Как найти центр фигуры

Как вычислить центр тяжести плоской ограниченной фигуры
с помощью двойного интеграла?

Данная статья посвящена наиболее распространённому на практике приложению двойного интеграла – вычислению центра тяжести плоской ограниченной фигуры. Многие читатели интуитивно понимают, что такое центр тяжести, но, тем не менее, рекомендую повторить материал одного из уроков аналитической геометрии, где я разобрал задачу о центре тяжести треугольника и в доступной форме расшифровал физический смысл этого термина.

В самостоятельных и контрольных заданиях для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура, то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная чугунные игрушки, тяжёлое детство и т.д. Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах =)

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой однородной пластины. Логично и по-житейски понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра. Верти – не хочу.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут сладкую эллиптическую шоколадку, поэтому придётся вооружиться серьёзным кухонным инструментом:

Координаты центра тяжести плоской однородной ограниченной фигуры рассчитываются по следующим формулам:

, или:

, где – площадь области (фигуры); или совсем коротко:

Интеграл будем условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более сложные:
, где – масса фигуры; в случае однородной плотности они упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы, кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела =)

Закинемся бодрящей порцией парабол:

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны: задаёт ось абсцисс, а уравнение – параболу, которая легко и быстро строится с помощью геометрических преобразований графиков:

– парабола , сдвинутая на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Я выполню сразу весь чертёж с готовой точкой центра тяжести фигуры:

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой , то есть фактически мы уже знаем «иксовую» координату точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок» – это поможет проверить полученные значения на предмет явных ошибок.

Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .

Порядок обхода области (фигуры) здесь очевиден:

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех интегралов!

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить компактно, главное, не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Однако так делать всё-таки не советую – велика вероятность, что решение забракуют с формулировкой «используйте формулу».

В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Заметьте, что здесь можно обойтись исключительно устными вычислениями – иногда совсем не обязательно приводить дроби к общему знаменателю или мучить калькулятор.

Таким образом:
, что и требовалось получить.

3) Найдём ординату центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл:

А вот тут без калькулятора пришлось бы тяжко. На всякий случай закомментирую, что в результате умножения многочленов получается 9 членов, причём некоторые из них подобны. Подобные слагаемые я привёл устно (как это обычно принято делать в похожих случаях) и сразу записал итоговую сумму .

В результате:
, что очень и очень похоже на правду.

На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку . По условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.

Ответ:

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

Кстати, если вы представляете, как расположена парабола и увидели точки, в которых она пересекает ось , то здесь и на самом деле можно обойтись без чертежа.

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

В случае затруднений с построением графиков, изучите (повторите) урок о параболах и/или Пример №11 статьи Двойные интегралы для чайников.

Примерные образцы решений в конце урока.

Кроме того, десяток-другой похожих примеров можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике.

Ну а я не могу не порадовать любителей высшей математики, которые часто просят меня разбирать и трудные задачки:

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

Решение: условие данной задачи уже категорично требует выполнения чертежа. А ведь требование не настолько и формально! – эту фигуру способен представить в уме даже человек со средним уровнем подготовки:

Прямая рассекает круг на 2 части, и дополнительная оговорка (см. линейные неравенства) указывает на то, что речь идёт именно о маленьком заштрихованном кусочке.

Фигура симметрична относительно прямой (изображена пунктиром), поэтому центр тяжести должен лежать на данной линии. И, очевидно, что его координаты равны по модулю. Отличный ориентир, практически исключающий ошибочный ответ!

Теперь плохая новость =) На горизонте маячит малоприятный интеграл от корня, который мы подробно разобрали в Примере №4 урока Эффективные методы решения интегралов. И кто его знает, что там нарисуется ещё. Казалось бы, ввиду наличия окружности выгодно перейти к полярной системе координат, однако не всё так просто. Уравнение прямой преобразуется к виду и интегралы тоже получатся не сахарные (хотя фанаты тригонометрических интегралов оценят). В этой связи осмотрительнее остановиться на декартовых координатах.

Порядок обхода фигуры:

1) Вычислим площадь фигуры:

Первый интеграл рациональнее взять подведением под знак дифференциала:

А во втором интеграле проведём стандартную замену:

Вычислим новые пределы интегрирования:

Весьма достоверно, едем дальше:

Здесь во 2-м интеграле опять был использован метод подведения функции под знак дифференциала. Отработайте и возьмите на вооружение эти оптимальные (по моему мнению) приёмы решения типовых интегралов.

После непростых и длительных вычислений вновь обращаем свой взор на чертёж (помним, что точки мы пока не знаем!) и получаем глубокое моральное удовлетворение от найденного значения .

3) Исходя из проведённого ранее анализа, осталось убедиться, что .

Изобразим точку на чертеже. В соответствии с формулировкой условия запишем её как окончательный ответ:

Похожее задание для самостоятельного решения:

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Выполнить чертёж.

Эта задача интереса тем, что в ней задана фигура достаточно малых размеров, и если где-нибудь допустить ошибку, то высока вероятность вообще «не попасть» в область. Что, безусловно, хорошо с точки зрения контроля решения.

Примерный образец оформления в конце урока.

Иногда бывает целесообразен переход к полярным координатам в двойных интегралах. Это зависит от фигуры. Искал-искал у себя удачный пример, но не нашёл, поэтому продемонстрирую ход решения на 1-й демо-задаче указанного выше урока:

Напоминаю, что в том примере мы перешли к полярным координатам, выяснили порядок обхода области и вычислили её площадь

Давайте найдём центр тяжести данной фигуры. Схема та же: . Значение просматривается прямо из чертежа, а «иксовая» координата должна быть смещена чуть ближе к оси ординат, поскольку там располагается более массивная часть полукруга.

В интегралах используем стандартные формулы перехода:

Правдоподобно, скорее всего, не ошиблись.

Примечание: интеграл подробно разобран в Примере №9 урока Интегралы от тригонометрических функций.

, что и требовалось получить.

Как-то так невзначай на этой странице уместились 17 двойных интегралов, что является полнейшим безобразием, по причине того, что за окном жаркие деньки июня, которые совсем не располагают к учёбе.

Успешной сдачи сессии!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: выполним чертёж:

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .
Порядок обхода области:

1) Вычислим площадь фигуры:

2) Найдём абсциссу центра тяжести.

3) Найдём ординату центра тяжести.

Ответ:

Пример 3: Решение: выполним чертеж:

Выберем следующий порядок обхода фигуры:

Найдём центр тяжести . Используем формулы , где
1) Вычислим площадь фигуры:

2) Найдём абсциссу центра тяжести.

3) Найдём ординату центра тяжести.

(интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку)

Ответ:

Пример 5: Решение: выразим функции в явном виде:

Выполним чертеж:

Выберем следующий порядок обхода фигуры:

По соответствующим формулам найдём координаты центра тяжести данной фигуры.

В первом интеграле проведем замену:

Новые пределы интегрирования:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как определить центр геометрической фигуры?

например Г образной или Т образной?
(только пожалуйста не нужно нести ересь насчет центра тяжести и объемных фигур)
задача из школьной геометрии..

Лучший ответ

Геометричесский центр не существует сам по себе, а обязательно связан с чем-то: с фигурой или с телом. В этом случае геометрический центр — это точка, равноудаленныая от каких-то определяющих элементов связанной фигуры (тела).
Например, центр окружности — точка, равноудаленная от всех ее точек, а центр прямоугольника — точка, равноудаленная от его вершин, и т. д.

Таким образом как такового такого термина не существует. Кроме этого нужны оговорки и уточнения. Т. е. о чем идет речь: центр тяжести ли, или ценетр симметрии или что то еще.

Остальные ответы

Делишь фигуру на части с известными центрами тяжести (прямоугольники, круги и т. п.).
Потом попарно (например, у двух прямоугольников) соединяешь центры и делишь расстояние пропорционально их площадям.

Если фигура произвольной формы, то делаешь смещение в внутреннюю сторону от изначального контура, и тем самым постепенно фигура приблизится размерами к точке, это и будет геометрический центр фигуры. Если точек несколько, то они соединяются прямой, и её центр и будет искомой точкой.
Если фигура получена в автокаде, то можно найти её центр тяжести с помощью команды. Если же центр площади нужен, то с помощью команды «градиент» получается центр площади градиента, как правило сходится с центром масс.

Определение координат центра тяжести фигур и сечений

Определение координат центра тяжести x_C и y_C плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

1. Аналитический (путем интегрирования).
2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
   Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A₁ и A₂ (A = A₁+ A₂).

Рисунок 1.8

Центры тяжести этих фигур находятся в точках C₁(x₁, y₁) и C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны:

Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием

Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.

Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести C_i отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A₁=400×500=200000 мм 2
Положение центра тяжести
x₁=200мм
y₁=250мм

Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A₂=π×200 2 /4=31416 мм 2
Центр тяжести
x₂=200мм
y₂=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A₃=400*100/2=20000 мм 2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x₃=400×2/3=266,7мм
y₃=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:

Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами x_C=207,1мм, y_C=271,7мм.

Как найти центр фигуры

1. Как можно найти центр разных фигур абсолютно любой формы? (клюшка, S-образная фигура, вобщем у любой). Применимо ли понятие центра к таким кривым фигурам? Хотя «центр вращения» есть у любой, типа как балансировка, вокруг такого центра вращение без вибрации будет. Как его найти?

2. Умный поиск центра. К примеру фигура в виде двух окружностей соединенных между собой узкой полосой, нужно поставить метку на фигуру, т.к. полоса тонкая то человек бы поставил метку где нибудь на «теле» фигуры, где больше места, как научить программу это делать?

The future is not a tablet with a 9″ screen no more than the future was a 9″ black & white screen in a box. It’s the paradigm that survives. (Kroc Camen)
Проверь себя! Онлайн тестирование | Мой блог

Linux C++ Qt ARM
Регистрация: 30.11.2008
Сообщений: 3,030

1. Если фигура не имеет округлостей, то разбивай на треугольники. Точка пересечения биссектрис является центром тяжести треугольника. Вычисляешь массу каждого треугольника (если тело однородно, то m/M=s/S, где m и M массы, а s и S площади каждого треугольника и всей фигуры). Затем считаешь каждый центр масс материальной точкой и находишь для этих материальных точек центр тяжести.

Дилетант широкого профиля.

«Слова ничего не стоят — покажите мне код!» © Линус Торвальдс

Последний раз редактировалось ROD; 27.02.2010 в 15:35 .
Телепат с дипломом
Регистрация: 10.06.2007
Сообщений: 4,929
ROD, не подходит, фигуры произвольной формы.

The future is not a tablet with a 9″ screen no more than the future was a 9″ black & white screen in a box. It’s the paradigm that survives. (Kroc Camen)
Проверь себя! Онлайн тестирование | Мой блог

Linux C++ Qt ARM
Регистрация: 30.11.2008
Сообщений: 3,030

Если фигура не задана уравнением, то только разбиение на множество материальных точек (по крайней мере тех частей фигуры, что нельзя представить в виде треугольников).В википедии есть формула для расчета центра масс такой вот системы материальных точек.

Если есть уравнение, то, наверное, можно как-то еще, хотя можно так же построить и, методом разбиения на материальные точки, посчитать.

Дилетант широкого профиля.

«Слова ничего не стоят — покажите мне код!» © Линус Торвальдс

Последний раз редактировалось ROD; 27.02.2010 в 15:34 .
Trust no one.
Регистрация: 07.04.2009
Сообщений: 6,526

Если имеется в виду геометрический центр, то можно попробовать следующий метод:
Например у нас изображение клюшки.
1) Вписывается в прямоугольник минимальной формы.
2) Дальше ставим «указатель» в центр прямоугольника.
3) После идем в цикле во всем «точкам» (пикселям) изображения. И если точка внутри фигуры — то смещаем «указатель» на одну клетку (меньше пикселя) в сторону текущей точки.
4) Проходим по всем точкам и в итоге (по идее) получаем, что «указатель» находится в центре фигуры (геометрическом, который может быть ВНЕ фигуры)

Центр вращения — не может быть предметом поиска, поскольку такого понятие не существует. Есть ОСЬ вращения:
, но она применима только к трехмерным фигурам.

SQUARY PROJECT — НАБОР БЕСПЛАТНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ РАБОЧЕГО СТОЛА.
МОЙ БЛОГ
GRAY FUR FRAMEWORK — УДОБНАЯ И БЫСТРАЯ РАЗРАБОТКА WINAPI ПРИЛОЖЕНИЙ

Alex Cones

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от Alex Cones