MathCAD. MatLab
Если этого не сделать, то
• atan(X) – возвращает арктангенс для каждого элемента X. Для действи
тельных значений X atan(X) находится в области [–?/2, . Пример:
>> Y=atan(1)
Y=
0.7854
• atan2 (Y, X) – возвращает массив P той же размерности что X и Y, содер
жащий поэлементно арктангенсы отношения вещественных частей Y и X.
Мнимые части игнорируются. Элементы P находятся в интервале [–?, .
Специфический квадрант определен функциями sign(Y) и sign(X). Это
174
Программные средства математических вычислений
отличает полученный результат от результата atan(Y/X), который огра
ничен интервалом [–?/2, . Пример:
>> atan2(1,2)
ans = 0.4636
Встроенные элементарные функции
175
• cos(X) – возвращает косинус для каждого элемента X. Пример:
>> X=[1 2 3];
>> cos(X)
ans =
0.5403
>> Y = cot(2)
Y=
-0.4577
-0.4161
-0.9900
• cot(X) – возвращает котангенс для каждого элемента X. Пример:
• csc(O) – возвращает косеканс для каждого элемента X. Пример:
>> X=[2 4.678 5;0.987 1 3];
>> Y = csc(X)
Y=
1.0998 -1.0006 -1.0428
1.1985
1.1884
7.0862
• sec(X) – возвращает массив той же размерности, что и X, состоящий из
секансов элементов X. Пример:
>> X=[pi/10 pi/3 pi/5];
>> sec(X)
ans = 1.0515 2.0000 1.2361
Рис. 3.2. Графики четырех тригонометрических функций
• sin(X) – возвращает синус для каждого элемента X. Пример:
>> X=[pi/2 pi/4 pi/6 pi];
>> sin(X)
ans = 1.0000 0.7071 0.5000
тронных устройств. Следующая программа строит графики для таких комбина
ций, создающих из синусоиды три наиболее распространенных сигнала – прямо
угольные, пилообразные и треугольные импульсы1 :
% I?ia?aiia iino?iaiey a?aoeeia neaiaeia
x=-10:0.01:10;
subplot(2,2,1),plot(x,0.8*sin(x)).
xlabel(\’0.8*sin(x)\’)
subplot(2,2,2),plot(x,0.8*sign(sin(x))).
xlabel(\’0.8*sgn(sin(x))\’)
subplot(2,2,3),plot(x,atan(tan(x/2))).
xlabel(\’atan(tan(x/2))\’)
subplot(2,2,4),plot(x,asin(sin(x))).
xlabel(\’asin(sin(x))\’)
0.0000
• tan(X) – возвращает тангенс для каждого элемента X.
Тригонометрические функции (Trigonometric)
Аргумент тригонометрических функций и результат обратных тригонометрических функций выражаются в радианах. Чтобы использовать значение угла в градусах, его необходимо перевести в радианы (листинг 10.6). Аргумент тригонометрических функций может быть комплексным.
Листинг 10.4. Примеры тригонометрических функций
Листинг 10.5. Примеры расчета угла между прямой и осью OX
Листинг 10.6. Расчет тригонометрических функций в градусах
Знаете ли Вы, что такое «Большой Взрыв»?
Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии «Большой взрыв (англ. Big Bang) — это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно — начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения. «
В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею.
На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве.
Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как «взрыв» — понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых.
Во-вторых, Вселенная — это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной).
В третьих, фраза «представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва» тоже есть сплошной нонсенс.
Что могло быть «вблизи Большого взрыва», если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
Научная электронная библиотека
Рассмотрим некоторые стандартные функции системы MathCAD. Введем специальные обозначения для аргументов функций. Пусть первый символ имени аргумента обозначает его тип:
M – квадратная матрица;
V – вектор (матрица из одного столбца);
A – произвольная матрица;
S – симметричная матрица;
G – произвольная матрица или число;
X – вектор или число;
Z – комплексная матрица или число;
z – комплексное число;
прочие символы – скалярные величины.
Экспоненциальные и логарифмические функции
exp(X) – экспонента от X;
ln(X) – натуральный логарифм от X;
log(X) – десятичный логарифм от X;
log(X,b) – логарифм от X по основанию b.
Гиперболические и тригонометрические (прямые и обратные) функции
sin(X), cos(X), tan(X), cot(X), sec(X), csc(X) – соответственно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс от X, причем аргументы указываются в радианах;
sinh(X), cosh(X), tanh(X), coth(X), sech(X), csch(X) – аналогичные гиперболические функции;
asin(z), acos(z), atan(z), acot(z), asec(z), acsc(z) – соответственно арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс от z.
Функции для работы с комплексными числами
Re(Z), Im(Z) – соответственно вещественная и мнимая части комплексного числа Z;
arg(z) – аргумент комплексного числа z (в радианах).
length(V) – возвращает число элементов вектора V;
cols(A) – возвращает число столбцов матрицы A;
rows(A) – возвращает число строк матрицы A;
matrix(m, n, f) – матрица размером mxn, значения элементов матрицы определяются f – функцией f (i, j) от двух переменных (номера строки и номера столбца). Эта функция должна быть предварительно определена пользователем;
identity(n) – единичная матрица n×n;
tr(M) – след матрицы M (сумма элементов главной диагонали);
rank(A) – ранг матрицы M;
norme(M) – эвклидова норма матрицы M, то есть корень квадратный из суммы квадратов всех элементов;
eigenvals(M) – вектор, элементы которого являются собственными числами матрицы M;
eigenvecs(M) – матрица, состоящая из нормализованных собственных векторов матрицы M;
cholesky(S) – возвращает нижнетреугольную матрицу L – результат разложения Холецкого вида L∙LT = S;
lu(M) – возвращает матрицу размера n×3n, состоящую из трех соединенных матриц P, L, U, являющихся результатом LU-разложения вида P∙M = L∙U.
Пример вычислений с матричными функциями: нахождение собственного числа путем решения матричного уравнения det(M – λE) = 0 и с помощью функции eigenvals.
Элементы статистического анализа данных
gmean(G1,G2,G3…) – среднее геометрическое аргументов;
mean(G1,G2,G3…) – среднее арифметическое аргументов;
stdev(G1,G2,G3…) – среднеквадратичное отклонение.
fft(V1), ifft(V2) – прямое и обратное быстрые преобразования Фурье над вещественными данными. V1 – вектор из 2m элементов, V2 – вектор из 1 + 2m–1 элементов, m > 2;
cfft(A), icfft(A) – прямое и обратное преобразования Фурье над вещественными и комплексными векторами и матрицами;
wave(V), iwave(V) – прямое и обратное вейвлет-преобразования, V – вектор из 2m элементов, m – целое число.
Аппроксимация, интерполяция и экстраполяция
Аппроксимация – поиск функции, которая с заданной степенью точности описывает исходные данные.
Интерполяция – определение наиболее правдоподобных промежуточных значений в интервале между известными значениями (подбор гладкой кривой, проходящей через заданные точки или максимально близко к ним).
Экстраполяция – определение наиболее правдоподобных последующих значений на основании анализа предыдущих значений (предсказание дальнейшего поведения неизвестной функции).
Применяются следующие функции MathCAD:
regress(VX,VY,k) – возвращает вектор данных, используемый для поиска интерполирующего полинома (a0 + a1x + a2x2 + . + akxk) порядка k. Полином должен описывать данные, состоящие из упорядоченных значений аргумента (VX) и соответствующих значений неизвестной функции (VY), то есть график полинома должен проходить через все точки, заданные координатами (VX, VY), или максимально близко к этим точкам;
interp(VS,VX,VY,x) – возвращает интерполированное значение неизвестной функции при значении аргумента x. VS – вектор значений, который вернула функция regress. VX,VY – те же данные, что и для regress. Функции interp и regress используются в паре;
predict(V,m,n) – возвращает вектор из n предсказанных значений на основании анализа m предыдущих значений из вектора V. Предполагается, что значения функции в векторе V были получены при значениях аргумента, взятых последовательно, с одинаковым шагом. Используется алгоритм линейной предикции. Наиболее целесообразно использовать predict для предсказания значений по данным, в которых отмечены колебания.
Для интерполяции система MathCAD использует подход, основанный на применении метода наименьших квадратов.
Примеры интерполяции и экстраполяции:
1.5.1. Пусть заданы координаты пяти точек (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 2), (5; 3), представляющих результаты измерения значений некоторой неизвестной функции при различных значениях x. Необходимо подобрать интерполирующую функцию (гладкую кривую), проходящую через заданные точки.
1.5.2. Дана функция y(i) = e–i/10∙sin (i). Известны значения данной функции при i = 0, 1, …, 10. Основываясь на десяти последних значениях, необходимо предсказать последующие десять значений.
Решения показаны на рис. 19.
Рис. 19. Решения в MathCAD первой (а) и второй (б) задач
Нахождение корней полинома
polyroots(V) – возвращает вектор, содержащий все корни полинома a0 + a1x + a2x2 + . + akxk, заданного вектором-столбцом коэффициентов
max(G1,G2,…) – максимальное значение среди аргументов;
min(G1,G2,…) – минимальное значение среди аргументов;
if(a,b,c) – возвращает b, если a ≠ 0, иначе возвращает c;
sign(a) – возвращает –1, 0 или 1 в зависимости от знака числа a.
На рис. 20 показан пример применения функции if.
Рис. 20. Функция, вычисляющая факториал
Как написать котангенс в маткаде
Система MathCAD содержит большой набор встроенных элементарных функций. Функции задаются своими именами и значениями аргумента, заключёнными в круглых скобках. Функции, как и переменные, и числа, могут входить в состав математических выражений. В ответ на обращение к ним, функции возвращают вычисленные значения. Ниже представлены некоторые из этих функций.
1.2.1 Тригонометрические функции
sin (z) — синус . cos (z) — косинус
tan (z) — тангенс . sec (z) — секанс
csc (z) — косеканс . cot (z) — котангенс
1.2.2 Гиперболические функции
sinh (z) — гиперболический синус
cosh(z) — гиперболический косинус
tanh(z) — гиперболический тангенс
sech(z) — гиперболический секанс
csch(z) — гиперболический косеканс
coth(z) — гиперболический котангенс
1.2.3 Обратные тригонометрические функции
asin (z) — арксинус
acos(z) — арккосинус
atan(z) — арктангенс
1.2.3 Обратные тригонометрические функции
asin (z) — арксинус
acos(z) — арккосинус
atan(z) — арктангенс
1.2.4 Обратные гиперболические функции
asinh (z) — обратный гиперболический синус
acosh(z) — обратный гиперболический косинус
atanh(z) — обратный гиперболический тангенс
1.2.5 Показательные и логарифмические функции
exp (z) — экспоненциальная функция
ln (z) — натуральный логарифм
log (z) — десятичный логарифм
1.2.6 Функции с условиями сравнения
ceil (x) — наименьшее целое, большее или равное х
floor(x) — наибольшее целое, меньшее или равное х
mod(x,y) — остаток отделения х/у со знаком х
angle(x,y) — положительный угол с осью х для точки с координатами (х,у)