Сколько всего комбинаций при бросании двух кубиков

Решение задач о бросании игральных костей

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

• Одна игральная кость
• Две игральные кости
• Другие задачи
• Полезные ссылки

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac=\frac; \quad P(AB)=\frac=\frac=\frac;\\ P(B|A)=\frac=\frac=\frac. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один. » удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного. «. В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$

Полезные ссылки

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Комбинации из 2х игральных костей

Друзья, вот такой вопрос не дает покоя.
Есть 2 игральных кубика, распишем все комбинации которые из них могут выпасть
(1, 1) (2, 1) .
(1, 2) (2, 2) .
.

Суммарно их 36, можно пальцем пересчитать.
И вот глупый вопрос, сколько будет комбинаций в которых будет 1 и 1? Одна или две ? А сколько комбинаций в которых есть 1 и 2, положение кубиков различаем.

Выпало на первом кубике единичка и на втором единичка, и поменяли их местами. Итого 2 комбинации? Тогда вероятность получается 2/(36+6). 36 которые в таблице и 6 это которые для парных комбинаций.
Теперь с точки зрения вероятностей. Нам надо комбинацию (1, 1) Вероятность будет 1/36.

А если сравнить комбинации в которых есть 1 и 1 с комбинацией в которых есть 1 и 2, каждой может быть по две, но вероятность выпадения первой 1/36, а второй 2/36. Это и из таблички видно и если кубики по очереди кидать тоже понятно как получается. Но в чем разница если кидать кубики одновременно? Ведь и той и той комбинаций по 2.

Идти читать теорию, да?

Сколько всего комбинаций при бросании двух кубиков

Вероятность выпадения чисел при бросании двух игральных костей

В игре участвуют две игральные кости, и каждая игральная кость имеет 6 граней. Таким образом, возможно всего 36 различных комбинаций с суммами между 2 и 12.

Следующая таблица комбинаций игральных костей разъясняет это:

Как Вы видите из таблицы:
Только 1 комбинация даст Вам 2 и 12
2 комбинации дадут Вам 3 и 11
3 комбинации дадут Вам 4 и 10
4 комбинации дадут Вам 5 и 9
5 комбинаций дадут Вам 6 и 8
и самое большее — 6 комбинаций дадут Вам 7

В процентах:
2 — 2,7 %
3 — 5,5 %
4 — 8,3 %
5 — 11,1 %
6 — 13,8 %
7 — 16,6 %
8 — 13,8 %
9 — 11,1 %
10 — 8,3 %
11 — 5,5 %
12 — 2,7 %

Итого 99,4 % (0,6 % ушло на округления)

Проверить лично можно сыграв несколько партий у нас, на сайте https://monopolystar.ru/

Последний раз редактировалось Oboronitel; 06.06.2023 в 16:56 .
Общий рейтинг: 149670
Регистрация: 20.01.2014
Сообщений: 1
Общий рейтинг: 4208
Регистрация: 16.03.2014
Сообщений: 1

В подобных играх (онлайн разных жанров) как правило существует «ранд». В данном случае — на каждое число или комбинацию. Т.е., для каждого числа вероятность его выпадения фактически одинакова. НО можно изначально программно повысить «сложность», сделать некоторые числа «раритетными», вероятность выпадения которых будет ниже всех остальных.
Данная таблица, как мнение, имеет право на существование, но считаю, что она вовсе не объективна. Конкретно здесь. Вероятность, выставляемая администрацией, совсем не обязана подчиняться логике, результат которой здесь и приведён. Естественно, это всего лишь моё мнение, всем мира!

Юлин_котик

Посмотреть профиль

Отправить личное сообщение для Юлин_котик

Найти ещё сообщения от Юлин_котик

Общий рейтинг: 212
Регистрация: 08.11.2012
Сообщений: 15
Сообщение от Юлин_котик

В подобных играх (онлайн разных жанров) как правило существует «ранд». В данном случае — на каждое число или комбинацию. Т.е., для каждого числа вероятность его выпадения фактически одинакова. НО можно изначально программно повысить «сложность», сделать некоторые числа «раритетными», вероятность выпадения которых будет ниже всех остальных.
Данная таблица, как мнение, имеет право на существование, но считаю, что она вовсе не объективна. Конкретно здесь. Вероятность, выставляемая администрацией, совсем не обязана подчиняться логике, результат которой здесь и приведён. Естественно, это всего лишь моё мнение, всем мира!

Ваше замечание верно если тут один счетчик случайного числа сразу на 2 кубика(2-12).
Но возможно тут при бросание кубиков программа рандомит каждый кубик по отдельности, тогда эта таблица будет также справедлива.

Da_Dao_MedveD

Посмотреть профиль

Отправить личное сообщение для Da_Dao_MedveD

Найти ещё сообщения от Da_Dao_MedveD

Общий рейтинг: 632
Регистрация: 11.04.2011
Сообщений: 942

Da_Dao_MedveD, Юлин_котик, полезно будет прочитать. Абсолютно ничего не не меняли в стандартном рендоме, поэтому таблица вероятностей полностью соответствует Вашему игровому процессу.

Последний раз редактировалось Maxim; 09.10.2016 в 08:46 .
Капиталист
Общий рейтинг: 771
Регистрация: 31.12.2013
Сообщений: 8
Re: Вероятность выпадения чисел при бросании двух игральных костей

Враньё! Вероятность с тюрьмы и с отдыха выкинуть 5 очень велика. Или очень с высокой доли вероятности можно сказать, что я попаду на + или -. Так, что вероятность в первом посте- ТУФТА!
Или замечали такое, что можно раза 3 или 4 подряд со старта попадаешь на «тюрьму» и перемещаешься на отдых. Так же и с выхода из «тюрьмы» попадаешь на «отдых» и в тюрьму опят. Не замечали? Так, что объективности «СЛУЧАЙНЫХ» цифр тут не работает. Т.е попросту- ОБМАН!

Научный форум dxdy

Как сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N костей (кубиков)?

На страницу 1 , 2 , 3 След.

Как сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:10

Последний раз редактировалось serg2 14.01.2012, 18:47, всего редактировалось 1 раз.

Игральная кость — кубик с нумерованными гранями от 1 до 6

Ищу формулу, по которой реально сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N игральных костей.

Сосчитал вручную количество исходов выпадения двух костей = 21
(или 36, если учитывать, что 15 исходов дублируются как 1-2 и 2-1)

Re: Как сосчитать число сочетаний выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:18

Последний раз редактировалось Whitaker 14.01.2012, 18:21, всего редактировалось 1 раз.

serg2
Я не совсем понял что Вы хотите найти. Сформулируйте пожалуйста более точно условие задачи.
Re: Как сосчитать число сочетаний выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:27

Последний раз редактировалось serg2 14.01.2012, 18:32, всего редактировалось 4 раз(а).

Когда я бросаю одну кость — имею 6 вариантов исходов (1,2,3,4,5,6)

Когда я играю в нарды и выбрасываю 2 кости — то количество выпадающих исходов двух костей равно 21 чистых вариаций и 36 с дублированными исходами.
тут приведены эти варианты выпаданий:
http://logicgamesmasters.by/content/sha . -v-nardakh

или так (21 вариант без учета 15 дублей):
1-1
1-2 2-2
1-3 2-3 3-3
1-4 2-4 3-4 4-4
1-5 2-5 3-5 4-5 5-5
1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6

Нужна формула подсчета сочетаний для исходов выбрасываний 3, 4, 5, 6, 7 . n кубиков

Для сочетаний из трех кубиков — имеем — 126 чистых исходов и 216 с тройными дубляжами (типа 6-6-2 / 6-2-6 / 2-6-6)

Re: Как сосчитать число сочетаний выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:35

Последний раз редактировалось Whitaker 14.01.2012, 18:43, всего редактировалось 1 раз.

Понятно serg2 . Задача интересная. Сейчас подумаем
Re: Как сосчитать число сочетаний выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:44

Спасибо, Whitaker
Думал, что эта задача давным давно уж решена и ничего не стоит отгуглить решение в интернете, однако убитый день старого нового года, не дав приемлемого результата, привел к Вам математикам.

С Новым Старым Годом!

Re: Как сосчитать число сочетаний выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:50

serg2
Когда у нас всего 3 кубика у меня ответ получился иной.
Когда все различны всего таких , так как порядок для нас не важен.
Когда только 2 различных всего
Когда все одинаковые то всего случаев.
В итоге получается
У меня такой ответ получился. а почему у Вас другой? Может быть я Вас неправильно понял

Re: Как сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 18:57

Супермодератор

Эта задача сводится к одной из классических урновых схем . Прочитайте об этом здесь (там и про кости тоже есть) и подумайте, как свести Вашу задачу к подходящей урновой схеме.

Re: Как сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 19:16

Последний раз редактировалось serg2 14.01.2012, 19:36, всего редактировалось 5 раз(а).

Спасибо, PAV — разобрался!
Re: Как сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 19:37

Последний раз редактировалось Whitaker 14.01.2012, 19:39, всего редактировалось 1 раз.

У Вас есть три кости и на каждой из них есть цифры комбинация?
— это общее число комбинаций.
Бросая первую кость у вас имеется всего способов, бросая вторую кость также способов и наконец-то бросая третью кость тоже способов.
Для каждого первого броска существует бросков, а для каждого второго броска существует бросков. Всего

— Сб янв 14, 2012 19:39:18 —

serg2 в сообщении #526826 писал(а):
Спасибо, PAV — разобрался!

Если разобрались, то напишите что Вы получили?
Re: Как сосчитать число сочетаний выпадания N костей (кубиков)?
14.01.2012, 19:43

Последний раз редактировалось serg2 14.01.2012, 19:53, всего редактировалось 3 раз(а).

Whitaker в сообщении #526814 писал(а):

serg2
Когда у нас всего 3 кубика у меня ответ получился иной.
Когда все различны всего таких , так как порядок для нас не важен.
Когда только 2 различных всего
Когда все одинаковые то всего случаев.
В итоге получается
У меня такой ответ получился. а почему у Вас другой? Может быть я Вас неправильно понял

Наводка PAV — хоть и сомнительна — но подтверждает мою цифру, полученную простым пересчетом выпадающих комбинаций.
(благо, любая таблица реальных исходов до 1000 составляется быстро )

Пока мучаюсь в сомнениях от полученных результатов.

56 цифра интуитивно маловатая для исходов трех кубиков 6x6x6

Да — ПРИ ОДНОМ БРОСАНИИ N КОСТЕЙ — получаем N*(N раз) комбинаций их выпадения

По крайней мере это подтверждается первыми тремя итерациями

Остается дорешить задачу с дублирующими комбинациями и нахождением чистых цифровых комбинаций