Как написать уравнение по графику
Argument ‘Topic id’ is null or empty
Сейчас на форуме
© Николай Павлов, Planetaexcel, 2006-2023
info@planetaexcel.ru
Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.
| ООО «Планета Эксел» ИНН 7735603520 ОГРН 1147746834949 |
ИП Павлов Николай Владимирович ИНН 633015842586 ОГРНИП 310633031600071 |
1. Уравнение касательной к графику функции
Даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); известно, что существует f ′ ( a ) .
Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M\) имеет вид \(y=kx+m\). Найдём значения коэффициентов \(k\) и \(m\).
Известно, что k = f ′ ( a ) . Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
При подстановке координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).
Подставим найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:
y = kx + m ; y = kx + ( f ( a ) − ka ) ; y = f ( a ) + k ( x − a ) ; y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)
1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой \(a\).
3. Находим f ′ ( x ) и вычисляем f ′ ( a ) .
4. Подставляем найденные числа \(a\), \(f(a)\), f ′ ( a ) в формулу y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .
Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство Δ y ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x ;
или, подробнее, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x .
В этом приближённом равенстве заменим \(x\) на \(a\), вместо x + Δ x будем писать \(x\) и тогда Δ x будет равно \(x-a\). Получим:
f ( x ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) ( x − a ) или f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .
Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке \(x\) равно значению касательной в этой точке.
Как написать уравнение по графику
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Любая прямая, не перпендикулярная оси , может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением . Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.
Итак, уравнением можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой
Если , то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же , то Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как
Угловой коэффициент прямой
Зафиксируем на графике линейной функции точку . Пусть – произвольная точка графика. Из треугольника легко увидеть, что Уравнение
называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку .
Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: и Из треугольника следует, что Таким образом, уравнение
задает прямую, проходящую через две заданные точки .
Уравнение прямой в отрезках на осях
Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой , где . Его можно преобразовать к виду Это уравнение пересекает координатные оси в точках и . в чем легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках :
Как для графика составить уравнение
Глядя на график прямой, можно без особых сложностей составить ее уравнение. При этом вам могут быть известны две точки, либо нет – в таком случае начинать решение нужно с поиска двух точек, принадлежащих прямой.
Статьи по теме:
- Как для графика составить уравнение
- Как решать графические уравнения
- Как составить уравнение параболы
Инструкция
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой, выберите ее на линии и опустите перпендикулярные линии на оси координат. Определите, какому числу соответствует точка пересечения, пересечение с осью ох – это значение абсциссы, то есть х1, пересечение с осью оу — это ордината, у1.
Постарайтесь выбрать точку, координаты которой можно определить без дробных значений, для удобства и точности расчетов. Для построения уравнения вам нужно как минимум две точки. Найдите координаты еще одной точки, принадлежащей данной прямой (х2, у2).
Подставьте значения координат в уравнение прямой, имеющей общий вид у=kx+b. У вас получится система из двух уравнений у1=kx1+b и y2=kx2+b. Решите эту систему, например, следующим способом.
Выразите b из первого уравнения и подставьте во второе, найдите k, подставьте в любое уравнение и найдите b. Например, решение системы 1=2k+b и 3=5k+b будет выглядеть так: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1.5, b=1-2*1,5=-2. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y=1,5х-2.
Зная две точки, принадлежащие прямой, попробуйте воспользоваться каноническим уравнением прямой, оно выглядит таким образом: (х — х1)/(х2 — х1)=(у — у1)/(у2 — у1). Подставьте значения (х1;у1) и (х2;у2), упростите. Например, точки (2;3) и (-1;5) принадлежат прямой (х-2)/(-1-2)=(у-3)/(5-3); -3(х-2)=2(у-3); -3х+6=2у-6; 2у=12-3х или у=6-1,5х.
Чтобы найти уравнение функции, имеющей нелинейный график, действуйте так. Просмотрите все стандартные графики y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx и т.д. Если один из них напоминает вам ваш график, возьмите его за основу.
Начертите на той же оси координат стандартный график функции-основы и найдите его отличия от своего графика. Если график перенесен на несколько единиц вверх или вниз – значит к функции добавлено это число (например, у=sinx+4). Если график перенесен вправо или влево, значит, число добавлено к аргументу (например, у=sin (х+П/2).
Вытянутый график в высоту график говорит о том, что функция аргумента умножена на какое-то число (например, у=2sinx). Если график, напротив, уменьшен в высоту, значит, число перед функцией меньше 1.
Сравните график функции-основы и вашей функции по ширине. Если он более узкий, значит перед х стоит число больше 1, широкий – число меньше 1 (например, у=sin0.5х).
Подставляя в получившееся уравнение функции разные значения х, проверяйте, правильно ли находится значение функции. Если все верно — вы подбрали уравнение функции по графику.
Обратите внимание
Возможно, график соответствует найденному уравнению лишь на определенном отрезке. В таком случае укажите, для каких значений х выполняется полученное равенство.
Совет полезен?
Статьи по теме:
- Как найти функцию по ее графику
- Как решать график функции и касательной
- Как по точкам найти функцию
Добавить комментарий к статье
Похожие советы
- Как построить график заданной функции
- Как составить каноническое уравнение прямой
- Как найти координаты точек пересечения графика функции
- Как найти каноническое уравнение прямой
- Как написать уравнение касательной
- Как найти уравнение касательной к графику функции
- Как найти уравнение перпендикулярной прямой
- Как строить графики функций
- Как построить квадратичную функцию
- Как составить параметрическое уравнение
- Как строить график координат
- Как вычислить функцию и построить график