3. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность называется описанной около четырёхугольника.
Не все четырёхугольники возможно вписать в окружности, так как серединные перпендикуляры четырёх сторон могут не пересекаться в одной точке, и не удастся найти центр окружности, описанной около четырёхугольника.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180\) градусам.
Все углы четырёхугольника являются вписанными в окружность, значит, равны половине дуг, на которые опираются. Противоположные углы опираются на дуги, которые вместе образуют окружность, то есть 360 ° . Следовательно, противоположные углы вместе образуют 180 ° .
Это свойство можно использовать и как признак для определения, около каких четырёхугольников можно описать окружность.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180\) ° , то около него можно описать окружность.
Самостоятельно сделай обзор четырёхугольников (параллелограмм, в том числе — квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, в том числе — равнобедренная трапеция и прямоугольная трапеция), около которых можно описать окружность.
2. Описанный четырёхугольник
Если все стороны четырёхугольника касаются окружности, то он называется четырёхугольником, описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в четырёхугольник.
Не все четырёхугольники возможно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке, и не удастся найти центр вписанной окружности.
Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны \(a+c=b+d\) .
Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, и \(AB = AK + KB\), \(BC = BL + LC\), \(CD = CM + MD\), и \(AD = DN + NA\), то, очевидно, \(AB + CD = BC + AD\).
Это свойство можно использовать и как признак для определения, в какие четырёхугольники можно вписать окружность.
Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.
Самостоятельно сделай обзор четырёхугольников (параллелограмм, в том числе — квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, в том числе — равнобедренная трапеция и прямоугольная трапеция), в которые можно вписать окружность.
Прямоугольник в окружности
Прямоугольник вписан в 1/4 (квадрант) окружности.
№1) Исходя из того, что некоторые длины известны, возможно ли определить длину диагонали БГ?
№2) Также найдите длину стороны ВГ.
[su_expand more_text=»Показать решение» less_text=»Закрыть решение» height=»0″ link_style=»button»]Решение:
Прямая БГ — диагональ нашего прямоугольника. Проведя пунктирной прямой другую диагональ АВ убеждаемся, что она является одновременно и радиусом окружности. Из этого следует, что радиус окружности равен 15 (АГ плюс ГД или 9 + 6 ). А так как диагонали прямоугольника конгруэнтны, то БГ также равен 15 единицам (ответ на №1).
Применив теорему Пифагора определяем, что BГ равна 12 единицам (ответ на №2).
15² — 9² = 12²
[/su_expand]
Радиус описанной окружности прямоугольника
Вокруг прямоугольника становится возможным описать окружность, так как сумма противоположных углов в нем равна 180° , а это обязательно условие для окружностей, описанных вокруг многоугольников. Такая окружность касается всех вершин прямоугольника, а ее центр находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника. Если провести радиусы к вершинам прямоугольника, то станет очевидным, что они представляют собой половины диагоналей, а диагонали прямоугольника можно найти из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, стороны которого – это стороны прямоугольника.