направления ветвей параболы.
\(1\) пример — E ( f ) = [ − 2 ; + ∞ ) ;
\(2\) пример — E ( f ) = ( − ∞ ; 2 ] .

Параметр \(a\) определяет направление ветвей параболы:
если \(a > 0\), то ветви направлены вверх (см. пример \(1\));
если \(a < 0\), то ветви направлены вниз (см. пример \(2\)).

Параметр \(c\) указывает, в какой точке парабола пересекает ось \(Oy\).
Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы: x 0 = − b 2 a и y 0 — которую находят, подставив значение x 0 в формулу функции;

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;
3) определить направление ветвей параболы;
4) отметить точку пересечения параболы с осью \(Oy\);
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента \(x\).

Решив квадратное уравнение a x 2 + bx + c = 0 , получаем точки пересечения параболы с осью \(Ox\), или корни функции (если дискриминант \(D > 0\));

если \(D < 0\), то точек пересечения параболы с осью \(Ox\) не существует; если \(D = 0\), то вершина параболы находится на оси \(Ox\).

Но не всегда точки пересечения с осью \(Ox\) являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из \(D\), то такие точки не используют для построения графика.

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов: — Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a
— Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с \(a
— Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.
— Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз.

Парабола пересекает ось y в точке \(c\).

\(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) — абсциссы (икса) вершины параболы: \(x_в=-\frac\)
\(b=-x_в\cdot 2a\)

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a

Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений . Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:
2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями. Пример: \(A(-4;5)\), \(B(-5;5)\), \(C(-6;3)\). \(\begin5=a(-4)^2+b(-4)+c\\5=a(-5)^2+b(-5)+c\\3=a(-6)^2+b(-6)+c \end\)
3. Решаем систему.
   Пример: \(\begin5=16a-4b+c\\5=25a-5b+c\\3=36a-6b+c \end\) Вычтем из второго уравнения первое: \(0=9a-b\)
   \(b=9a\) Подставим \(9a\) вместо \(b\): \(\begin5=16a-36a+c\\5=25a-45a+c\\3=36a-54a+c \end\)
   \(\begin5=-20a+c\\5=-20a+c\\3=-18a+c \end\) Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье: \(2=-2a\)
   \(a=-1\) Найдем \(b\): \(b=-9\) Подставим в первое уравнение \(a\): \(5=20+c\)
   \(c=-15\). Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).
2. – Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
   – Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
3. – График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
   — График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.
4. График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
   График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

1. Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
4. Получается \(y=-2(x^2-4x+4)+4=\)\(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4\).
5. \(f(6)=-2\cdot 6^2+8\cdot 6-4=-72+48-4=-28\)

Парабола: что это, квадратичная функция, построение параболы

Парабола с греческого относится к конкретной плоской Кривой. Слово parabolh означает «сравнение», буквально «бросание рядом».

Вершина параболы: формула квадратичной функции

Мы знаем, что любое линейное уравнение с двумя переменными может быть записано в виде функции \(y=kx+b\) , и что его график является линией. В этой статье мы увидим, что любое квадратичное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c \) имеет изогнутый график, называемый параболой.

Две точки определяют линию. Однако, поскольку парабола изогнута, мы должны найти более двух точек. Найдем по крайней мере пять точек для создания приемлемого графика. Потом построим точки и нарисуем график параболы \(y_1=x^2+2x+3\) по точкам.

Учитывая квадратичное уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c \) , \(x\) является независимой переменной, а \(y\) -зависимой переменной. Выберем некоторые значения для \(x\) , а затем определим соответствующие значения \(y\) .

Вывод: графиком квадратичного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) , где \(a ≠ 0\) является парабола.

• Если \(a> 0\) , то его вершина указывает вниз.
• Если \(a < 0\) , то его вершина указывает вверх:
• Если \(a = 0 \) , то граф не парабола, а прямая линия.

Вершина параболы находится в точке \(x=\frac< - b><2a>.\)

На рисунке выше изображены графики парабол \(y_1=x^2+2x+3\) и \(y_2=-x^2+6x-7\) . Рассчитаем вершины параболы (формула): \(x_1=\frac<-2>=-1\) и \(x_2=\frac=3.\) Свободный член \(3\) и \(-7\) означает пересечение с осью \(y\) , то есть сдвиг графика по оси \(OY.\)

Коэффициент \(b\) означает симметричность относительно оси \(OY.\) Если \(b=0\) , то вершина лежит оси \(OY.\)

Как определить, куда направлены ветви парабол?

Есть простое правило, по которому можно без построения графика увидеть, когда ветви параболы направлены вниз а когда вверх Для определения направления ветвей параболы, вы должны проанализировать коэффициент перед квадратичным членом уравнения параболы. Уравнение параболы в общем виде имеет вид:

1. Если коэффициент «a» (коэффициент перед x в квадрате) положителен (a > 0), то ветви параболы направлены вверх. Такая парабола имеет минимум, который находится внизу, а ее значение увеличивается по мере удаления от вершины вниз и вверх.
2. Если коэффициент «a» отрицателен (a < 0), то ветви параболы направлены вниз. В этом случае парабола имеет максимум в вершине, а ее значение уменьшается по мере удаления от вершины вниз и вверх.

При определении направления ветвей параболы, также полезно посмотреть на знак коэффициента «a», так как он определяет выпуклость или вогнутость параболы.

Применение параболы

Радиоволны часто должна быть сконцентрирована в одной точке например, радиотелескопы, платные телевизионные тарелки, солнечные коллекторы.

Излучение должно передаваться из одной точки в широкий параллельный луч (например, отражатели фар).

Параллельные радиоволны собираются параболической антенной. Параллельные лучи отражаются от антенны и встречаются в точке F, называемой фокусом.

Часто задаваемые вопросы:

↪ Вершина параболы — это точка на параболе, которая находится на равном удалении от фокуса и директрисы. Ее координаты можно найти по формулам \(x = -b/(2a)\) и \(y = c — (b^2)/(4a)\) .

↪ Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента «a» в уравнении. Если «a» положительный (a > 0), ветви направлены вверх; если «a» отрицательный (a < 0), ветви направлены вниз.

↪ Дискриминант уравнения параболы равен \(D = b^2 — 4ac\) . Значение дискриминанта определяет тип графика параболы: если D > 0, парабола пересекает ось x в двух различных точках и имеет ветви; если D = 0, парабола касается оси x в одной точке и имеет вершину на оси; если D < 0, парабола не пересекает ось x и не имеет вещественных корней.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!