Сложение и вычитание корней, примеры
Квадратным корнем или корнем 2-ой степени числа X называется число, которое при умножении само на себя даёт число b, т. е. a*a = b.
В статье мы поговорим о таких действиях с квадратными корнями, как сложение и вычитание.
Свойство 1.
Корень, взятый от умножения двух корней равен произведению корней от указанных множителей, если они больше нуля:
√(a*b) = √a*√b, где a и b – неотрицательные числа.
Свойство может быть распространено на большее число множителей, т. е. √(a*b*…*d) = √a*√b* …*√d. При этом, если число отрицательных множителей чётное, то их произведение всё равно даст положительное число, а значит свойство останется справедливым.
Свойство 2.
Корень отношения из отношения членов выражения равен отношению корней:
√(a/b) = √a/√b, где a – неотрицательное, не равное нулю число, число и b – неотрицательные число.
Свойство 3.
√a 2n = a n , где a – неотрицательное, натуральное, не равное нулю число.
Сложение и вычитание корней возможно только если выражение под корнем у них одно и то же. В частности, можно сложить или вычесть один из другого 2√7 и 5√7, а вот такие же действия с 2√7 и 5√8 или с 2√2 и 5√7 провести уже не получится. В частности, невозможно вычисление суммы или разности типа 5 + √X или 5 — √X. Если число целое, значит подкоренным числом является 1. Фактически любое число можно записать как N или как N √1.
Общие правила сложения и вычитания корней
В общем случае порядок действий при сложении и вычитании квадратных корней следующий:
- Соединяем корни посредством знаков, обозначающих соответствующие операции. Допустим нам нужно из корня X вычесть корень Y. Записываем выражение √X — √Y. Если нам требуется сложить, то выражение будет √X + √Y
- Приводим выражения к простейшей форме, т. е. если между ними имеются подобные, то делаем приведение. Так называется математическая операция, при которой коэффициенты подобных членов берутся со знаками соответствующих членов, заключаются в скобки, затем общий корень выводится за их пределы. Упрощение полученного коэффициента происходит по общим правилам математики.
Вся сложность заключается в упрощении подкоренного выражения. Когда приступаешь к этому, не известно получится ли его упростить. Окончательно решить вопрос можно лишь попробовав подобное сделать.
Сложение и вычитание квадратных корней, простейшие случаи
Пример 1. Сложить √4 + √64. Казалось бы числа под знаком корня разные, и складываться не должны, но √4 = 2, а √64 = 8. Получаем 2√1 + 8√1 или 2 + 8. Результат равен 10. Ответ: √4 + √64 = 10. Это один из примеров того, как складывать разные корни. К сожалению, так легко получается далеко не всегда.
Пример 2. Сложить 7√3 + 5√3. Выносим √4 за скобки, получаем (7+5) √3 или 12√3.
Ответ: 7√3 + 5√3 = 12√3.
Пример 3. Вычесть √64 — √4.
Т. к. √64 = 8, а √4 = 2, получаем √64 — √4 = 8 – 2 = 6.
Пример 4. Вычесть 7√3 — 5√3.
Выносим √3 за скобки, получаем (7-5) √3 = 2√3.
Ответ: 7√3 — 5√3 = 2√3.
Пример 5. Сложить √45 + 4√5.
Число √45 можно представить в виде √(9*5). Как известно √9 = 3, выносим это число из-под знака корня. Получаем 3√5. Нам нужно будет выполнить сложение 3√5 + 4√5. Подкоренное выражение одинаковое, поэтому действие допустимо. Выносим √5 за скобки и получаем (3+4)√5 = 7√5.
Ответ: √45 + 4√5 = 7√5.
Пример.6. Вычислить выражение 6√40 — 3√10 + √5.
Упрощаем число 6√40. Разлагаем √40 на множители: 6√(4*10). Выносим 4 из-под корня: 6*2√10. Перемножаем 6 и 2, в результате имеем 12√10.
Выражение 6√40 — 3√10 + √5 записываем в виде 12√10 — 3√10 + √5. У первых двух членов общее подкоренное число √10, выносим его за скобки и получаем (12-3)√10 + √5 = 9√10 +√5. Больше упрощать некуда.
Ответ: 6√40 — 3√10 + √5 = 9√10 +√5.
Вычитание и сложение квадратных корней с помощью сокращения знаменателя
Это часто бывает нужно, когда требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Нам дано выражение N/(√X +√Y). Умножаем обе части дроби (числитель и знаменатель) на √X -√Y. Вспомните формулу сокращённого умножения. (a+b)*(a-b) = a 2 – b 2 . Применительно к нашему случаю это будет (√X +√Y)*(√X -√Y) = X-Y.
Пример 7. Вычислить 4 / (√3 + √5). Умножаем всё на (√3 — √5). В результате получаем
4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) =
= 4 * (√3 — √5) / (3-5) = 4 * (√3 — √5) / (-2) =
Далее задача посложнее.
Пример 8. Нужно вычислить выражение 12 / (√2 + √3 + √5). Поступить можно только одним образом – умножить обе части дроби на (√2 + √3 — √5). Обратите внимание, последний знак в выражении минус, а не плюс, как в исходном. В результате мы имеем:
12*(√2 + √3 — √5)/[(√2 + √3 + √5)* (√2 + √3 — √5)].
После последовательного перемножения всех чисел получаем 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6). Упрощаем выражение далее и в итоге получаем: 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Ответ: 12 / (√2 + √3 + √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
Теперь вы знаете, как складывать квадратные корни при действиях с дробями.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Нужна помощь
Приближённое вычисление квадратного корня
Приближённое сложение и вычитание корней проводится следующим образом:
Сначала на калькуляторе вычисляем точное значение каждого из корней, округляем их до требуемой степени точности, после чего проводим сложение приближённых чисел.
Иногда это является единственным доступным способом решить задачу, а иногда используется в качестве проверки результата, полученного иным путём.
Пример 9. Сложить √7 + √5. Сложение этих квадратных корней проводим, используя калькулятор точное значение √7 = 2,645751, и точное значение √5 = 2,236067.
Округляем полученные числа и складываем их 2,65 + 2,24 = 4,89.
Важно. Выражения √(X+Y) = √X +√Y и√(X-Y) = √X — √Y абсолютно не верны. Чтобы убедиться в этом, давайте посчитаем сколько будет √(9+16) = √25 = 5.
Если складывать, числа как отдельные корни, то, √9 +√16 = 3 + 4 = 7.
Посмотрите, сколько будет, если √(16-9) = √7 ≈ 2,65, При вычитании чисел, как отдельных корней √16 — √9 = 4 – 3 = 1.
Дополнительные примеры
Приведём ряд дополнительных примеров по сложению и вычитанию корней.
Пример 10. Вычислить √9 + √4 — 3√2. Из 9 и 4 квадратные корни вычисляются очень легко. √9 = 3, √4 = 2. В результате имеем 3 + 2 — 3√2 = 5 — 3√2. Это выражение дальше уже никак нельзя сделать проще, т. е. окончательным будет результат 5 — 3√2.
Ответ: √9 + √4 — 3√2 = 5 — 3√2.
Пример 11. Вычислить (√2)/4 + (√2)/2. Сначала находим наименьший знаменатель указанных дробей. Не сложно понять, что он равен 4. Чтобы привести к наименьшему знаменателю вторую дробь, умножаем её на 2/2 и получаем (2√2)/4. Теперь нам остаётся сложить лишь числители, знаменатель остаётся прежним. В итоге получаем (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4.
Пример 12. Посчитать выражение (√X+√Y)/ (√X-√Y). Умножаем указанное выражение на дробь (√X+√Y)/(√X+√Y), В результате будем иметь
Далее нужно раскрыть скобки. Тогда мы получим [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y).
Ответ: (√X+√Y)/(√X-√Y) = [X + 2√(X*Y) + Y]/(X – Y). Проще исходного полученное выражение назвать сложно. Скорее это наглядный пример того, что упрощение возможно далека не всегда. Его попытка имеет смысл лишь для того, чтобы в последнем убедить себя окончательно.
Пример 13. Вычислить выражение (√2 +√3)*(√2-√3) 3 /(2-2√6+3). Раскладываем второй множитель числителя на два множителя
(√2-√3) 3 = (√2-√3) 2 *(√2-√3). После этого будем иметь выражение [(√2-√3) 2 *(√2-√3)*(√2 +√3)]/(2-2√6+3), но ведь (√2-√3) 2 = 2 -2√6+3 и оно совпадает со знаменателем дроби, а значит может быть сокращено. Мы имеем (√2-√3)*(√2 +√3), по известной формуле (a+b)*(a-b) = a 2 – b 2 в результате мы получаем (√2-√3)*(√2 +√3) = 2 – 3 = -1.
Казалось бы, очень сложное выражение получилось равным (-1). Результат абсолютно точен. Вычисляя выражение через приближённые значения корней, мы пришли бы к тому же самому результату, то в его точности сомнения тогда могли бы остаться. Сейчас же их совершенно нет. Надеемся, что статья была для вас понятной и полезной.
Разложение квадратного корня на множители: внесение и вынесение
На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.
Разложение корня на множители
Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.
Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.
Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:
Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.
Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.
Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.
Например, можно упростить таким способом 98 : = 98 ÷ 2 = 49 . Из этого следует, что 2 × 49 = 98 , поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98 = ( 2 × 49 ) .
Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.
Возьмем наш пример ( 2 × 49 ) :
Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49 . Ищем простое число, на которое можно разделить 49 . Очевидно, что ни 3 , ни 5 не подходят. Остается 7 : 49 ÷ 7 = 7 , поэтому 7 × 7 = 49 .
Записываем пример в следующем виде: ( 2 × 49 ) = ( 2 × 7 × 7 ) .
Упростите выражение с квадратным корнем.
Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел ( 7 ) , то мы можем вынести за знак корня число 7 .
( 2 × 7 × 7 ) = ( 2 ) × ( 7 × 7 ) = ( 2 ) × 7 = 7 ( 2 ) .
В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.
Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.
В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.
180 = ( 2 × 90 ) 180 = ( 2 × 2 × 45 ) 180 = 2 45
но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
180 = 2 ( 3 × 15 ) 180 = 2 ( 3 × 3 × 5 ) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5
Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.
70 = 35 × 2 , поэтому 70 = ( 35 × 2 )
35 = 7 × 5 , поэтому ( 35 × 2 ) = ( 7 × 5 × 2 )
Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.
Полный квадрат
Запомните несколько квадратов простых чисел.
Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.
1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10
Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.
Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:
50 = ( 25 × 2 ) = 5 2 . Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.
1700 = ( 100 × 17 ) = 10 17 . Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.
72 = ( 9 × 8 ) = 3 8 . Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.
Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.
72 = ( 9 × 8 ) 72 = ( 9 × 4 × 2 ) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2
Деление корней: правила, методы, примеры
Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.
Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.
Метод 1. Деление подкоренных выражений
Записать дробь
Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.
144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36
Использовать один знак корня
В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.
Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.
144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36
Разделить подкоренные выражения
Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.
144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4
Упростить подкоренное выражение (если необходимо)
Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.
Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.
4 — полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:
4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .
Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители
Записать дробь
Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.
8 ÷ 36 , переписываем так 8 36
Разложить на множители каждое из подкоренных выражений
Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Упростить числитель и знаменатель дроби
Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)
В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.
Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.
В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Упростить полученное выражение (если необходимо)
Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.
2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3
Метод 3. Деление квадратных корней с множителями
Упростить множители
Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!
4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6 : делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .
Упростить квадратные корни
Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.
32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2
Умножить упрощенные множители на упрощенные корни
Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)
4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем
Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе
Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.
1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.
Найти выражение, сопряженное биному
Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.
5 + 2 и 5 — 2 — сопряженные биномы.
Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе
Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: ( a — b ) ( a + b ) = a 2 — b 2
1 5 + 2 = 1 ( 5 — 2 ) ( 5 — 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 — 2 ( 5 2 — ( 2 ) 2 = 5 — 2 25 — 2 = 5 — 2 23 .
Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 — 2 23 .
Советы:
- Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
- Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
- Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
- Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
- В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.
2. Выражения с квадратными корнями
Выражения, записанные в форме a b , где b ≥ 0 , называются подобными , если их подкоренные выражения равны.
Выражения 3 5 , 13 5 , 5 , − 2 5 подобны.
Выражения 2 3 и 2 5 не подобны.
Подобные выражения можно складывать и вычитать. Действия производят с коэффициентами, стоящими перед знаками квадратных корней.
упрости выражение:
5 7 − 11 7 = 5 − 11 7 = − 6 7 .
Обрати внимание!
Корни, подкоренные выражения которых не равны, также могут быть подобными. Чтобы в этом убедиться, необходимо вынести множители из-под знаков корней.
упрости выражение:
125 + 2 80 = 25 ⋅ 5 + 2 16 ⋅ 5 = 5 5 + 2 ⋅ 4 5 = = 5 5 + 8 5 = 5 + 8 5 = 13 5 .
При упрощении выражений с корнями важно помнить, что:
a ⋅ b = a ⋅ b ; если a ≥ 0, a ⋅ a = a и a 2 = a .
упрости выражение: 2 − 5 2 .
Используем формулу a − b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 .