Как найти угол между диагоналями параллелепипеда

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, онлайн калькулятор

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб. Квадрат одновременно является частным случаем и прямоугольника и ромба, поэтому все выявленные для параллелограмма зависимости справедливы для прямоугольника, квадрата и ромба.

На практике необходимость определения угла между диагоналями на основе прочих элементов может возникнуть, в частности, при необходимости производства построений на местности и для перепроверки уже проведенных построений.

Калькуляторы

• Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали
• Угол между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону
• Угол между диагоналями параллелограмма через две стороны и диагонали

Через площадь и диагонали

Для нахождения острого угла между диагоналями параллелограмма следует воспользоваться формулой:

sin α = 2S/(Dd)

где α – острый угол между диагоналями, S – площадь параллелограмма, D и d – его диагонали.

Площадь ( S ):
Кор.диагональ ( d ):
Дл.диагональ ( D ):
Цифр после запятой:
Результат в:
Угол ( α ) = градус

Приведем пример расчета по формуле для наглядного случая, когда диагонали перпендикулярны, и площадь данного ромба равняется половине площади прямоугольника, в который данный ромб можно вписать.

При D = 20 мм, d = 10 мм, площадь описанного прямоугольника равна 20*10=200 мм² , откуда S = 200/2=100 мм² .

Вычисления дают sin α = 2S/(Dd) = 2*100/(20*10) = 1 , откуда α = 90° . Известный факт – диагонали ромба перпендикулярны.

Через две стороны и диагонали

В предыдущей формуле угол определялся через диагонали и одну сторону, в данной задаче требуется определить угол по диагоналям и 2 сторонам. Тем самым, одно из условий является избыточным, и фигура по произвольным данным может не оказаться параллелограммом. Но для случая параллелограмма, т.е. взаимной увязки данных, формулы таковы:

cos α = (b2-a2)/(Dd), cos β = (a2-b2)/(Dd)

где a и b – стороны параллелограмма, α и β – углы между диагоналями (взаимно дополнительные до 180°).

Сторона ( b ):
Сторона ( a ):
Дл.диагональ ( D ):
Кор.диагональ ( d ):
Цифр после запятой:
Результат в:
Угол ( α ) = градус

Пример приведем по предыдущему случаю, остается только рассчитать недостающую сторону b, которая из простых соображений (воспользовавшись правилом длины катета против угла в 30°) оказывается равной 20 мм. Вычисляем: cos α = (b²-a²)/(Dd) = (20²-34,64²)/(40*40) = -0,5 , откуда α = 120° .

Через диагонали и сторону

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону формула такова:

cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd)

где a – сторона параллелограмма, остальные обозначения прежние.

Дл.диагональ ( D ):
Кор.диагональ ( d ):
Сторона ( a ):
Цифр после запятой:
Результат в:
Угол ( α ) = градус

Здесь следует считаться с тем, что если в предыдущей задаче угол по условию являлся острым, в данной задаче он может быть и тупым, с отрицательным значением косинуса угла.

Пример расчета опять-таки по наглядному случаю, когда обе диагонали равны. Это прямоугольник с диагоналями D = 40 мм и d = 40 мм. При угле между диагоналями 120° половина диагонали составит 40/2 = 20 мм , половина высоты прямоугольника (она же – половина короткой стороны) составит половину от половины диагонали (в прямоугольном треугольнике противолежащий углу в 30° катет равен половине гипотенузы), т.е. 10 мм, откуда половина стороны параллелограмма составит √(20²-10²)=√300=17,32 мм , а сторона параллелограмма a = 2*17,32=34,64 мм .

Подставляем в формулу: cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd) = (40²+40²-4*34,642) = ‑1600/(2*40*40) = -0,5 . Значению косинуса -0,5 соответствует угол 120°. Это же значение даст и калькулятор.

Квадрат достаточно задать одним элементом – стороной. Для задания прямоугольника необходимо задать уже две его смежные стороны; для ромба сторону и угол между сторонами. Для задания же параллелограмма необходимо задание 3 его взаимно независимых элементов. Это могут быть 2 смежные стороны и угол между ними, но возможно и иное задание.

В любом четырехугольнике можно провести 2 диагонали, и они также могут входить в набор элементов для задания фигуры. В данной статье приводятся справочные формулы для определения угла между диагоналями параллелограмма через другие его элементы. Рассчитать же этот угол для каждого из 3 рассматриваемых случаев позволят калькуляторы сайта, в которые необходимо ввести известные элементы, и в результате получить синус или косинус искомого угла либо сам угол в градусах или радианах.

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить угол между диагоналями параллелограмма через формулы. Чтобы вычислить угол между диагоналями параллелограмма, просто введите ваши данные.

1. Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали.
2. Угол между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону.
3. Угол между диагоналями параллелограмма через две стороны и диагонали.

1. Четыре угла (∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD + ∠ DOA ) между диагоналями параллелограмма в сумме равны 360 градусам.
2. Два смежных угла (∠ AOB + ∠ BOC ) или (∠ COD + ∠ DOA ) между диагоналями параллелограмма равны 180 градусам.
3. Два противоположных угла (∠ AOD = ∠ BOC ) между диагоналями параллелограмма острые и равные, другие два противоположных угла (∠ AOB = ∠ COD ) тупые и равные.
4. Острый угол между диагоналями параллелограмма равен отношению двух площадей параллелограмма на произведение диагоналей.

Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали.

sin α = 2 S D d

Где: d , D — диагонали, S — площадь.

4. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда

Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом .

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, три измерения — это длины трёх рёбер DA , DC , DD 1 .

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 ,

где \(a, b, c\) — измерения прямоугольного параллелепипеда, т. е. его длина, ширина и высота.

На рисунке: D B 1 2 = DA 2 + DC 2 + D D 1 2 .

5. Углы, образованные диагоналями призмы и её гранями

При решении задач очень важно уметь обозначать углы, образованные диагоналями призмы и её боковыми гранями.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.
Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, необходимо:

1) провести наклонную;
2) из конца наклонной провести перпендикуляр к плоскости;
3) провести проекцию наклонной;
4) обозначить угол между наклонной и её проекцией.
Углы между диагональю и плоскостью основания в прямом параллелепипеде

Угол \(BDF\) — угол, образованный диагональю \(DF\) и плоскостью основания \(ABCD\).
Треугольник \(DBF\) — прямоугольный.

Угол \(ECA\) — угол, образованный диагональю \(EC\) и плоскостью основания \(ABCD\).
Треугольник \(ECA\) — прямоугольный.

Угол между диагональю и боковой гранью прямоугольного параллелепипеда

Угол \(FDG\) — угол, образованный диагональю \(FD\) и боковой гранью \(DKGC\).
Обрати внимание!

Ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани, поэтому треугольник \(DFG\) — прямоугольный.

Угол \(FDE\) — угол, образованный диагональю \(FD\) и боковой гранью \(AEKD\).
Обрати внимание!

Ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани, поэтому треугольник \(FDE\) — прямоугольный.