линейная-алгебра — Найти ортогональный базис
Используйте процесс Грама ― Шмидта, чтобы найти ортогональный базис в линейной оболочке следующей системы векторов: $%e_1=\pmatrix$%, $%e_2=\pmatrix$%, $%e_3=\pmatrix$%.
задан 27 Окт ’14 16:00
Рита Вернер
29 ● 1 ● 1 ● 6
100% принятых
1 ответ
Будем строить ортогональный базис $%f_1$%, $%f_2$%, $%f_3$%.
Полагаем $%f_1=e_1$%. Следующий вектор ищем в виде $%f_2=e_2+\alpha f_1$%. Векторы должны быть ортогональны, откуда $%0=(f_1,f_2)=(e_1,e_2)+\alpha(e_1,e_1)$%. Находим скалярные произведения: $%(e_1,e_1)=7$%; $%(e_1,e_2)=-5$%. Отсюда $%\alpha=5/7$%. Чтобы избежать дробей, производим умножение на $%7$%, то есть полагаем $%f_2=7e_2+5f_1=(-9;12;3;-9)$%, и теперь можно сократить на $%3$%, окончательно имея $%f_2=(-3;4;1;-3)$% (в виде столбца).
Теперь ищем третий базисный вектор в виде $%f_3=e_3+\beta f_1+\gamma f_2$%, исходя из условий ортогональности $%0=(f_3,f_1)=(e_3,f_1)+\beta(f_1,f_1)$% и $%0=(f_3,f_2)=(e_3,f_2)+\gamma(f_2,f_2)$%. Скалярные произведения таковы: $%(f_1,f_1)=7$%; $%(f_2,f_2)=35$%; $%(e_3;f_1)=-8$%; $%(e_3;f_2)=24$%. Отсюда $%\beta=8/7$% и $%\gamma=-24/35$%. Производим домножение на 35, полагая $%f_3=35e_3+40f_1-24f_2=(-28;-21;21;7)$%, после чего сокращаем на 7, имея столбец $%f_3=(-4;-3;3;1)$%.
Искомый базис имеет вид $%f_1=(1;1;2;1)$%; $%f_2=(-3;4;1;-3)$%; $%f_3=(-4;-3;3;1)$%. Можно на всякий случай сделать проверку, убедившись в ортогональности построенной системы.
отвечен 27 Окт ’14 16:26
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Найти ортогональный базис подпространства
Посредством процесса ортогонализации найти ортогональный базис подпространства, натянутого на векторы:
Найдем общее решение системы
Найдем фундаментальную систему решений
Придадим переменной произвольные значения.
, тогда , . Если
В чем ошибка? Спасибо.
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Найти ортогональный базис подпространства L
Найти ортогональный базис подпространства L, заданного однородною системою СЛАР. Найти базис.
Ортогональный базис подпространства
Добрый вечер. Помогите пожалуйста: 1. Что вообще из себя представляет это подпространство? 2.
Найти базис и размерность подпространства.
Доказать, что множество составляет подпространство пространства Pn. Найти его базис и.
2703 / 1759 / 184
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 5,078
Это, стесняюсь спросить, вообще чо?
Вот так делается ортогонализация. А описанный метод. ну, не знаю. находит, к примеру, ортогональное всем векторам подпространство.
Регистрация: 18.09.2016
Сообщений: 145
Решение правильное? Спасибо.
4217 / 3412 / 396
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,818
Сообщение от Лаврова Ксения 
Решение правильное?
Своё решение нужно учиться проверять самостоятельно. Полученный базис ортогональный?
Кликните здесь для просмотра всего текста
Правильные первые три строки решения, если не обращать внимания на потерянные разделители-запятые в векторах. (А терять их нельзя!)
Да и общие множители можно сократить, чтобы легче были следующие этапы.
Вектор можно записать в виде , это не повлияет на ортогональность.
2703 / 1759 / 184
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 5,078
Сообщение от Том Ардер
Правильные первые три строки решения
Имелось в виду, как понимаю, первые две. Яростно, впрочем, присоединяюсь к первой фразе: коли уж тебе известно, что такое скалярное произведение, твой священный долг перед миром — применить эти изнания!
Добавлено через 3 минуты
Сообщение от Том Ардер
, как я понял. Впрочем, ни то, ни другое
4217 / 3412 / 396
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,818
iifat, благодарю за поправку. У меня очепятка в векторе.
а у ТС всё-таки правильная и третья строка в #3 (с точностью до множителя и разделителей)
2703 / 1759 / 184
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 5,078
И правда. Где-то обсчитался.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Найти ортогональный базис линейной оболочки системы векторов
В общем осталось одно задание и не знаю как его решать:( Найти ортогональный базис линейной.
Найти любые два вектора, образующие базис подпространства
Рассмотрим плоскость в трехмерном пространстве R3, задаваемую уравнением вида x−2y+3z=0. Все.
Ортогональный базис
Здравствуйте, нужна помощь с пониманием ортогонального базиса. Дан подпростор P\subset \subset Q ;.
Построить ортогональный базис
применяя процесс ортогонализации, постройте ортогональный базис линейной оболочки векторов a, a.
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
линейная-алгебра — Как найти ортогональный базис пространства?
Задание: Пусть V — евклидово пространство всех многочленов над R степени
Очень прошу, объясните доступным языком, как такое решается?
задан 14 Апр ’14 22:14
niden
21 ● 3 ● 13
55% принятых
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
1 ответ
Рассматриваемое пространство имеет «естественный» базис из трёх многочленов: $%e_0=1$%, $%e_1=t$%, $%e_2=t^2$%. Легко видеть, что он не ортогонален: например, скалярное произведение первых двух векторов равно $%(e_0,e_1)=\int_0^1t\,dt=\frac12$%, то есть не равно нулю.
Построим новый базис из векторов $%f_0$%, $%f_1$%, $%f_2$% со свойством ортогональности. Положим $%f_0=e_0=1$%. Следующий вектор будем искать в виде $%f_1=e_1+ke_0$%, где $%k$% — неизвестный коэффициент. Нам нужно, чтобы векторы $%f_0$% и $%f_1$% были ортогональны, то есть их скалярное произведение равнялось нулю. Вычислим его: $%(f_0,f_1)=(e_0,e_1+ke_0)=(e_0,e_1)+k(e_0,e_0)$%. Мы уже нашли число $%(e_0,e_1)=\frac12$%. Таким же способом находим $%(e_0,e_0)=\int_0^1dt=1$%. Следовательно, $%\frac12+k=0$%, то есть $%k=-\frac12$%. Мы нашли тем самым вектор $%f_1=t-\frac12$%.
Теперь найдём аналогичным способом третий вектор нового базиса, представляя его в виде $%f_2=e_2+af_1+bf_0$%, где $%a$%, $%b$% — некоторые коэффициенты. Нам теперь требуется, чтобы этот вектор был ортогонален двум остальным, то есть выполнялись равенства $%(f_2,f_0)=0$% и $%(f_2,f_1)=0$%.
Первое равенство означает, что $%0=(e_2+af_1+bf_0,f_0)=(e_2,f_0)+b(f_0,f_0)$%. Слагаемое $%(f_1,f_0)$% исчезает в силу ортогональности векторов: в этом суть используемого метода. Находим $%(e_2,f_0)=(t^2,1)=\int_0^1t^2\,dt=\frac13$%. Коэффициент при $%b$% мы уже находили выше: он равен единице. Следовательно, $%0=\frac13+b$%, и $%b=-\frac13$%.
Второе равенство означает, что $%0=(e_2+af_1+bf_0,f_1)=(e_2,f_1)+a(f_1,f_1)$%. Найдём оба скалярных произведения. Во-первых, $%(e_2,f_1)=\int_0^1t^2(t-\frac12)dt=\int_0^1(t^3-\frac2)dt=\frac14-\frac16=\frac1$%. Во-вторых, $%(f_1,f_1)=\int(t-\frac12)^2dt=\int_0^1(t^2-t+\frac14)dt=\frac13-\frac12+\frac14=\frac1$%. Тем самым, $%0=\frac1+a\frac1$%, откуда $%a=-1$%.
Окончательно получаем $%f_2=e_2+af_1+bf_0=t^2-(t-\frac12)-\frac13=t^2-t+\frac16$%. Система $%f_0=1$%, $%f_1=t-\frac12$%, $%f_2=t^2-t+\frac16$% является ортогональным базисом данного евклидова пространства.
Использованный способ называется процессом ортогонализации Грама — Шмидта.
отвечен 14 Апр ’14 23:00
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Как найти ортогональный базис линейной оболочки
Сообщение 0201400 » 25 фев 2014, 20:20
Не знаю, в тот ли раздел. Вот задача, прошу помощи, хотя бы по первому пункту:
1. Найти ортогональный базис линейной оболочки, натянутой на следующие векторы \(a_1=(1,i,1); a_2=(0,i,0)\)
2. Найти матрицу перехода от базиса \(a_1 a_2\) к ортогональному. Сделать проверку.
3. Найти базис в ортогональном дополнении к \(L(a_1,a_2)\) . Сделать проверку.
Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Сообщение Алексей » 25 фев 2014, 23:00
Насколько я помню, там используется процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Сейчас подробно расписать, к сожалению, не могу — много срочной работы, но завтра вечером, думаю, смогу подробно ответить на ваши вопросы.
«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»
Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13
Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки
Сообщение Алексей » 26 фев 2014, 19:39
Итак, поднял свои старые конспекты, — действительно, для ответа на вопрос первого пункта нужно использовать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нам заданы два вектора трёхмерного пространства \(R^3\) , причём, насколько я понимаю, скалярное произведение считается по стандартной формуле (т.к. в условии не оговорено обратное). Так как параметр \(i\) в условии не пояснён, то будем считать его просто некоей константой.
Для начала отметим, что векторы линейно независимы. Показать это в нашем случае довольно просто. Обычно исследуют ранг матрицы, столбцы которой образуют заданные векторы. Но для двух векторов трёхмерного пространства можно использовать следующее утверждение: два вектора \(a_1\) и \(a_2\) будут линейно зависимыми, если существует константа \(c \neq 0\) такая, что выполнено равенство \(a_1=c\cdot a_2\) . Если такой константы не существует, то векторы \(a_1\) , \(a_2\) — линейно независимы. Допустим, такая константа есть в нашем случае, т.е. существует такое число \(c \neq 0\) , для которого выполнено равенство:
Векторы будут равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие координаты. Для равенства \((1;i;1)= (0;c i;0)\) это означает следующее: \(\left\ < \begin&1=0; \\ & i=c i; \\ & 1=0. \end \right.\) . Первое и третье уравнения этой системы дают явное противоречие Поэтому нет такой константы, для которой равенство \(a_1=c\cdot a_2\) выполнено. Вывод: векторы \(a_1\) , \(a_2\) - линейно независимы.
Теперь перейдём к процессу ортогонализации. Нам нужно составить систему из двух векторов: \(b_1\) , \(b_2\) . Согласно процессу Грама-Шмидта, мы принимаем \(b_1=a_1\) . Далее, \(b_2=a_2-\frac\cdot b_1\) . Имеем:
\(a_2\cdot b_1=a_2 \cdot a_1=(0;i;0)\cdot (1;i;1)=0+i^2+0=i^2;\)
\(b_1\cdot b_1=a_1 \cdot a_1=|a_|^=1^2+i^2+1^2=i^2+2.\)
«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»