Найдите значение х при котором векторы будут параллельны

Упр.414 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Изображение 414 Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) а <15; m; 1></p>
<p>и b ; б) с и d j — i; га; 5. » width=»678″ /></p>
<h3>Решение #2</h3>
<p><img decoding=

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 11 класс, Просвещение:

414 Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) а <15; m; 1>и b ; б) с и d j — i; га; 5 |.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Онлайн калькулятор. Коллинеарность векторов

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто определить являются ли два вектора коллинеарными.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на проверку коллинеарности двух векторов и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для проверки коллинеарности векторов

Колинеарные вектора

Размерность векторов:

Форма представления первого вектора:

Форма представления второго вектора:

Инструкция использования калькулятора для проверки коллинеарности векторов

выберите из выпадающего списка необходимую вам размерность и форму представления векторов;
введите значение векторов;
Нажмите кнопку «Проверить коллинеарны ли два вектора» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор коллинеарности векторов

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора коллинеарности векторов

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Коллинеарность векторов

Колинеарные вектора

Определение Колинеарные вектора — вектора, которые параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой.

Вектора коллинеарны если отношения их координаты равны между собой.

a_x b_x = a_y b_y = a_z b_z

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos a → b → ˆ .

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0 ° , а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180 ° . Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай!
Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю , так как косинус прямого угла равен \(0\).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю , то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a → 2 .

Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1. a → 2 ≥ 0 , к тому же a → 2 > 0 , если a → ≠ 0 → .
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения: a → ⋅ b → = b → ⋅ a → .

3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения: a → + b → ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → .

4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения: k ⋅ a → ⋅ b → = k ⋅ a → ⋅ b → .
Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой , если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если a → x 1 ; y 1 ; z 1 , b → x 2 ; y 2 ; z 2 , то a → ⋅ b → = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 .
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → , то

cos α = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ⋅ x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 .

Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n → данной плоскости и неким вектором b → равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90 ° .

При нахождении косинуса угла между n → и b → можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b → , и плоскостью.

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Пример 1. Какие из векторов a = <1; 2>, b = , c = коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

a_x	=	a_y	.
b_x		b_y

Вектора a и b коллинеарны т.к.	1	=	2	.
	4		8

Вектора a и с не коллинеарны т.к.	1	≠	2	.
	5		9

Вектора с и b не коллинеарны т.к.	5	≠	9	.
	4		8

Пример 2. Доказать что вектора a = <0; 3>и b = <0; 6>коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

n =	b_y	=	6	= 2
	a_y		3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = <3; 2>и b = коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

a_x	=	a_y	.
b_x		b_y

3	=	2	.
9		n

Решим это уравнение:

n =	2 · 9	= 6
	3

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Пример 4. Какие из векторов a = <1; 2; 3>, b = , c = коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

a_x	=	a_y	=	a_z	.
b_x		b_y		b_z

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Пример 5. Доказать что вектора a = <0; 3; 1>и b = <0; 6; 2>коллинеарны.