Как определить в какой четверти находится число

Определение четверти на координатной плоскости

Всем известна прямоугольная (декартова) система координат, в которой две перпендикулярные оси делят плоскость на четверти. В первую четверть попадают точки, у которых обе координаты ( x и y ) больше нуля. Во вторую: x < 0, y >0; в третью: x < 0, y < 0; в четвертую: x >0, y < 0.

Требуется написать программу, определяющую по координатам точки, в какой четверти она находится. Координаты точки вводятся с клавиатуры.

Примеры выполнения программы:

x = 4 y = 5 Четверть I

x = -3 y = 5 Четверть II

x = -4 y = -10 Четверть III

x = 5 y = -1 Четверть IV

x = 0 y = 4 Точка лежит на оси

Программа на языке Паскаль (1 вариант)

var x, y: integer; begin write('x = '); readln(x); write('y = '); readln(y); if (x > 0) and (y > 0) then writeln('Четверть I') else if (x < 0) and (y >0) then writeln('Четверть II') else if (x < 0) and (y < 0) then writeln('Четверть III') else if (x >0) and (y < 0) then writeln('Четверть IV') else writeln('Точка лежит на оси'); end.

Для решения этой задачи уместно использовать условные операторы if-else вложенные друг в друга.

Зачем использовать вложенные if-else , если без них программа будет выглядеть проще и работать также?

Второй вариант решения задачи на языке Pascal

var x, y: integer; begin write('x = '); readln(x); write('y = '); readln(y); if (x > 0) and (y > 0) then writeln('Четверть I'); if (x < 0) and (y >0) then writeln('Четверть II'); if (x < 0) and (y < 0) then writeln('Четверть III'); if (x >0) and (y < 0) then writeln('Четверть IV'); if (x = 0) or (y = 0) then writeln('Точка лежит на оси'); end.

Дело в том, что во втором варианте программы поток выполнения будет проверять все ветки if , даже если будет уже известно, что точка принадлежит I или II четверти. Здесь каждая инструкция if никак не зависит от других. Другими словами, такая программа выполняет лишние бессмысленные действия.

В реальном программировании, чтобы избежать "лестницы", которую создают вложенные условные операторы, изменяют стиль написания кода: вложенный if поднимают к обрамляющему его else . С точки зрения компилятора программа ниже ничем не отличается от первого варианта. Она лишь лучше выглядит.

Третий вариант исходного кода

var x, y: integer; begin write ('x = '); readln (x); write ('y = '); readln (y); if (x > 0) and (y > 0) then writeln ('Четверть I') else if (x < 0) and (y >0) then writeln ('Четверть II') else if (x < 0) and (y < 0) then writeln ('Четверть III') else if (x >0) and (y < 0) then writeln ('Четверть IV') else writeln ('Точка лежит на оси'); end.

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

обозначение четвертей на числовой окружности

\((\) \(\frac\) \(;2π)\) - четвертая четверть

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти - синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти - все четыре функции будут положительны.

знаки тригонометрических функций по четвертям

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой?
Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство \(π\) , то есть угол \(a\) такой, что больше \(π\), но меньше \(\frac\) .
Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: \(-0,8\).

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac\) , но и углы от \(2π\) до \(\frac\) , и от \(4π\) до \(\frac\) , и от \(6π\) до \(\frac\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

разные обозначения четвертей

\((0;-\) \(\frac\) \()\) - четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

в какой четверти находится точка соответствующая числу -21 пи/8

в какой четверти находится точка соответствующая числу
-21 пи/8=-(2π+(5π/8))=-(2π+112,5°)
- знак минус обозначает, что двигаться по окружности будем по часовой стрелке
-2π или 360°-мы совершим полный оборот
- осталось 112° пройти, 4 четверть 90°, нам надо еще 22° пройти, т. е. мы попадем в 3-ю четверть. !
или другой вариант рассуждения: вся окружность 360°, следовательно, если мы уберем наш угол -112°, останется угол равный
360°-112°=248°
1-я четверть от 0° до 90°
2-я четверть от 90° до 180°
3-я четверть от 180° до 270°
4-я четверть от 270° до 360°
Следовательно, 248° - третья четверть
Удачи!

Упр.11.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Изображение Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая заданному числу?а) 6; б) -4,5; в 3,3; г.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением