Расстояние от точки до прямой на плоскости.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой A x + B y + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y ) до прямой можно найти, используя следующую формулу
| d = | |A·M x + B·M y + C| |
| √ A 2 + B 2 |
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости
Найти расстояние между прямой 3 x + 4 y — 6 = 0 и точкой M(-1, 3).
Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки
| d = | |3·(-1) + 4·3 — 6| | = | |-3 + 12 — 6| | = | |3| | = 0.6 |
| √ 3 2 + 4 2 | √ 9 + 16 | 5 |
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
1. Окружность и касательная
В плоскости прямая и окружность могут пересекаться или не пересекаться. При пересечении могут иметь одну или две общие точки.
1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то у прямой и окружности общих точек нет.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то у прямой и окружности две общие точки.
В этом случае прямую называют секущей окружности.
Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей .
3. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то у прямой и окружности одна общая точка.
В этом случая прямую называют касательной к окружности.
Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Предположим, что радиус \(OA\) не перпендикулярен к прямой, но является наклонной. Тогда из точки \(O\) можно провести перпендикуляр к прямой, который будет короче радиуса. А это означает, что расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, и у прямой и окружности должны быть две общие точки. Но это противоречит данной информации, наше предположение неверно.
Если из точки к окружности проведены две касательные, то
а) длины отрезков касательных от этой точки до точки касания равны,
б) прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.
Пусть \(AB\) и \(AC\) — касательные к окружности с центром \(O\).
Требуется доказать, что \(AB = AC\) и \(OA\) является биссектрисой угла \(A\).
Треугольники \(OBA\) и \(OCA\) — прямоугольные, так как касательные перпендикулярны к радиусам в точках \(B\) и \(C\). Сторона \(OA\) — общая. Катеты \(OB\) и \(OC\) равны как радиусы одной и той же окружности. Треугольники равны по гипотенузе и катету, отсюда равны и катеты \(AB\) и \(AC\), и углы \(BAO\) и \(CAO\), то есть \(OA\) делит угол пополам.
Как найти расстояние от центра окружности до прямой
Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.
Re: Расстояние прямой до окружности
| От: | c_o_d |
| Дата: | 13.07.07 09:44 |
| Оценка: |
дык пощитай растояние от центра до прямой. Длину перпендикуляра. А потом сравни его с радиусом. вот тебе и как близко
Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:
F>Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.
Вот так вот.
Re: Расстояние прямой до окружности
| От: | tinytjan | |
| Дата: | 13.07.07 09:52 | |
| Оценка: | 1 (1) | |
Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:
F>Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.
Есть прямая y = ax + b. Коэффициенты можно вывести без особых затруднений
Если а == оо , т.е. прямая вертикальная то расстояние ( d ) определяется как разность коэффициента b (координата х точки прямой) и координаты х центра окружности.
Иначе
d = abs(y0 — a*x0 — b)/sqrt(1 + a^2)
Дальше сравниваешь с радиусом и делаешь че надо.
Re: Расстояние прямой до окружности
| От: | Socrat | |
| Дата: | 13.07.07 10:34 | |
| Оценка: | 3 (1) | |
Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:
F>Прямая задана 2мя точками. Как определить ее расстояние до центра окружности? Посчитал по школьным формулам, какие помнил, но что-то очень громоздко получается. Мне нужно определить пересекается ли прямая с окружностью и если пересекается, то как близко от центра проходит.
В свое время я тоже решал эту задачу, и оказалось, что через векторное произведение проще всего:
Пусть
(0,0) — одна из точек прямой
(x1,y1) — вторая точка прямой
(x2,y2) — центр окружности
Тогда расстояние от центра окружности до прямой:
D = |(x1y2 — x2y1)/sqrt(x1^2+y1^2)|
Re[2]: Расстояние прямой до окружности
| От: | Flem1234 |
| Дата: | 13.07.07 11:12 |
| Оценка: |
Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>Пусть
S>(0,0) — одна из точек прямой
S>(x1,y1) — вторая точка прямой
S>(x2,y2) — центр окружности
S>D = |(x1y2 — x2y1)/sqrt(x1^2+y1^2)|
А что если прямая не проходит через центр координат, как изменится формула?
Re[3]: Расстояние прямой до окружности
| От: | Sealcon190 | |
| Дата: | 13.07.07 12:02 | |
| Оценка: | 1 (1) | |
Здравствуйте, Flem1234, Вы писали:
F>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:
S>>Пусть
S>>(0,0) — одна из точек прямой
S>>(x1,y1) — вторая точка прямой
S>>(x2,y2) — центр окружности
S>>D = |(x1y2 — x2y1)/sqrt(x1^2+y1^2)|
F>А что если прямая не проходит через центр координат, как изменится формула?
Элементарно. Пусть (x,y) — первая точка, тогда
D = |((x1-x)(y2-y) — (x2-x)(y1-y))/sqrt((x1-x)^2 + (y1-y)^2)|
Как найти расстояние от центра окружности до прямой
УПС, страница пропала с радаров.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Вам может понравиться Все решебники
Юлия Ваулина, Джунни Дули
Шмелёв, Флоренская
Никольский
Никольский, Потапов
Мерзляк, Поляков
Иванов, Кузнецова
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.