Как найти основание равнобедренного треугольника зная боковые стороны

Сторона «A» и угол «α» равнобедренного треугольника

Основным элементом равнобедренного треугольника является высота, проведенная к основанию, она же медиана, она же биссектриса. Благодаря этим свойствам, она делит основание на две равные части под прямым углом, образуя прямоугольный треугольник с катетами в виде высоты и половины основания и гипотенузой, которая является боковой стороной. Поэтому, зная боковую сторону и угол α можно найти основание, высоту, и затем все остальные параметры. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=a sin⁡α b=2a cos⁡α Периметр треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания или удвоенного произведения боковой стороны на косинус угла. Площадь, как половина произведения основания на высоту, представлена в виде квадрата боковой стороны, умноженной на синус и косинус угла. P=2a+b=2a+2a cos⁡α S=hb/2=(a^2 sin⁡α)/2 Найти угол β равнобедренного треугольника через угол α можно, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.88.1) β=180°-2α Так как высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, равна высоте и биссектрисе, а две боковые стороны равны между собой, следовательно оставшиеся высоты медианы и биссектрисы опущенные на них, также между собой равны. (рис.88.3, 88.4, 88.8) Вычислить медиану, биссектрису и высоту через боковую сторону и угол α можно, подставив их в соответствующие формулы. m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√(a^2+8a^2 cos^2⁡α )/2=(a√(1+8 cos^2⁡α ))/2 h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(2a cos⁡α √((4a^2-4a^2 cos^2⁡α)))/2a=2a cos⁡α √((1-cos^2⁡α)) l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2a cos⁡α √(2+2 cos⁡α ))/(1+2 cos⁡α ) Средняя линия любого треугольника равна стороне, которой она параллельна, деленной на два. Если заменить сторону b на удвоенное произведение стороны a на косинус угла α, то данная средняя линия будет равна боковой стороне, умноженной на этот косинус. (рис.88.5) M_b=b/2=(2a cos⁡α)/2=a cos⁡α M_a=a/2 Если вписать в равнобедренный треугольник окружность, то ее радиус будет равен упрощенному радикалу, полученному из общей формулы радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник. Подставив в нее вместо стороны b известную боковую сторону и удвоенный косинус угла при основании, можно еще более упростить выражение. (рис.88.6) r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=(2a cos⁡α)/2 √((a-2*2a cos⁡α)/(a+2*2a cos⁡α ))=a cos⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α )) Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании, выглядит как отношение боковой стороны к двум квадратным корням из разности единицы и косинуса угла при основании во второй степени. (рис.88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )=a^2/√(4a^2-4a^2 cos^2⁡α )=a/(2√(1-cos^2⁡α ))

как найти основание равнобедренного треугольника, если известны боковые стороны?

углы не известны: ( а в равнобедренном треугольнике при основании 45 градусов угла или могут быть и другие?

Дополнен 12 лет назад

спасибо, но я не дурак: ) гугл и яндекс гласят, что углы при основании равны) но если они не 45 градусов, то треугольник не прямоугольный, а значит воспользоваться теоремой Пифагора я не могу) а по другому не знаю как:)

Дополнен 12 лет назад
задача как раз таки школьная) из учебника Атанасяна Геометрия 10-11 «МГУ в школе»
Лучший ответ
Нужен угол, а вообще всё по треугольникам смотри здесь
Может ещё через эти формулы
Остальные ответы
а углы известны
по формуле. открой любой учебник по геометрии и напрягись перелистнуть пару страниц

Довольно-таки сложно. Но чувствую, что можно. Это явно не школьная задача, ибо слишком много расчетов нужно провести.

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны — это рёбра, а 3 сторона — основание.

Вариант 1

Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.

Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.

Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.

Вот формула: b = 2√(a² — h²)

Вариант 2

Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.

Нужно воспользоваться теоремой синусов:

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ.

c = (a*sinγ)/sinα.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

система выбрала этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Алиса в Стран­ е [377K]
5 лет назад

К сожалению у нас нет условия задачи, из которой было бы ясно — на основании каких данных мы должны искать основание нашего равнобедренного треугольника (две стороны боковые которого равны между собой, а основание — это нижняя сторона, которая как раз двум другим не равна). Поэтому рассмотрим несколько вариантов.

1.) Допустим, мы знаем, чему равна боковая сторона и угол треугольника (любой из трех). Тогда мы сначала легко вычисляем два других угла треугольника, помня, что их сумма всегда равна 180 градусам, а затем применяем теорему синусов:

следовательно с (основание) будет равно:

2.) Допустим, мы знаем чему равна боковая сторона и высота нашего треугольника. Тогда мы сначала находим половину его основания (она является катетом треугольника, полученного делением исходного равнобедренного треугольника его высотой на два прямоугольных треугольника), применив теорему Пифагора.

где с — основание треугольника, которое мы ищем, h — его высота.

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Марин­ а Волог­ да [317K]
5 лет назад

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, необходимо вспомнить геометрию.

Что такое равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две из трех сторон равны.

Теперь вспомним что такое основание треугольника — это как раз третья сторона, которая не равна остальным двум.

Так как у нас нет никаких данных задачи, значит следует указать только формулы, по которым можно найти основание.

Основание можно найти применив теорему Пифагора по формуле:

где h — это высота опущенная на основание;

а -сторона треугольника.

Чтобы понять, как правильно решать, вот примерная задача:

А вот решение для задачи:

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
JuliG­ or [3.2K]
10 лет назад

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

b — длина основания треугольника;

a — длина стороны треугольника;

B — это угол, который противоположен основанию.

комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Alen4­ uk [161K]
5 лет назад

Для начала вспомним, какой треугольник называется равнобедренным и из этих его свойств будем уже находить величину основания.

Как видим из рисунка, равнобедренный треугольник- это треугольник, у которого две стороны равны и они называются боковыми. Третья же сторона является основанием этого треугольника. Равные стороны называются боковыми.

Какие же свойства имеет равнобедренный треугольник, которые помогут нам найти его основание?

Углы при основании у равнобедренного треугольника равны между собой.

Высота, которую мы опускаем с верхнего угла на основание одновременно является и биссектрисой и медианой.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника нужно разделить на 2 произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию.

К сожалению, нам не даны условия задачи, поэтому можно использовать несколько формул. Все будет зависеть от данных задачи.

Используя эти свойства, мы для нахождения основания можем использовать следующие формулы:

Так же нам может помочь в решении теорема синусов.

Стороны равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны в таком треугольнике называются боковыми, третья — основанием. Периметр равнобедренного треугольника (Р) будет равен сумме двух одинаковых боковых сторон (а) и основания (b):

Р = 2а + b

Против равных сторон лежат равные углы. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к его основанию, называется высотой равнобедренного треугольника. Проведенные к основанию биссектриса, медиана и высота совпадают между собой, делят треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, гипотенузой которых будет боковая сторона (а), а катетами — высота (h) и половина основания равнобедренного треугольника (b/2). По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов, в нашем случае квадрат боковой стороны а (как гипотенузы) равен сумме половины основания (b/2), возведенного в квадрат, и высоте h в квадрате:

а 2 = (b/2) 2 +h 2

Отсюда, боковая сторона будет равна корню из суммы половины основания в квадрате и высоты, также возведенной в квадрат:

а = √(b/2) 2 +h 2 ,

где а — боковая сторона, b/2 — половина основания, h — высота.

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза (в нашем случае это боковая сторона равнобедренного треугольника — а) и один из катетов (высота h), неизвестный катет находим, воспользовавшись теоремой Пифагора. Заметим, что неизвестный катет является половиной основания равнобедренного треугольника (b/2). Тогда, квадрат катета прямоугольного треугольника равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета:

(b/2) 2 = a 2 — h 2

Половина основания треугольника (b/2) равняется корню квадратному из квадрата гипотенузы минус квадрат другого катета:

b/2 = √а 2 — h 2 ,

где b/2 — половина основания, а — боковая сторона, h — высота.
Умножив полученный результат на 2, находим всю длину основания.