В любой треугольник можно вписать окружность. Радиус такой окружности будет представлять собой квадратный корень из отношения разности полупериметра с каждой стороной к самому полупериметру. Если упростить данную формулу для прямоугольного треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора, то мы получим следующее выражение: Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то в формуле остаются только обозначения a и b , и ее вид упрощается из все того же первого радикала до следующей формы: В случае с равносторонним треугольником все еще гораздо проще, и его формула может быть выведена не только из формулы для произвольного треугольника, но также и из свойств высоты-медианы-биссектрисы, которые совпадают и делят любую из сторон на две равные части:
Радиус вписанной и описанной окружности: полезные формулы. Задание С4
В этой статье я хочу привести несколько полезных формул, которые помогают легко найти радиус вписанной и описанной окружности, и показать решение задачи из задания С4 с использованием этих формул.
1 . Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
. где
Отсюда:
То есть радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для прямоугольного треугольника
/» />
где и — катеты треугольника, а — гипотенуза.
2 . Площадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности:
3 . По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОРЕШЕНИЕ задачи:
Угол при основании равнобедренного треугольника равен . Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к радиусу описанной окружности:
Для вас другие записи этой рубрики:
Решение комбинированной системы неравенств. Задание С3
Как найти объем части фигуры если известен объем целой. Объем пирамиды. Задание В11
Решение Задания С2 из диагностической работы №3
Видеотека. Стереометрия. Угол между плоскостями
Свойства биссектрисы и медианы треугольника
Видеорешение диагностической работы от 1 марта 2012 года
Радиус вписанной окружности правильного треугольника, формула
Радиус вписанной окружности правильного треугольника вычисляется по классической формуле
(a — сторона правильного треугольника; r — радиус вписанной окружности правильного треугольника)
После подстановок, преобразований и упрощений получается следующая формула:
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Если упростить данную формулу для прямоугольного треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора, то мы получим следующее выражение: 
Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то в формуле остаются только обозначения a и b , и ее вид упрощается из все того же первого радикала до следующей формы: 
В случае с равносторонним треугольником все еще гораздо проще, и его формула может быть выведена не только из формулы для произвольного треугольника, но также и из свойств высоты-медианы-биссектрисы, которые совпадают и делят любую из сторон на две равные части: 
. где 
и 
— катеты треугольника, а 
— гипотенуза.
