Как понять что функция линейная

1. Линейная функция и её график

Применяя эту формулу, зная конкретное значение \(x\), можно вычислить соответствующее значение \(y\).

Пусть \(y = 0,5x — 2\).
при \(x = 0\) получим \(y = — 2\);
при \(x = 2\), получим \(y = — 1\);
при \(x = 4\), получим \(y = 0\) и т. д.
Результаты заносим в таблицу:
\(x\) — независимая переменная (или аргумент),
\(y\) — зависимая переменная (или функция).
Графиком линейной функции \(y = kx + b\) является прямая.

Чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.

Построим в системе координат \(xOy\) точки \((0;-2)\) и \((4;0)\) и
проведём через них прямую.

В жизни существует множество ситуаций, которые можно описать математической моделью с помощью линейных функций.

на овощной базе хранится \(700\) т картофеля. Каждый день запасы пополняют на \(30\) т. Сколько картофеля станет на овощной базе через \(2\); \(4\); \(10\) дней?

После \(x\) дней количество \(y\) картофеля на овощной базе можно записать в виде формулы \(y = 700 + 30x\).

Получается, что линейная функция \(y = 30x + 700\) является математической моделью данной задачи.
При \(x = 2\) имеем \(y = 760\);
при \(x = 4\) имеем \(y = 820\);
при \(x = 10\) имеем \(y = 1000\) и т. д.
Однако надо учитывать, что в этой ситуации x ∈ ℕ .

Если функцию \(y = kx + b\) надо исследовать только для значений \(x\) из некоторого множества \(X\), то записывают y = kx + m , x ∈ X .

построить график линейной функции:
a) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 ; b) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 .
Составим таблицу значений функции:
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((-6;-1)\) и \((3;2)\) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 .
Точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены тёмными кружочками.

b) Во втором случае функция та же, только значения \(x=-6\) и \(x=3\) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу \((-6;3)\).

Поэтому точки \((-6\); \(-1)\) и \((3\); \(2)\) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.

a) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 , имеем: y наиб \(= 2\) и y наим \(= -1\);

b) y = 1 3 x + 1, x ∈ − 6 ; 3 , концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.

В ходе построения графиков линейных функций можно как бы «подниматься в горку» или «спускаться с горки» в направлении оси абсцисс, т. е. линейная функция или возрастает, или убывает.

1. Линейная функция y = kx

Важно уметь переходить от аналитической модели \(y=kx\) к геометрической и, наоборот, от геометрической к аналитической модели.

Например, рассмотрим прямую, изображённую на рисунке.

Эта прямая является графиком линейной функции \(y=kx\), так как проходит через начало координат. Нужно лишь определить значение коэффициента \(k\).

Из формулы \(y=kx\) получим, что k = y x .

Чтобы определить коэффициент \(k\), необходимо выбрать некоторую точку на прямой и вычислить частное ординаты и абсциссы заданной точки.

Прямая проходит через точку \(M(4; 2)\), следовательно получим 2 4 = 0,5 . Значит, \(k=0,5\), и данная прямая является графиком линейной функции \(y=0,5x\).

Если в формуле \(y=kx\) вместо \(x\) подставим \(1\), то получим \(y=k\). Это означает, что прямая \(y=kx\) проходит через точку \((1; k)\). Поэтому график линейной функции можно строить по двум точкам: \((0;0)\) и \((1; k)\).

Иногда вместо точки \((1; k)\) удобнее взять другую точку.
Коэффициент \(k\) определяет угол между прямой и положительным направлением оси \(x\).
Если \(k>0\), то этот угол острый (как на первом рисунке), а
если \(k<0\), то этот угол тупой (как на втором рисунке).

Поэтому коэффициент \(k\) в записи \(y=kx\) называют угловым коэффициентом .
Обобщая сведения о линейных функциях, можно сделать вывод:

прямая, служащая графиком линейной функции \(y=kx + b\), параллельна прямой, служащей графиком линейной функции \(y=kx\).

Как понять что функция линейная

Построение графиков линейной функции и модуля

Функция вида $$ y=kx+b$$, где `k` и `b` — произвольные числа, называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая.

Рассмотрим частные случаи функции `y=kx+b`, когда `k` и (или) `b` принимают значения равные нулю:

1) если `b=0`, то y = k x — y=kx- прямая пропорциональность, график проходит через начало координат;

2) если` k=0`, то `y=b`, графиком является прямая, параллельная оси `Ox`;

3) если `b=0`, `k=0`, то `y=0`, то графиком является ось `Ox`.

Для построения графика достатояно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую.

Постройте график функции: а) $$ y=2x+3$$; б) $$ y=2$$.

б) Для любого значения $$ x$$ значение $$ y=2$$ . Графиком этой функции является прямая, параллельная оси $$ Ox$$ и проходящая через точку $$ (0; 2)$$ . График этой функции приведён на рисунке 2.

График линейной функции `y=kx+b`, где `k` и `b` — произвольные числа, может быть получен из графика функции `y=kx` путём его параллельного переноса вдоль оси `Oy` на `b` единиц вверх, если `b` — положительно, или `|b|` единиц вниз, если `b` — отрицательно.

В примере 1а) `y=2x+3`, при построении графика можно сначала построить график функции `y=2x`, а затем параллельным переносом вдоль оси `Oy` на `3` единицы вверх перенести график (рис. 3).

Число `k` называют угловым коэффициентом прямой – графика функции `y=kx+b`. Если `k>0` то угол наклона прямой `y=kx+b` к оси `x` острый; если `k

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

Построим теперь график функции $$ y=\left|x\right|$$.

Если $$ x\le -1$$, то x + 1 = — x — 1 \left|x+1\right|=-x-1 , x — 2 = 2 — x \left|x-2\right|=2-x , тогда y = — x — 1 — 2 + x = — 3 y=-x-1-2+x=-3 .

Таким образом, y = 3 , если x ≥ 2 ; 2 x — 1 , если — 1 < x < 2 ; - 3 ; если x ≤ - 1 . y=\left\3, \mathrm x\ge 2;\\ 2x-1, \mathrm -1

Заметим, что прямая $$ y=2x-1$$ проходит через точки $$ (-1; -3)$$ и $$ (2; 3)$$ . График данной функции приведён на рисунке 4.

Постройте график функции $$ y=\left\\left|x-3\right|, x\ge 0;\\ \left|x+4\right|-1, \text x 3$$, то будет $$ 2$$ точки пересечения.

Математика

Функция вида называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.

Свойства линейной функции

2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел

3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу — в точке (0; b).

8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

Для построения графика функции — прямой линии, очевидно, достаточно двух точек.

Особые случаи

1) Если b=0, получим уравнение y=kx. Функция такого вида называется прямой пропорциональностью. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

2) Если k=0, получим уравнение y=b. Графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; b).