Площадь многоугольника
Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.
Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.
А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.
Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).
По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».
Площадь многоугольника по периметру
Ребят есть площадка и есть только периметр, а сторон его нет . Нужно найти площадь, есть какие то варианты!?
Многоугольник с 12 разными сторонами!
| fellichita |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от fellichita |
Регистрация: 30.04.2008
Сообщений: 400
Был не прав.
Последний раз редактировалось -mavlin-, 22.09.2010 в 20:21 .
Регистрация: 20.12.2007
Щелково МО
Сообщений: 7,470
только очень приблизительно (в зависимости от формы многоуольника) — примите, что периметр описанной окружности равен периметру многоугольника. соответственно вычислите радиус окружности. а затем площадь описанной окружности. плюс-минус лапоть.
| Forrest_Gump |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от Forrest_Gump |
Регистрация: 08.02.2008
Сообщений: 8,460
Площадь многоугольника по координатам вершин: http://www.pm298.ru/reshenie/delen.php.
(http://yandex.ru/yandsearch?text=%D0. 5%D0%BA&lr=213)
Если это растр, вставить в кад, обвести точно плинией и в свойствах увидеть площадь и периметр. Последний для сравнения и оценки погрешности построения (обводки растрового контура)
Регистрация: 17.10.2007
Сообщений: 4,261
Сообщение от fellichita
есть какие то варианты!?
Всё-таки обзавестись теодолитом!
__________________
Дураки учатся на своих ошибках, умные на чужих, а мудрые смотрят на них и неспеша пьют пиво.
| Клименко Ярослав |
| Посмотреть профиль |
| Найти ещё сообщения от Клименко Ярослав |
Сообщений: n/a
Сообщение от -mavlin-
Если я не ошибаюсь, то по периметру можно вычислить только площадь треугольника.
Теоретически можно вычислить и максимальную площадь многоугольника по известному периметру.
Регистрация: 30.07.2008
Сообщений: 579
Если принять, что это периметр окружности, и вычислить её площадь, то площадь твоего многоугольника будет точно меньше.
Во втором приближении прими, что это правильный многоугольник.
В других случаях по периметру нельзя найти площадь.
Регистрация: 09.07.2007
Тутошние мы.
Сообщений: 6,015
Совершенно невозможно. Даже если принять, что многоугольник выпуклый. Едиственное что можно (как тут уже отметили) найти максимально возможную площадь.
И триугольник по периметру не определить никак. Нужны стороны.
А начиная с четырёхугольника уже и размера всех сторон мало.
П.С. дополнительные данные, возможно, позволят оценить и минимально возможную площадь. Пока же она равна нулю.
Проектирование заборов уже в прошлом
Регистрация: 29.10.2009
Сообщений: 2,089
Даже если знать кол-во и размер сторон, площадь все равно не вычислить. Нужны также углы. (см. например «красный» и «желтый» многоугольники — периметр и стороны совершенно одинаковые, площадь очевидно разная). По известным сторонам без углов можно определить только площадь треугольника (см. «третий признак равенства 3-угольников»)
Последний раз редактировалось Meknotek, 22.09.2010 в 11:37 .
Как посчитать площадь многоугольника
Посчитать площадь многоугольника относительно несложно. Здесь не потребуется производить особые измерения и высчитывать интегралы. Достаточно всего лишь подходящего прибора для измерения длины и возможности построения (и измерения) нескольких дополнительных отрезков.
Статьи по теме:
- Как посчитать площадь многоугольника
- Как найти площадь неправильной фигуры
- Как найти площадь, зная периметр
Вам понадобится
- — бечевка;
- — рулетка;
- — циркуль;
- — линейка;
- — калькулятор.
Инструкция
Чтобы посчитать площадь произвольного многоугольника, отметьте внутри него произвольную точку, а затем соедините ее с каждой вершиной. Если многоугольник невыпуклый, выберите точку таким образом, чтобы проведенные отрезки не пересекали стороны фигуры. Например, если многоугольник является внешней границей «звезды», то точку нужно отметить не в «луче» звезды, а в ее центре.
Теперь измерьте длины сторон в каждом из образовавшихся треугольников. После этого воспользуйтесь формулой Герона и вычислите площадь каждого из них. Сумма площадей всех треугольников и будет искомой площадью многоугольника.
Если форму многоугольника имеет фигура очень большой площади, например, земельный участок, провести отрезки необходимой длины будет довольно-таки проблематично. Поэтому, в таком случае поступите следующим образом: вбейте в центр многоугольника колышек и протяните от него к каждой вершине отрезок бечевки. Затем измерьте и запишите в строгой последовательности длины всех отрезков. Аналогичным образом измерьте и стороны самого многоугольника, натянув бечевку между соседними вершинами.
Чтобы воспользоваться формулой Герона, сначала посчитайте полупериметр каждого треугольника по формуле:
где:
а, b и c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр (стандартное обозначение).
Определив полупериметр треугольника, подставьте полученное число в следующую формулу:
где:
S∆ – площадь треугольника.
Если многоугольник выпуклый, т.е. не имеет внутренних углов, превышающих 180º, то выберите в качестве внутренней точки любую вершину многоугольника. В этом случае, треугольников получится на два меньше, что иногда может существенно упростить задачу нахождения площади многоугольника. Система расчета площадей полученных треугольников не отличается от описанной выше.
При решении школьных задач и «задач на смекалку» внимательно рассмотрите форму многоугольника. Возможно, его удастся разбить на несколько частей, из которых можно будет сложить «правильную» фигуру, например, квадрат.
Иногда многоугольник можно «дополнить» до правильной фигуры. В таком случае, просто вычтите из площади дополненной фигуры площадь дополнения. Кстати, этот способ актуален не только для решения абстрактных задач. Так, например, если по углам и вдоль стен комнаты у вас расставлена мебель, то для расчета свободной площади, просто вычтите из общей площади комнаты площадь, которую занимает мебель.
- как вычислить площадь многоугольника
- Вычисления площади произвольного многоугольника
Совет полезен?
Статьи по теме:
- Как посчитать площадь поверхности
- Как найти площадь многоугольника
- Как вычислить площадь многоугольника
Добавить комментарий к статье
Похожие советы
- Как вычислить площадь поверхности
- Как найти площадь
- Как вычислить площадь по периметру
- Как определить площадь фигуры
- Как найти площадь шестиугольника
- Как найти площадь и периметр
- Как найти общую площадь
- Как найти площадь, периметр
- Как определить площадь прямоугольника
- Как определить площадь поверхности
- Как найти площадь прямоугольника, если известна одна сторона и периметр
- Как посчитать площадь фигуры
- Как найти площадь восьмиугольника
- Как найти площадь поверхности
- Как по площади определить стороны
- Как найти площадь по стороне и двум углам
- Как найти площать прямоугольника
Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности
В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.
Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности
Нарисуем многоугольник A1A2A3A4A5, не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O:
Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».
Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH1, OH2, OH3, OH4 и OH5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:
Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:
![\[ S = S_{OA_1A_2}+S_{OA_2A_3}+S_{OA_3A_4}+S_{OA_4A_5}+S_{OA_5A_1}. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0da2de1802ae571d87c23244afd5cc24_l3.png)
Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:
Она равна половине произведения основания A1A2 на высоту OH1, проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:
![\[ S = \frac{1}{2}r\cdot A_1A_2 + \frac{1}{2}r\cdot A_2A_3+ \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0118321bba3566baec260135fd9aaff3_l3.png)
![\[ +\frac{1}{2}r\cdot A_3A_4+\frac{1}{2}r\cdot A_4A_5+\frac{1}{2}r\cdot A_5A_1. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d455b179314f2c6c4cb18ea11efb72fb_l3.png)
Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:
![\[ S = \frac{1}{2}r\left(A_1A_2 +A_2A_3 +A_3A_4 +A_4A_5 +A_5A_1\right). \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-125b4fc9dd48ee46dd47e620ef7e2f35_l3.png)
То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P. Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:
То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.
Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.