Конев В.В. Комплексные числа
Основные понятия
Полярная система координат 
Основные понятия
Приложения
 |
    |
  или  |
Координатными линиями в полярной системе координат являются концентрические окружности 
и лучи 
.
Рис. 5. Координатные линии в полярной системе координат.
Как найти полярные координаты точки
Полярные координаты — угол направления (угол положения) на определяемую точку, измеряемый по ходу часовой стрелки от полярной оси, и расстояние (дальность) от полюса до этой точки однозначно определяют положение точки на плоскости относительно начала координат — точки О (рис.1).
Рис.1 Полярные координаты точки А.
Система полярных координат проста и может быть построена в любой точке местности, принятой за полюс. Углы и расстояния на местности, необходимые для определения местоположения объектов (целей), в этой системе при небольших расстояниях измеряют с помощью приборов наблюдения. Поэтому система плоских полярных координат широко применяется при засечке целей с одного наблюдательного пункта, целеуказании, ориентировании и т. п. При необходимости линейные и угловые измерения выполняют специальными дальномерами и угломерными приборами (устройствами). Полярной осью в этой системе координат может служить линия геодезического (астрономического) меридиана, магнитного меридиана, вертикальная линия координатной сетки на карте или принятое за начальное направление на удаленный ориентир на местности.
Полярные координаты точки на плоскости называются плоскими полярными координатами, а точки на референц-эллипсоиде — геодезическими полярными координатами. Положение точки на эллипсоиде относительно полюса определяется длиной геодезической линии S (геодезическая линия — кратчайшее расстояние между двумя точками на эллипсоиде. На всём протяжении она пересекает меридианы под углом 90 градусов) от полюса до определяемой точки и геодезическим азимутом А ее направления в точке, принятой за полюс. Геодезические полярные координаты определяют местоположение различных объектов, удаленных от п’олюса на значительные расстояния. Они широко применяются в радиотехнических системах при радиопеленговании и в других случаях.
| Новости Публикации Из истории |
Измерения по топографической карте Масштаб Измерение расстояний Измерение площадей |
Полярные и биполярные координаты Полярные Биполярные |
| Виды топографических карт По содержанию  По масштабам По назначению |
Измерение углов на местности Понятие тысячных Биноклем Компасом Линейкой Другие способы |
Разведка местности Сущность Определение условий наблюдения Определение защитных свойств местности |
| Номенклатура топографических карт Проекции карт Разграфка и номенклатура |
Измерение расстояний на местности По линейным и угловым размерам предмета Другие способы |
Тактические свойства местности Местность и ведение боя По характеру рельефа По характеру почв и растительности |
| Плоские прямоугольные координаты Понятие Определение по карте Нанесение точек Сетка соседней зоны |
Целеуказание на местности Сущность Виды |
Движение по азимутам Сущность Подготовка данных по карте Ориентирование в особых условиях |
| Геодезические координаты Понятие Определение по карте Нанесение точек |
Определение сторон горизонта По компасу Небесным светилам Признакам местных предметов |
Аэрофотоснимки местности Общие сведения Отображение местных предметов и рельефа Работа с плановым снимком |
| Дирекционный угол и азимуты Дирекционный Истинный Магнитный Сближение меридианов |
Ориентирование карты По ориентирам По компасу По Полярной звезде |
Навигационные средства и системы Гирополукомпас Координатор ГЛОНАСС НАВСТАР |
| Определение высот и превышений Виды и формы рельефа Проекция рельефа на плоскость |
Определение точки стояния По ориентирам Промером расстояния По створу Засечкой |
Цифровые карты местности Понятие и требования Классификация Методы создания Пространственные модели местности |
| Содержание топографических карт Основные элементы Гидрография Растительность Дороги Населённые пункты Промышленные и другие объекты Геодезические пункты Границы Зарамочное оформление карт |
Учебные пособия Учебники  Сборник условных  знаков |
Рабочая карта командира Подготовка карты к работе Основные правила ведения Использование рабочей карты Работа с картой на местности Целеуказание по карте и аэрофотоснимкам Понятие об изучении и оценке местности в АСУБ |
Как найти полярные координаты точки
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).
Символ М( ; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n — целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
, .
В этом же случае формулы
,
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
| 26 | Построить точки, заданные полярными координатами: A(3; p /2), B(2; p ), C(3; — p /4), D(4; 22/7), E(5; 2) и F(1; -1). |
| 27 | Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам M 1(3; p /4), M2(2; — p /2), M3(3; — p /3), M4(1; 2), M5(5; -1), заданным в полярной системе координат. |
| 28 | Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам M 1(1; p /4), M2(5; p /2), M3(2; — p /3), M4(4; 5 p /6), M5(3; -2), заданными в полярной системе координат. |
| 29 | В полярной системе координат даны две вершины А(3; -4p /9) и B(5; 3 p /14) параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма. |
| 30 | В полярной системе координат даны токи A(8; p /2) и B(6; p /3). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В. |
| 31 | В полярной системе координат даны точки А(3; p /2), B(2; — p /4), C(1; p ), D(5; -3 p /4), E(3; 2), F(2; -1). Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе. |
| 32 | В полярной системе координат даны точки M 1(3, p /3), M2(1; 2 p /3), M3(2; 0), M4(5; p /4), M5(3; -2 p /3), M6(1; 11 p /12). Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку M 1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе. |
| 33 | В полярной системе координат даны точки М 1(12; 4 p /9), M2(12; -2 p /9). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки М 1 и М 2. |
| 34 | В полярной системе координат даны точки М 1( r 1, q 1) и М 2( r 2, q 2). Вычислить расстояние d между ними. |
| 35 | В полярной системе координат даны точки М 1(5; p /4), М 2(8; — p /2). Вычислить расстояние d между ними. |
| 36 | В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата М 1(12; — p /10), М 2(3; p /15). Определить его площадь. |
| 37 | В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата P(6; -7p /12), Q(4; p /6). Определить его площадь. |
| 38 | В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А(4; -p /12), B(8; 7 p /12). Определить его площадь. |
| 39 | Одна из вершин треугольника OAB находится в полюсе, две другие суть точки А(r 1, q 1) и В( r 2, q 2). Вычислить площадь этого треугольника. |
| 40 | Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(5; p /4), B(4, p /12). Вычислить площадь этого треугольника. |
| 41 | Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3; p /8), B(8; 7 p /4), C(6; 5 p /8) заданы в полярных координатах. |
| 42 | Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки M 1(6; p /2), M2(5; 0), M3(2; p /4), M4(10; — p /3), M5(8; 2 p /3), M6(12; — p /6). Определить декартовы координаты этих точек. |
| 43 | Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки М 1(0; 5), M2(-3; 0); M3(; 1), M4(; ), M5(1; ). Определить полярные координаты этих точек. |
| Текст издания: © Д.В.Клетенник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/ , http://kirill-kravchenko.narod.ru/ |
Координаты точки в полярной системе координат
Еще один способ определения положения точки на плоскости при помощи чисел — полярная система координат.
Рассмотрим на плоскости ось l с единичным вектором е и началом отсчета О (рис. 42).
Пусть М произвольная точка плоскости, не совпадающая с точкой О. Тогда \(\overrightarrow\) — радиус-вектор точки М относительно точки О.
Пусть r — длина вектора \(\overrightarrow\), т. е. | \(\overrightarrow\) | = r, а φ — угол между осью l и радиус-вектором \(\overrightarrow\). Угол φ = \(\widehat
Числа r и φ называются полярными координатами точки М: r — полярный радиус, φ — полярный угол.
Ось l называется полярной осью, а точка О — полюсом.
Полярный радиус точки О принимается равным нулю, полярный угол точки О не определяется.
Если точка М имеет полярные координаты r и φ, то пишут М ( r ; φ). Например, точка К (рис. 43) имеет координаты r = 2, φ = 45°, т. е. K (2; 45°).
Очевидно, что положение точки на плоскости полностью определяется заданием ее полярных координат.
Если r > 0, а φ — произвольное число, то существует (и притом только одна) точка М такая, что
Если r = 0, то точка совпадает с полюсом.
Отметим, что полярный угол точки, не совпадающей с полюсом, определяется неоднозначно. Например, полярным углом для точки K (см. рис. 43) является не только угол φ = 45°, но и угол φ = 405° и, вообще, любой угол φ = 45° + 360°k, где k = 0, ±1, ±2 . .
Полярный угол точки определяется с точностью до слагаемого, кратного 360°. Если r > 0, то пары чисел (r ; φ) и (r ; φ + 360°k), где k = 0, ±1, ±2 . определяют одну и ту же точку плоскости. Чтобы соответствие между точками плоскости (за исключением полюса) и их полярными координатами было взаимно однозначным на полярный угол φ накладывают ограничение 0 < φ < 360°.
Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами одной и той же точки М плоскости.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат О, i, j (рис. 44).
Примем начало координат -точку О -за полюс, ось абсцисс — за полярную ось l. Тогда луч [О у) оси ординат направлен под углом 90° к оси l.
Очевидно, декартовы координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:
х = r cos φ, y = r sin φ. (1)
Формулы (1) позволяют находить прямоугольные декартовы координаты точки по ее полярным координатам. Из формулы (1) получаем
х 2 + у 2 = r 2 cos 2 φ + r 2 sin 2 φ = r 2 ( cos 2 φ + sin 2 φ) = r 2 ,
Если r =/= 0 ( М не совпадает с точкой О), то из (1) и (2) следует
Формулы (2), (3) позволяют переходить от прямоугольных декартовых координат точки к ее полярным координатам.
Задача 1. Найти полярные координаты точки М (-1;\(\sqrt\)).
По формуле (2) находим
По формулам (3) имеем
cos φ = -1 /2 = — 1 /2 , sin φ = √ 3 /2,
откуда φ = 120°. Итак, М (2; 120°).
Задача 2. Найти прямоугольные декартовы координаты точки М(4; 135°).
По формулам (1) имеем
х = 4 • cos135° = 4 • (- √ 2 /2) = — 2√ 2 ,
у = 4 • sin 135° = 4 • √ 2 /2 = 2√ 2 .
Итак, М (- 2√ 2 ; 2√ 2 ).